时间非局部非自治发展方程的斜积吸引子

《Chaos, Solitons & Fractals》：Skew-product attractors for time nonlocal nonautonomous evolution equations

　　摘要本文研究一类时间非局部非自治演化方程，此类方程涵盖多种次扩散模型，包括有界域上带齐次Dirichlet边界条件的分数阶及超慢扩散方程。我们证明，在适当假设下，解轨迹在赋予紧集上一致收敛拓扑的函数空间上生成一个斜积半群。通过利用Hilbert空间中的预解族和耗散性条件，我们建立了斜积吸引子的存在性。我们的结果统一并推广了Caputo型吸引子的若干现有结论，并为分析记忆依赖系统的长时间动力学提供了一个一般框架。

引言

设X为Banach空间。我们研究如下形式的时间非局部演化方程：

(k?[x(?)?x0])′(t)=Ax(t)+f(t,x(t)), t>0,

其中x(0)=x0，标量函数k(?)∈Lloc1(R+)，?表示卷积：

(k?x)(t)=∫0t k(t?s)x(s)ds, t≥0.

这里，A是定义域为D(A)?X的闭线性算子，f:R+×X→X是给定函数。

这一公式(1.1)在多个物理背景中自然出现。例如，设Ω?R3为具有光滑边界的有界区域。能量平衡定律可表示为：

?t?(t,z)=?divF→(t,z), t∈R, z∈Ω,

其中?表示能量，F→(t,z)表示通量密度。在均匀介质中，若?(t,z)=σu(t,z)，σ>0，且满足Fick定律F→(t,z)=?λ?u(t,z)，λ>0，则恢复经典热方程?tu=ρΔu，其中ρ=λ/σ。然而，在非均匀介质中，本构关系变为：

?(t,z)=∫0t k(t?s)u(s,z)ds,

其中k(?)为适当的标量核函数。对t求导可得：

?t∫0t k(t?s)u(s,z)ds=?divF→(t,z),

结合零初始条件和齐次Dirichlet边界条件，可化为(1.1)的形式，其中A=λΔ作用于L2(Ω)。

另一个关于记忆热传导的模型也可导出(1.1)，参见文献[1],[2],[3]。事实上，对于(1.2)中的设定，我们添加外部热源h(t,z)作为内能密度?，考虑热通量向量场F→(t,z)和温度u(t,z)。在各向同性和均匀材料中，本构定律应使用线性关系：

?(t,z)=∫0∞ dm(τ)u(t?τ,z)+?∞(z), t∈R, z∈Ω,

其中蠕变函数m∈BVloc(R+)在某些物理情形下为有界型函数，这意味着m(t)是非负、非减且凹的，具有形式：

m(t)=m0+m∞t+1?m1(t), t>0,

其中m0=m(0+)≥0，m∞=limt→∞m(t)/t≥0，且m1(t)=m′(t)?m∞为非负非增函数，limt→∞m1(t)=0。若m(∞)有限，则m∞=0且m1∈L1(R+)。由此可得m0≥0，m∞=0，m1∈L1(R+)。此处，m0称为瞬时热容，m(∞)为平衡热容，m1为能量-温度松弛函数，且应有m(t)?0。

假设m0=0，且对t≤0，z∈Ω有体温u(t,z)=u0(z)。由此可得：

?t?(t,z)=?t(m1?u)(t,z)+u0(z)∫t∞ m1(τ)dτ=?tm1?[u?u0](t,z).

在边界条件下，基本上为指定温度或指定边界热通量，即：

u(t,z)=ub(t), t∈R, z∈Γ°b;

?F→(t,z)?n(z)=Ff(t), t∈R, z∈Γ°f,

其中Γb,Γf??Ω为闭集，Γ°ˉb=Γb，Γ°ˉf=Γf，Γ°b∩Γ°f=?，Γ°b∪Γ°f=?Ω，且Ω?R3为具有光滑边界?Ω的有界区域。现在，采用Fourier热流定律F→(t,z)=?D?u(t,z)，D>0，所需的模型以k=m1给出：

?tk?[u?u0](t,z)=DΔu(t,z)+h(t,z),

u(t,z)=ub(t), t∈R, z∈Γ°b,

D?u/?n(t,z)=Ff(t), t∈R, z∈Γ°f.

设Xp=Lp(Ω)，1≤p<∞，X0=CΓb(Ωˉ)={u∈C(Ωˉ):u|Γb=0}，且对z∈Ω，v∈D(Ap)有(Apv)(z)=Δv(z)，其中

D(Ap)={v∈W2,p(Ω):v|Γb=0, ?v/?n|Γf=0},

D(A0)={v∈?p>1 D(Ap):A0v∈CΓb(Ωˉ)},

A1由A2在L1(Ω)中的闭包定义。因此，Ap是闭线性稠定算子，且Ap生成解析C0半群。由此，(1.1)的形式来自边界齐次化。

此外，当k=δ为Dirac函数时，(1.1)退化为经典演化方程；而当k(t)=t?α/Γ(1?α)，α∈(0,1)时，导数(k?x′)(t)对应于Caputo分数阶导数，(1.1)刻画反常扩散，包括连续时间随机游走中的分数阶Fokker–Planck方程、量子系统中的分数阶Schr?dinger方程以及神经细胞中离子电扩散和跨神经细胞的分数阶电缆方程等，参见文献[4],[5],[6]。时间非局部演化方程通过统一的卷积积分核构建，将Caputo和Riemann–Liouville分数阶导数以及经典整数阶导数纳入同一理论框架，从而能够通过灵活选择核函数（如幂律核、指数调制幂律核或分布阶核）描述从理想无记忆过程到具有长程记忆效应的复杂动力学行为。该框架适用于建模记忆系统，包括反常扩散、粘弹性以及非Markov过程。为建立(1.1)的动力学性质，我们引入如下PC-核的概念。

(PC) 函数k∈Lloc1(R+)非负且非增，且存在核ν∈Lloc1(R+)使得k?ν=1在R+上成立，记(k,ν)∈PC。

PC-核的一个特殊例子为(g1?α,gα)∈PC，其中α∈(0,1)，gγ(t)?tγ?1/Γ(γ)，t>0，γ>0。在此情形下，导数(k?v)′(t)对应于时间Riemann–Liouville分数阶导数；若v为光滑函数，则也化为时间Caputo分数阶导数。对于方程(1.1)，核表现为幂律衰减c?t?α（当t→∞时），比经典指数衰减更慢，因此更适合描述慢扩散现象。

另一个特殊例子为：

(∫01 gγ(t)dγ, ∫0∞ e?ts/(1+s)ds)∈PC,

此时(k?v)′(t)称为分布阶导数。在扩散现象中，均方位移当t→∞时可能表现为c?logt，这可以描述超慢扩散过程，例如聚合物物理和无序介质中扩散所出现的过程。此外，多项分数阶导数核k=∑i=1n g1?αi(?)，αi∈(0,1)，tempered分数阶导数核k=g1?α(t)e?ηt，η≥0，α∈(0,1)，以及Gamma从属核k(t)=aΓ(0,bt)，a,b>0，Γ(v,u)=∫u∞ tv?1e?tdt，也属于此类PC-核，参见文献[3],[7],[8]。

分数阶系统的动力学已被众多学者广泛研究，产生了丰富的理论成果，涵盖稳定性分析、吸引性、同宿轨道结构和稳定流形定理等，参见文献[9],[10]。分数阶动力学的最新进展已建立了自治和非自治系统的吸引子理论。值得注意的是，Doan和Kloeden[11]为自治Caputo分数阶动力系统构造了全局吸引子，发展了其先前关于构造半动力系统（即所谓Caputo吸引子）的工作[12]。然而，由于分数阶系统的解轨迹不满足经典意义上的半群性质，经典的长时间行为刻画方法（包括吸引子）无法直接应用。为了构造广义半群，需要采用紧集上一致收敛的拓扑，因为只有在这样的框架下解映射才满足半群性质。相应地，相关的吸引子自然被视为底层拓扑空间的子集。相关结果可在其著作[13]中找到，Cui和Kloeden[14]将该理论推广到非自治分数阶ODE的斜积吸引子。然而，对于时间非局部非自治PDE的一般框架仍然缺失。本文旨在通过在PC-核条件下发展统一的半群和吸引子理论来填补这一空白。

同样自然的问题是抽象时间非局部演化方程是否存在吸引子。然而，当前文献中尚未给出此问题的直接答案。尽管如此，Doan等人[12]为与时间非局部演化方程相关的自治半动力系统构造了半群结构。Peng等人[15]也研究了时间非局部广义Rayleigh-Stokes方程的自治半动力系统，并建立了广义吸引子结果。然而，这些部分结果仅限于自治情形，未涉及非自治情形，这促使了本文的工作。

在非自治项满足Lipschitz型假设的条件下，我们首先引入驱动系统，并结合预解族的定义建立当前问题的适定性。随后，我们在Fréchet空间?（连续函数f:R+→X的集合，具有紧集上一致收敛拓扑）上构造满足斜积半群结构的算子族。结果表明，许多时间非局部问题可以在预解族框架下通过其半群结构求解。最后，结合f的耗散性条件和Hilbert空间中算子A的谱性质，我们推导出吸收集和斜积吸引子的存在性，推广了Caputo斜积吸引子的结论。特别地，建立吸引子的存在性需要验证渐近紧性。然而，在无穷维空间中，紧性难以直接刻画。为克服这一困难，我们采用有限秩方法和逼近方法。

本文结构如下：第2节介绍记号、函数空间和正则化预解族；第3节建立适定性和连续性结果；第4节构造斜积半群结构；第5节证明斜积吸引子的存在性；最后，我们给出若干具体例子并讨论其动力学。

章节片段

预备知识

本节介绍一些记号、定义和预备事实，包括函数空间和正则化族。设X为具有范数‖?‖的Banach空间，L(X)表示从X到自身的所有线性有界算子。设ρ(A)为算子A的预解集，R(z;A)=(zI?A)?1表示对一切z∈ρ(A)的预解算子。

我们回顾(α,β)-正则化预解族的定义，它在表示解中起核心作用。

定义2.1 设X为Banach空间，α,β∈Lloc...

适定性与连续性

本节旨在证明问题(1.1)的适定性和连续性。对每个T>0，设C?C([0,T],X)为所有从[0,T]到X的连续函数构成的Banach空间，具有上确界范数‖x‖∞=sup{‖x(t)‖,t∈[0,T]}。对任意γ>0，设Cγ为C的子集，赋予Bielecki加权范数‖x‖Cγ=supt∈[0,T]e?γt‖x(t)‖。

定义映射Ψ:(Cγ,‖?‖Cγ)→(C,‖?‖∞)为(Ψx)(t)=e?γtx(t)，t∈[0,T]，显然Ψ是等距同构映射。

注意到问题的解...

斜积半群结构

为了刻画非自治动力学，我们引入空间??C(R+,X)，即连续函数f:R+→X的空间，具有紧集上一致收敛拓扑，度量为：

d?(f,g)?∑n=1∞ 1/σn · dn(f,g), σ>σ?,

其中σ?=1，当ω≤0；σ?=eγ，当ω>0；且

dn(f,g)?supt∈[0,n]‖f(t)?g(t)‖ / (1+supt∈[0,n]‖f(t)?g(t)‖).

对于(1.1)中的非自治微分方程，设驱动半群{?t:t≥0}在Σ上与时间相关非线性项的动力学相关联，定义为?tf(?,?)=f(t+?,?)。对每个τ∈R...，定义Tτ:?×Σ→?...

斜积吸引子

在本节中，基于定理4.1中的半群结构，我们转向斜积吸引子的存在性。接下来，设X为具有内积〈?,?〉的Hilbert空间，为建立吸收集和吸引子的存在性，需要以下假设和引理。

(Ha) 设D(A)?X也是Hilbert空间，A:D(A)→X为稠密对称扇形算子，具有紧预解式，且A的所有特征值为0>λ1≥λ2≥?≥λj≥?，λj→?∞，j→∞。

(Hb) 存在正常数a,b...

应用

例6.1 在本例中，我们首先考虑非局部热传导。设Ω?Rd为具有光滑边界的有界区域，X=L2(Ω)。考虑如下带记忆和非自治外部热源的时间非局部热方程：

d/dt(k?(u?u0))(t)=γΔu(t)?u(t)+h0(z)+?sin(ωt)?(z),

具有齐次Dirichlet边界条件u|?Ω=0和初始条件u(0)=u0∈X。这里γ>1，?>0，ω>0，h0,?∈X为给定函数，核k选取为分布阶分数...

结论

本文为一类广泛的时间非局部非自治演化方程发展了斜积吸引子理论。通过将预解族技巧与耗散性估计和紧性论证相结合，我们在一个统一的泛函分析框架内建立了适定性、斜积半群的构造以及斜积吸引子的存在性。我们的框架涵盖分数阶、分布阶以及其他记忆依赖系统，作为...

CRediT作者贡献声明

Jiawei He：写作—审阅与编辑、写作—初稿、方法论、研究、资金资助。Jianhua Huang：写作—审阅与编辑、方法论、资金资助、形式分析。

利益冲突声明

作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：Jianhua Huang报告获得国家自然科学基金资助。Jiawei He报告获得广西自然科学基金资助。如有其他作者，他们声明没有已知的竞争经济利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本工作受国家自然科学基金（批准号12371198）和广西自然科学基金（批准号2026GXNSFAA00640023）资助。作者衷心感谢所有编辑和审稿人仔细审阅我们的稿件并提出宝贵意见，这有助于改进本文。所有作者均已阅读并批准最终稿件。

Jiawei He | Jianhua Huang