具有状态依赖延迟的半线性随机微分方程温和解的存在唯一性

《Mathematical and Computational Applications》：Existence Results for Semilinear Stochastic Differential Equations with State-Dependent Delay and an Illustrative Example

　　

摘要

本文研究了一类由无限维维纳过程驱动的、具有状态依赖延迟的半线性随机微分方程的温和解的存在性和唯一性问题。假设漂移系数和扩散系数满足李普希茨条件和线性增长条件，并且延迟函数关于相空间范数是李普希茨连续的。由于延迟依赖于未知解，相应的解算子并不自动成为连续适应过程空间上的压缩映射：只有当轨迹在时间上足够正则时，延迟失配项才能被有界化。因此，我们在一个具有共同时间李普希茨模和均方尺寸界的轨迹闭集上工作，并显式地假设解算子将该集合映射到自身。在此假设下，巴拿赫不动点定理和伊藤型矩估计给出了局部存在唯一性定理，其中唯一性是在所选择的类别内理解的。当扩散项消失时，我们给出了不变性的显式充分条件，证明了对于非退化扩散，不变性在该类中不可能成立，并用一个二维实例说明了该结果。