在采样数据控制下，用于扰动的高阶多智能体系统的分布式优化算法

《Journal of the Franklin Institute》：Distributed optimization algorithms for disturbed higher-order multi-agent systems under sampled-data control

　　摘要
本文研究了受扰动的高阶多智能体系统中基于采样数据控制的分布式优化问题。智能体的动态特性允许存在不同阶次。问题的解决基于嵌入式控制思想。首先，利用采样数据设计了一阶最优信号发生器，其节点输出渐进地趋近于全局成本函数的最小值。其次，将发生器的节点输出作为智能体的参考输出，通过采样数据的反步控制方法为无扰动的高阶多智能体系统设计了反馈跟踪控制器。在采样数据反馈分布式优化算法的作用下，每个智能体都趋近于全局最优点。在存在扰动的情况下，提出了采样数据复合分布式优化算法，使所有智能体输出趋近于全局最小值的有界邻域。此外，所提出的反馈控制算法可以扩展到一类非线性多智能体系统，这些系统的非线性满足线性增长条件。进一步地，将所提出的采样数据复合分布式优化算法应用于多移动机器人的最优编队问题。仿真和实验结果证明了所提出的采样数据分布式优化算法的有效性。

引言
在过去的几十年中，分布式优化引起了研究人员的大量关注，并成为协作控制领域的一个重要课题。这主要是由于其广泛的应用，例如多机器人的最优协调[1]、[2]、资源分配优化[3]、智能电网的经济调度[4]、[5]、分布式博弈问题[6]等。对于分布式优化控制问题，每个智能体都拥有仅为自己所知的局部成本函数。分布式优化控制问题是全局成本函数的优化问题，全局成本函数是所有局部成本函数的总和。优化的目标是通过设计分布式控制器，使多智能体系统协同地趋近于全局成本函数的最小值。与传统的协作控制问题相比，分布式优化更具挑战性，因为它需要同时实现全局成本函数的最小化和多智能体系统的分布式协作。关于分布式优化的研究成果主要包括离散时间域和连续时间域的分布式优化算法。在[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]中提出了离散时间分布式优化算法，用于解决离散时间多智能体系统的分布式优化问题。然而，在许多现实世界的协作控制任务中，分布式优化问题通常出现在连续时间多智能体系统中，例如无人机和多个操纵器。因此，在应对分布式优化的挑战时，连续时间域受到了相当多的关注，从而提出了针对一阶、二阶和 higher 阶动态的多智能体系统的多种算法[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]。特别是在[20]、[21]中，开发了嵌入式控制框架来解决高阶多智能体的分布式优化问题。该控制框架包含两部分：首先，设计一个分布式最优信号发生器来生成一些虚拟信号，这些信号最终收敛到全局成本函数的最小值；其次，将虚拟信号作为智能体的局部最优参考输出，为每个智能体设计跟踪控制器，使其跟踪其参考输出，从而实现分布式优化。嵌入式控制方法也被应用于多智能体的分布式协作控制[23]、[24]。需要指出的是，在[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[19]、[20]、[21]、[22]中提出的连续时间分布式优化方法在实际应用中可能存在一些局限性，因为某些特定场景的控制器是通过数字计算机实现的。在这种情况下，连续时间控制器通常在采样器和零阶保持装置下以离散时间实现。连续时间控制器的离散化会影响被控制系统的动态性能和稳态性能。因此，有必要研究连续时间控制器的离散化设计及其对系统性能的影响。
研究人员专注于为单系统的稳定性和跟踪控制以及多智能体的分布式协作控制和分布式优化设计采样数据控制器[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]。特别是在[27]中，为受扰动的单阶高阶系统开发了基于采样数据的有限时间控制器。在[30]中，分析了受扰动二阶多智能体系统在所提出的采样数据共识算法下的稳定性和鲁棒性。在[35]中为受扰动的一阶多智能体系统设计了采样数据分布式优化算法，并分析了闭环系统的鲁棒性。值得注意的是，除了[34]、[35]这些文献外，几乎没有其他关于采样数据分布式优化方法的公开研究成果。为此，本文在采样数据控制下考虑了受扰动高阶多智能体的分布式优化问题。为了处理扰动，采用了基于扰动补偿的复合控制方法。由于该方法在抑制扰动方面的优越性[19]、[21]、[36]、[37]、[38]，已被广泛研究。与单系统和多智能体的采样数据控制设计相比，采样数据分布式优化设计的问题更为复杂。
本文提出了一种适用于受扰动高阶多智能体的采样数据分布式优化算法。智能体的动态特性可以是不同的阶次，从一阶到更高阶都有。分布式优化算法基于嵌入式控制思想设计。首先，对于虚拟的一阶多智能体系统，利用采样数据设计分布式优化算法，使虚拟智能体的输出渐进地趋近于全局成本函数的最小值。这样，闭环虚拟多智能体系统构建了一个与所考虑优化问题相关联的最优信号发生器。其次，将发生器的节点输出作为原始智能体的参考输出，利用采样数据通过反步控制方法为无扰动的高阶多智能体系统设计反馈跟踪控制器。经过严格的分析，在没有扰动的情况下，所有智能体输出在所提出的反馈跟踪控制算法下能够准确趋近于全局最小值。对于受扰动的高阶多智能体系统，基于扰动观测/补偿技术，提出了采样数据复合跟踪控制器，使智能体输出趋近于全局最优值的有界区域。此外，还明确给出了智能体输出与全局最小值之间的误差（即优化误差）的最终界限。此外，所提出的采样数据分布式优化算法可以扩展到一类非线性多智能体系统，这些系统的非线性满足线性增长条件。进一步地，将所提出的采样数据复合分布式优化算法应用于多移动机器人的最优编队问题，最小化每个机器人移动距离的平方和。通过仿真和实验验证了所提出的采样数据分布式优化算法的有效性。

本研究的主要贡献有两个方面：一方面，解决了高阶多智能体的采样数据分布式优化问题。在采样数据分布式优化方面，已发表的结果大多仅考虑了一阶多智能体系统，这在实际应用中受到限制。本研究将采样数据分布式优化设计扩展到了异构的高阶多智能体系统。另一方面，为受扰动的高阶多智能体系统提出了采样数据复合分布式优化算法。所提出的基于嵌入式方法的采样数据分布式优化算法扩大了采样数据分布式优化的应用范围。

符号说明
用 \( \mathbf{0}_m = [0, \ldots, 0]^T \in \mathbb{R}^m \) 和 \( \mathbf{1}_m = [1, \ldots, 1]^T \in \mathbb{R}^m \) 表示向量。阶数为 \( m \) 的单位矩阵表示为 \( \mathbf{I}_m \)。对于向量 \( \mathbf{y} = [y_1, \ldots, y_m]^T \in \mathbb{R}^m \)，其欧几里得范数表示为 \( \|\mathbf{y}\|^2 = \mathbf{y}^T \mathbf{y} \)。给定任意矩阵 \( \mathbf{A} \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{n} \) 和 \( \mathbf{B} \in \mathbb{R}^p \times \mathbb{q} \)，它们的克罗内克积表示为 \( \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{mp \times nq} \)，其中 \( m \) 和 \( n \), \( p \), \( q \) 是任意正整数。给定一个可微函数 \( f(y) \)，\( \nabla f(y) \) 表示 \( f(y) \) 的梯度。

图论概念
无向图表示为 \( G = (V, E, A) \)，其中 \( V = \{1, \ldots, N\} \) 是图的节点集，\( E \) 是图的边集。

主要结果
分布式优化设计基于嵌入式控制方法进行。该方法的设计框架如图 1 所示。该方法的设计包括两个部分：在第一部分中，对于虚拟的一阶多智能体系统，利用采样数据设计分布式优化算法，使虚拟智能体的输出趋于全局成本函数的最小值 \( y^* \)（2）。在第二部分中，

仿真与实验
为了验证所提出的采样数据复合分布式优化算法的有效性，进行了了一些仿真和实验。

结论
在采样数据控制和嵌入式控制方法的基础上，解决了受扰动高阶多智能体的分布式优化问题。首先，利用采样数据设计了一阶最优信号发生器，使其节点输出渐进地趋近于全局最小值。其次，将发生器的节点输出作为智能体的参考输出，为高阶智能体设计了反馈跟踪控制器。

作者贡献声明
李桂普：写作 - 审稿与编辑、写作 - 原稿撰写、软件、方法论、研究调查、资金获取。
孙鲁成：写作 - 审稿与编辑、软件、方法论。
胡慎曦：验证、软件。
王向宇：写作 - 审稿与编辑、方法论、研究调查、资金获取。

利益冲突声明
作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。