基于物理信息结构化神经算子与Krylov递归的DC潮流零样本跨拓扑迁移：KENO-Krylov的预测精度、Kirchhoff残差与不确定性校准评估

《Mathematics》：Unmanned Aerial Vehicle Delivery Route Planning in Cold Weather Using Neural Combinatorial Optimization and Adaptive Large Neighborhood Search

　　

本研究考察负荷与可再生能源发电变化条件下DC潮流（DC power flow）的零样本跨拓扑泛化（zero-shot cross-topology generalization）。采用防泄漏（leakage-safe）的主协议：以3500个物理生成的IEEE-30场景用于开发与内部评估，以1000个IEEE-57场景用于外部评估与储备。每个母线由16个运行与拓扑特征表示。所提出的KENO-Krylov算子将受限神经初始化（bounded neural initialization）、正局部预条件（positive local preconditioning）、显式Kirchhoff残差（explicit Kirchhoff residuals）以及带硬平衡母线约束（hard slack-bus constraint）的20步Krylov/CG-like递归相结合，含2523个可训练参数。在锁定的IEEE-30测试集上，其达到R² = 0.999999、相角MAE为0.00159°。在未见过的IEEE-57上，其保持R² = 0.9440、相角MAE为0.783°，但相对KCL残差的中位数为0.1433。补充配对实验量化了三种可再生能源发电情形、外部组件消融（external component ablations）以及更大规模与辐射状网络。在最高设定可再生能源规模下，IEEE-30与IEEE-57上平均发电量分别覆盖需求的49.63%与53.25%。在500个新的IEEE-118场景上，相角MAE增至7.719°、KCL中位数增至0.974；辐射状压力测试进一步揭示精度局限。学习到的修正较PCG-20略微改善相角MAE，而收敛性数值求解器更精确，且在被测设定下复用Cholesky分解更快。标称90%不确定性校准无法在外部迁移。证据支持所述合成DC实验范围内的比较性点预测迁移，而非普适拓扑泛化、运行安全性或对非线性AC系统的有效性。

研究背景方面，可再生能源接入使电力系统运行条件变异性增大，需快速分析大量可能网络状态，负荷与发电变化不仅影响节点注入，也改变输电线路潮流分布，因此机器学习潮流模型的实际价值不仅取决于固定电网内的插值精度，更取决于电网规模与拓扑变化时能否保持有效。多数传统机器学习与深度学习方法在相似数据分布下训练与评估，可能获得高精度却依赖特定母线排列、连通模式与训练电网统计量；图神经网络（GNN）本身并不能消除这种依赖，迁移至新拓扑会改变母线数与支路数、电气耦合、网络算子的谱性质、节点中心性及扰动空间传播，单一拓扑留出场景上的高精度不能确立跨拓扑泛化。潮流还额外要求预测状态不仅统计上逼近参考解，还须符合网络物理定律，平均误差小的模型仍可能违反节点功率平衡或在图结构变化时行为不一致，故评估需联合分析预测指标与物理残差，并在完全未参与特征、超参数或架构选择的未见拓扑上测试。既有研究如PowerFlowNet、PowerGraph推动图表示与可复现基准，Li等以物理信息深度学习优化潮流迭代搜索方向，PINN4PF将物理约束与拓扑信息纳入训练目标，Yang等提出物理引导GNN并借助在线迁移学习适应分布外拓扑，Wu等考虑更严格的零样本设定提出通用图卷积网络，Jadhav等研究拓扑感知门控GNN在随机断线与大幅负荷变化下的AC潮流估计，SafePowerGraph提供含N-1事故与物理约束的安全感知基准，HH-MPNN与GraphOPF面向AC-OPF的零样本N-1与大规模拓扑变化。然而更严格的检验仍具方法学价值：在一个拓扑上训练、不微调地应用于节点数不同的另一网络，并联合评估预测误差、Kirchhoff残差、鲁棒性、计算效率与统计差异。本研究即采用该受控跨拓扑协议，以DC公式隔离迁移机制而非替代完整AC验证，研究问题不是如何在已知拓扑内最大化精度，而是紧凑物理结构化学习模型能否在不重训练条件下跨不同电网迁移潮流关系并保持与网络方程一致。研究人员提出KENO-Krylov，作为统一学习算子，其中共享神经组件与显式网络算子及迭代机制协同以降低Kirchhoff残差，它既非独立预测器集成，也不绑定固定节点数。实验协议区分同拓扑精度与真正跨拓扑迁移，采用不相交场景划分、锁定内部测试与排除于训练和模型选择之外的独立外部电网，比较涵盖线性与集成机器学习方法、多层神经网络、常规GNN架构与现代图模型，除预测误差外还考察物理残差、计算效率、输入变化鲁棒性、不确定性、消融效应与差异统计显著性。研究结论表明，KENO-Krylov在测试学习替代方法中保持较低外部相角误差，包括针对性长训练对照，但该优势不意味精确功率平衡：500场景IEEE-118测试上相角MAE与相对KCL中位数分别达7.719°与0.974，辐射状网络出现显著误差，故图规模架构兼容性比统一高数值精度得到更广泛确立；外部消融与完全未学习PCG-20对照显示Krylov-like方向记忆机制提供主要数值能力，学习组件仅带来小幅一致的相角误差修正而非在所有物理指标上占优；受控可再生情形量化了网络相关响应而非普适渗透率—误差规律；点预测迁移与不确定性校准迁移被证明相互独立，内部共形校准表现适当但标称覆盖率在新拓扑上失败，尽管区间宽度与误差强相关，故未来需专门跨拓扑校准机制；KENO-Krylov并非收敛性DC数值求解器的替代，基于容差的PCG与Cholesky更精确，且被测设定下重复Cholesky求解更快，参数紧凑性与可微共享物理迭代支持研究构想但不确立运行计算优越性；结论限于特定合成无损DC模型与所测图修改，经验证的热稳定安全性、新拓扑上可靠不确定性校准、电阻相关AC行为与现场数据有效性均未确立。其意义在于以可迁移性而非逼近单一基准的能力来评估电力系统机器学习，并界定物理结构化紧凑模型跨拓扑迁移的适用边界。
本研究关键技术方法包括：构建基于IEEE-30与IEEE-57 MATPOWER测试系统的简化无损DC基准，物理生成随机负荷与合成光伏/风电注入场景并按场景级不相交划分训练、验证、校准、鲁棒性与锁定测试子集（IEEE-30共3500场景，IEEE-57共1000场景其中700用于严格外部评估），样本队列来源为标准网络模型的物理生成场景而非真实SCADA或PMU量测；设计16通道节点特征并基于节点DC算子构造归一化接地算子与归一化相角目标；提出KENO-Krylov架构，以2523参数将受限神经暖启动、基于结构通道的正拓扑局部预条件、20步可微Krylov/CG-like递归与精确参考角约束相结合；采用AdamW训练并以相角MAE、KCL残差加权项及阻尼参数二次惩罚构成目标；并以配对场景自助法、符号翻转随机化与Holm校正等进行统计比较，以分离Cholesky与PCG-20等数值对照评估精度与效率。
研究结果方面，3.1内部与外部预测精度：在排除于训练、调参与轮次选择的500个锁定IEEE-30场景上，KENO-Krylov在学习方法中各项预测指标误差最小，归一化MAE为0.011584、物理相角MAE为0.00159°、R² = 0.999999；Extra Trees为最强常规方法（R² = 0.989544，相角MAE 0.14939°），Graph Transformer为最强标准神经/图对照（R² = 0.955454）。在700个IEEE-57场景上冻结模型不重训练，KENO-Krylov保持R² = 0.944048、归一化MAE 2.262420、相角MAE 0.78297°，是唯一外部R²为正的排名学习对照；MLP外部归一化MAE次低但R² = ?0.464606，Extra Trees与Graph Transformer外部R²分别降至?2.059551与?2.634017，表明同拓扑高精度不能可靠指示跨电网可迁移性。逐母线误差显示IEEE-57上非参考母线MAE从母线13的0.034493°到母线33的6.871016°，网络平均低于1°不意味各母线均达亚度精度。3.2物理一致性：KENO-Krylov内部KCL残差中位数0.002121、P95为0.003262，IEEE-57上升至0.143310与0.166775，支路潮流MAE由0.00848增至3.26341 MW；KCL排名与相角误差排名并不完全一致，FixedJacobi-18外部KCL较低（0.287231）但相角MAE超过20°，说明平衡方程一致性与逼近目标状态是不同概念；绝对失配分析显示KENO-Krylov池化非参考绝对失配中位数由IEEE-30的0.007723 MW增至IEEE-57的2.261247 MW（P95为12.789283 MW），含参考节点时场景最大失配中位数28.773199 MW、P95为44.825661 MW、最大57.161298 MW，非可忽略运行容差；条件潮流阈值测试中IEEE-118树状压力测试200 MW阈值下虚警率为28.90%（95%区间28.01–29.75%），248个场景至少含一次漏检越限，属特定DC压力条件下事件级误差证据而非真实设备过载频率。3.3计算效率：KENO-Krylov含2523参数、约0.0157 MB，远小于多数神经对照（Graph Transformer 101572、GraphSAGE 34177、MLP 18817参数，Extra Trees序列化超207 MB），平均CPU延迟内部0.02979 ms/场景、IEEE-57上0.03526 ms/场景，外部仍快于Graph Transformer、GATv2-style、GNS-style与PowerFlowNet-style，外部吞吐约28.4千场景/秒，但计时依赖硬件与实现且非相对数值求解器的速度优势。3.4不确定性迁移：仅在IEEE-30校准子集拟合的分裂共形预测区间内部锁定覆盖率0.902（标称0.90，偏差0.002），IEEE-57上同标称水平经验覆盖率为零，平均区间宽度增大约2.3倍（0.0235°至0.0549°）仍不足以补偿更大跨拓扑误差，故IEEE-30建立的校准不能视为可跨拓扑迁移，外部宽度—误差Spearman相关0.9232仅为描述性而非覆盖率替代。3.5跨拓扑泛化差距：KENO-Krylov的R²下降0.055951、相角MAE增加0.781384°，其他学习模型R²损失远大于1、相角MAE增加6.10°至14.46°，Extra Trees、LightGBM、Random Forest、Graph Transformer分别损失3.049、3.254、3.262、3.589单位R²，表明内部精确逼近可与显著拓扑相关退化共存。3.6冻结检查点复现：以存储筛查检查点重算与登记值近乎一致，R²显示精度下偏差为零、外部归一化MAE报告偏差为零、所列指标最大绝对差为外部P95 KCL的2.55 × 10^?6，其他差异约10^?8–10^?6，支持二进制产物与计算可复现性，区别于独立重训练（公平训练模型外部R² = 0.944048，冻结检查点复现0.944388807）。3.7受控扰动实验：在1000个独立开发场景与五个固定扰动种子上，小幅可再生背景扰动与2%注入噪声影响最小（R²保持0.9999以上），负荷±5%缩放与算子扰动退化较大但R²分别为0.989905与0.997353；移除动态通道对所有三模型最困难，KENO-Krylov归一化MAE升至4.6692（Extra Trees 4.5215、Graph Transformer 5.5977），表明架构物理性不能消除对当前运行状态准确信息的依赖。3.8组件消融：在IEEE-30验证子集上移除Krylov记忆（β = 0）影响最大，归一化MAE由0.012014升至46.257889且R²转负，保留递归搜索方向是此20步实现的核心；移除学习暖启动、学习预条件、Kirchhoff训练项分别使MAE升高0.28%、0.34%、0.30%，固定经典阻尼系数升高2.10%；固定经典阻尼的中位KCL、P95 KCL与支路潮流MAE略优于完整模型而MAE高2.10%，显示目标状态精度与残差最小化间存在温和权衡；外部消融（700个IEEE-57场景）中完整模型相角MAE为0.782973°，无暖启动0.784451°、无预条件0.785272°、经典阻尼0.786878°、无Kirchhoff损失0.783958°，移除Krylov记忆升至18.513052°，学习组件效应约为完整模型的0.13–0.50%，方向记忆提供主要机制；完全未学习PCG-20外部相角MAE为0.788078°，学习带来的平均配对降低为0.005105°（95%区间0.004942–0.005257°），完整KENO-Krylov在97.86%情形场景相角误差更小，Holm校正随机化p值约0.0014，但PCG-20中位KCL略低（0.142354对0.143310），故小幅相角改进的统计一致性既非普适物理优越性也非大幅实用优势。3.9配对统计比较：对Extra Trees与Graph Transformer的验证配对中位差分别为0.739921（区间[0.667375; 0.881189]）与2.267614（[2.135497; 2.359071]），相对误差降低98.93%与99.57%，优越经验概率均为1.000，Holm校正Wilcoxon p = 9.254 × 10^?43，置换检验校正后p = 10^?4；锁定内部平均配对归一化误差差为1.168与2.856，严格外部升至29.592与33.277，标准化效应dz由0.954与1.574升至4.243与5.861，外部相对误差降低92.90%与93.63%，表明拓扑变化增大方法间分离且差异非仅由均值或极端值解释。3.10比较性区间校准：内部锁定时多数学习模型覆盖率接近标称0.90，KENO-Krylov以仅0.02351°平均宽度达0.902；迁移至IEEE-57后多数机器学习与图模型覆盖率为零，KENO-Krylov平均宽度0.05486°但覆盖率0.000，仅Zero-angle、GATv2-style与PowerFlowNet-style为0.159、FixedJacobi-18为0.101，故IEEE-30拟合的共形校准在新拓扑系统性失败，而宽度—误差相关增强至0.92321表明宽度可排序难度但不能补偿绝对覆盖率失败。3.11与经典PCG比较：固定20次迭代预算下KENO-Krylov外部相角MAE 0.782973°对PCG-20的0.788077°，R² 0.944048对0.942730，差异小且PCG-20中位KCL略低；以收敛容差替代固定步数后PCG-tol1e-6在两电网上逼近精确解，中位迭代次数28与47，精度与ExactDC-oracle相当，故KENO-Krylov不能表述为普遍更精确的数值DC潮流求解器；扩展数值比较中IEEE-57上float64 Cholesky中位相对残差约4.64 × 10^?15、对存储参考的相角MAE约1.46 × 10^?5°，基于容差PCG相角MAE约1.53 × 10^?5°，固定20步提高精度不消除截断误差；IEEE-57上float64分解成本约0.01154 ms、重复批量求解每场景0.000461 ms，匹配原始输入实验中摊销成本KENO-Krylov 0.04473 ms、PCG-20 0.01053 ms、复用Cholesky因子0.000740 ms，未确立相对优化收敛线性代数的运行或精度优势。3.12压力子组校准：内部锁定总体覆盖接近标称但子组行为不同，高负荷0.923、高支路潮流0.975偏保守，高可再生份额0.787、大目标幅值0.808偏低，总体校准掩盖运行情形依赖；外部子组规模信息性强，700个IEEE-57场景中606个进入高目标幅值组、663个进入高支路潮流组，量化相对训练分布偏移并解释区间过窄；KENO-Krylov在四个外部压力组覆盖率均为零，失败系统性而非限于某类苛刻运行状态。3.13场景误差分布：场景级相角MAE经验累积分布显示内部锁定时KENO-Krylov曲线远位于两对照左侧（大多为千分之一度量级），IEEE-57上三者右移但幅度不同，KENO-Krylov进入亚度范围而对照达数度至数十度，分离在相当累积概率范围持续，外部优势非仅由少数有利情形驱动，其自身曲线右移亦表明迁移非无误差。3.14内部—外部误差关系：几乎所有学习方法位于等误差线上方，树集成与Graph Transformer内部十分之一度级误差变为外部约10–12°，KENO-Krylov因内部MAE为千分之一度量级而外部与内部误差比大，但其绝对外部MAE仍低于1°，MLP、GCN、GraphSAGE绝对外部误差更大而误差比更小，故前者不能替代后者。3.15外部质量—效率权衡：在对数延迟坐标下KENO-Krylov位于外部MAE低于1°且每场景延迟数百分之一毫秒的独特区域，部分更简单方法更快但外部误差大得多，图模型复杂度提高不自动改善外部精度，该结果限于被测设定而非硬件无关性能记录。3.16受控可再生渗透情形：配对源功率乘数0.35、1.00、1.65下IEEE-30平均可再生与需求比为10.64%、30.39%、49.63%，IEEE-57为11.46%、32.75%、53.25%；IEEE-57上KENO-Krylov相角MAE由1.068890°降至0.777583°与0.608097°，中位KCL由0.159657降至0.142830与0.127890，支路潮流MAE由4.180456降至3.232262与2.484714 MW；IEEE-30对应相角误差为0.001477°、0.001631°、0.001575°呈小幅非单调变化，故可再生发电对运行右端项与误差尺度影响在两电网不同，实验未确立随渗透率普适恶化或改善。3.17更大网络与辐射拓扑迁移：500场景IEEE-118测试上冻结KENO-Krylov相角MAE 7.718989°、RMSE 9.905354°、归一化状态R² = 0.762924，Graph Transformer为37.685757°、Extra Trees为44.670074°、PCG-20为7.740397°，但中位相对KCL 0.973949、支路潮流MAE 24.048917 MW，故仅支持比较性点预测迁移而非充分收敛或物理可行；250场景配对结构测试中IEEE-57原始、近辐射、树状分别80、62、56支路，KENO-Krylov相角MAE为0.766005°、5.604307°、27.112923°，IEEE-118分别186、129、117支路，误差7.894092°、32.777203°、23.251606°，接地条件数在两树状网络升至2829.53与8000.61，误差不必随辐射度单调变化；IEEE-57与IEEE-118树状网络中位KCL达0.409922与1.037463，收敛PCG需中位迭代53与103次，原始到树状平均配对相角误差增加26.34692°（95%区间25.22901–27.47769°）与15.35751°（14.84802–15.87552°），受控反例排除任意图上统一高精度泛化。3.18针对性优化对照：扩展优化后Graph Transformer于23轮停止并选第15轮，验证归一化MAE由2.785336降至2.359373；参数匹配MLP由61.34062降至3.389288但达50轮上限仍改进，完全优化收敛未确立；仅在IEEE-30验证数据选权重下，扩展Graph Transformer与扩展参数匹配MLP外部IEEE-57相角MAE为11.743263°与8.610749°，而未变KENO-Krylov为0.782973°，支持观察到的优势在两项针对性对照下持续，但不确立原负R²为其架构族必然属性或所有竞争者已获穷尽调优。
讨论部分总结：结果支持将KENO-Krylov解释为研究导向、应用驱动的物理结构化科学机器学习模型，即具显式Kirchhoff物理与Krylov-like递归的紧凑神经算子；“混合”仅指机器学习与物理计算机制结合，而非集成、堆叠或独立训练预测器组合。主IEEE-30至IEEE-57实验显示KENO-Krylov外部点预测误差显著低于所测学习对照（含两项补充优化对照），额外IEEE-118与辐射实验界定该发现：共享模型可处理新图而绝对误差与功率平衡残差显著退化，故拓扑兼容参数化不等同统一精确泛化。该行为与架构原理一致：OLS、Ridge与树集成主要学习IEEE-30特征统计关系，可在熟悉分布内精确插值但无确保对不同网络矩阵正确状态响应的内在机制；GCN、GraphSAGE、GATv2-style与Graph Transformer利用图结构却须大量从数据恢复潮流关系；KENO-Krylov中网络算子直接参与每次状态更新，迁移至IEEE-57改变物理算子而不改变处理它的学习机制。外部消融识别方向记忆为20步实现的主导组件，学习初始化、预条件、阻尼与物理损失改进较小，扩展匹配MLP对照表明优化预算重要；相对未学习PCG-20的0.005105°配对相角优势在被测IEEE-57场景统计一致但幅度小，部分物理指标偏向PCG-20。物理一致性须独立于比较性预测排名评估，IEEE-57绝对失配分析及IEEE-118与辐射残差不足以证明运行可行性，假设阈值事件测试暴露漏检越限但缺乏经验证支路热限与AC可运行状态，不能认证安全关键部署。统计检验强化比较证据，对Extra Trees与Graph Transformer的配对场景级差异在内外测试持续，自助区间排除零且Holm校正Wilcoxon与置换检验支持一致优势，分析单元为完整运行状态而非单母线，避免依赖节点观测人为膨胀显著性。鲁棒性实验表明中等注入噪声、可再生背景扰动与小算子变化下精度保持，负荷缩放尤其动态输入移除导致更大退化，属预期局限：关键运行信息缺失或严重损坏时物理结构无法恢复真实状态，故支持受控条件下鲁棒性而非对任意输入误差的免疫。不确定性评估确立独立失败：90%联合区间覆盖90.2%的IEEE-30场景却不覆盖任何完整IEEE-57场景，强外部宽度—误差关联不恢复校准且可能反映物理缩放，此为概率迁移的观察局限而非外部标签重校准可修复之结果。经典求解器比较限制所宣称运行价值：固定步PCG以略小KCL残差提供几乎相同相角精度，基于容差PCG与Cholesky达更高解精度，被测小电网设定下复用Cholesky更快，贡献在于所研究可微物理迭代及其比较行为而非已证明替代优化数值潮流计算。配对可再生实验确立源功率规模与预测质量的受控联系：在所测情形提高可再生输出降低IEEE-57相角与潮流误差，而IEEE-30相角响应弱且非单调，结果特定于所记录合成生成器，与结构压力测试共同支持有界经验刻画而非高可再生电网普适论断。DC至AC过渡非本研究已确立推论：AC潮流需耦合有功无功平衡与电压幅值相角，AC-OPF另加目标与运行不等式，需以状态相关非线性残差及适当线性化或非线性更新替代固定接地DC算子，仅正对角预条件与CG-like递归不保证有效非线性求解，补充随机场景未提供匹配无功需求、发电机控制与AC可行运行点集，故DC算子电阻不变性不能替代R/X实验，亦不作直接迁移至AC潮流、AC-OPF或现场量测之声明。研究结论部分翻译为：本研究评估了随机负荷与可再生发电下零样本跨拓扑DC潮流预测，主协议在IEEE-30开发模型并以不变权重在IEEE-57评估，补充实验增加明确量化的可再生功率情形、独立IEEE-118测试与配对辐射拓扑压力配置而不替代原始留出结果。KENO-Krylov较所测学习替代方法（含针对性更长训练对照）保持较低外部相角误差，该优势不意味精确功率平衡：500场景IEEE-118测试上相角MAE与相对KCL中位数达7.719°与0.974，辐射网络上出现显著误差，故图规模架构兼容性比统一高数值精度得到更广泛确立。外部消融与完全未学习PCG-20对照表明Krylov-like方向记忆机制提供主要数值能力，学习组件提供小幅一致相角误差修正而非在所有物理指标上优越，受控可再生情形量化网络相关响应而非普适渗透率—误差规律。点预测迁移与不确定性校准迁移被发现相互独立，内部共形校准表现适当但标称覆盖率在新拓扑失败，尽管区间宽度与误差强关联，故未来需专门跨拓扑校准机制。KENO-Krylov并非收敛性DC数值求解器替代，基于容差PCG与Cholesky更精确且被测设定下重复Cholesky求解更快，参数紧凑性与可微共享物理迭代支持研究表述但不确立运行计算优越性。结论限于特定合成无损DC模型与所测图修改，经验证热稳定安全性、新拓扑可靠不确定性校准、电阻相关AC行为与现场数据有效性均未确立，这些局限是所报告迁移结果解释的组成部分。