利用非静力多层建模方法进行相位分辨的沿海波浪建模

《Coastal Engineering》：Phase-resolved coastal wave modelling using a non-hydrostatic multilayer formulation

　　摘要
我们提出了一种非静力多层求解器，适用于在复杂海底地形和存在沿海结构的情况下进行相位分辨的沿海波浪动力学模拟。该求解器使用垂直拉格朗日分层表示法离散化不可压缩的纳维-斯托克斯方程，其中层界面是物质表面，而非静力压力修正将各层耦合在一起。相对较少的层数足以表示表面重力波的平滑垂直结构，因此该公式能够在广泛的水深范围内高效地求解色散非线性波浪动力学。基于线性色散关系的色散帕德逼近，实现了一种生成-吸收边界条件（GABC），可以在没有扩展松弛区的情况下同时生成波浪和吸收边界反射波。引入了一种嵌入式边界公式，使得可以在多层框架中表示防波堤和码头墙等垂直沿海结构。

模型通过实验室实验进行了验证，涵盖了线性、非线性和破碎波条件、变海底地形上的波浪变换、底部安装圆柱体上的波浪荷载以及通过港口开口的衍射，并与体积流体参考求解器以及SWASH和FUNWAVE波浪模型进行了对比测试。在长距离传播过程中，数值能量损失保持在1%以下，而且无需经验性破碎闭合即可再现波浪在海滩上的能量耗散。生成-吸收边界条件在色散范围内实现了几百分比的测量反射系数，而嵌入式边界再现了垂直圆柱体上的测量波浪荷载，包括次级荷载循环。

引言
表面重力波的数值建模可以通过物理细节和计算成本不同的模型层次结构来进行。在最一般的层面上，流体运动由纳维-斯托克斯方程控制，这些方程描述了粘性流体的质量和动量守恒。直接数值求解这些方程可以解析完整的速度和压力场，因此能够捕捉到垂直加速度、湍流和色散波浪动力学。尽管近几十年来计算能力有了显著提高，但对于跨越大空间和时间尺度的沿海和海洋波浪问题，完全解析的纳维-斯托克斯模拟的成本仍然过高。
对于许多波浪应用，远离边界层和破碎区域的主要流动物理可以近似为无粘性和几乎无旋的。在这些假设下，控制方程简化为势流，其中速度场表示为满足拉普拉斯方程的速度势的梯度。这种公式是几种数值波浪模型的基础。完全非线性势流（FNPF）求解器和边界元素方法直接施加非线性自由表面边界条件（参见例如Grilli等人，2001年；Tanizawa，1995年），而更高阶谱方法（HOS）使用自由表面和速度势的谱表示来高效模拟非线性波浪场（Dommermuth和Yue，1987年；West等人，1987年）。这些模型能够高精度地表示强非线性和色散波浪动力学，并已广泛应用于陡波演化和波浪-结构相互作用等问题，但当粘性效应、湍流、强涡度或自由表面的不连续性（如波浪破碎时）变得重要时，它们的适用性就受到了限制。此外，许多HOS公式固有的周期域假设使得涉及复杂海岸线和强烈不均匀海底地形的模拟变得复杂。
因此，在沿海应用中，通常希望在引入减少计算成本的近似的同时保留动量方程。当流动的垂直长度尺度相对于水平尺度较小时，垂直动量方程简化为静力平衡，从而得到浅水方程。这些模型计算效率高，广泛用于大规模沿海模拟，如风暴潮和海啸传播（LeVeque等人，2011年），但静力假设阻止了它们表示色散波浪动力学。为了克服这一限制，开发了弱色散波浪模型。布辛涅斯克型方程通过势流方程的渐近展开引入了色散修正，遵循布辛涅斯克（1872年）的原始工作以及Peregrine（1967年）的现代深度积分公式和Madsen与Sorensen（1992年）及Nwogu（1993年）的后续改进。这些模型已广泛应用于冲浪区动力学（Madsen等人，1997年），包括通过捕捉冲击波的公式扩展来处理波浪破碎（Tissier等人，2012年；Roeber和Cheung，2012年）。这些深度积分模型的一个实际优点是，与浅水方程一样，它们采用底面跟踪坐标，因此可以自然处理变化的海底地形而无需任何垂直网格划分。虽然布辛涅斯克型模型在沿海应用中取得了相当大的成功，但它们依赖于深度与波长比的渐近展开，这形式上限制了它们对较长波长的有效性，并且假设流动是无粘性和几乎无旋的。
另一种方法是非静力多层模型，该模型将水柱离散为有限层，并求解各层的动量方程以及非静力压力。Casulli和Stelling（1998年）在海岸工程中首次提出了带有非静力压力的浅水方程扩展，使用固定垂直坐标和分步求解得到的压力泊松方程，随后Stelling和Zijlema（2003年）以及Zijlema和Stelling（2008年）对其进行了进一步发展。基于这些公式的SWASH模型（Zijlema等人，2011年）是最广泛使用的非静力多层模型之一，已广泛应用于近岸波浪变换，包括深度诱导的破碎（Smit等人，2013年）、次重力波动力学（Rijnsdorp等人，2014年）和冲浪区湍流（Zijlema，2014年）。NHWAVE模型（Ma等人，2012年）采用了类似的方法，但在经典sigma坐标网格上。本工作中采用的公式遵循Popinet（2020年）的垂直拉格朗日多层模型，在Basilisk框架内实现，这与SWASH的垂直欧拉地形跟随方法不同，它处理垂直层结构的方式有所不同。第2.1节详细讨论了这一技术区别。通过数值近似而不是渐近展开来处理垂直结构，多层模型能够随着层数的增加而越来越准确地再现色散波浪动力学，同时保持基于动量方程的公式。与势流方法相比，它们的推导仅需要假设不可压缩性，并不强加无粘性或无旋流动。
同时，多层模型的计算成本显著低于使用体积流体（VOF）等界面捕捉方法的完全解析纳维-斯托克斯模拟，因为自由表面由最上层界面隐式表示，且仅离散化水相。垂直分层结构允许使用具有层间垂直耦合的二维椭圆问题高效求解非静力压力。因此，即使在大的沿海区域和长时间内，相位分辨模拟也是可行的（Popinet，2020年）。
在上述方法中，非静力多层模型特别适合相位分辨的沿海波浪模拟。相对较少的层数足以表示表面重力波的平滑垂直结构，这使得分层离散化高效。与两相体积流体表示相比，主要的物理限制是无法在分层框架中表示波浪翻转和空气卷入。然而，正如目前的验证所示，即使在陡峭的破碎波条件下，这一限制也不会妨碍模型的良好性能。图1展示了一个例子，其中不规则短峰海面的表面根据Barthelemy等人（2018年）的运动学破碎准则进行了着色。
在这项工作中，我们将Popinet（2020年）的非静力多层公式适配用于相位分辨的沿海波浪建模。引入了两个新的扩展：一个用于不规则和短峰波场的生成-吸收边界条件，以及一个用于垂直结构的嵌入式边界公式。在长时间模拟真实海况时，反射波不可避免地会返回到域边界，边界处理必须生成入射波，同时吸收出射干扰并控制由斯托克斯漂移引起的缓慢质量累积。已建立的处理方法包括弱反射辐射条件和海绵层或松弛层（例如Zijlema等人，2011年；Vasarmidis等人，2021年）。为此实现了一种生成-吸收边界条件，在单个边界单元内执行生成、吸收和平均水位控制，如第2.4节所述和解释的。

垂直结构如防波堤、码头墙和桥墩在沿海工程应用中也很常见，但表面跟随的分层网格无法适应该结构而不导致严重的单元偏斜。嵌入式边界公式解决了这个问题，直接在分层网格中表示这些结构，并通过压力积分在其上生成波浪荷载（第2.5.1节）。
本研究追求两个目标。首先是验证多层模型在具有变化海底地形的非均匀沿海环境中传播色散、陡峭和不规则波浪的能力，将其准确性与实验室测量和三维体积流体参考进行量化。其次是验证这两个新扩展，并证明它们按预期工作，提供在开放边界处准确的波浪生成和吸收以及与垂直沿海结构的直接波浪相互作用。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了多层求解器的控制方程及其数值离散化，以及进行相位分辨沿海波浪模拟所需的修改。第3节通过多个实验室实验评估了该模型，重点是其保持和耗散波浪能量的能力、再现非线性和破碎波的能力、计算垂直结构上的波浪荷载以及模拟绕过障碍物的波浪衍射的能力。第4节讨论了建模框架的优点和缺点，第5节总结了主要发现并指出了未来工作的方向。

模型框架
本节描述了本研究中使用的数值模型。底层的多层公式遵循Popinet（2020年），并在第2.1节中进行了总结。此后该求解器扩展了半隐式时间步进方案，这在第2.2节中有介绍，因为它对本研究的沿海波浪模拟具有实际意义。本工作引入的扩展包括（i）

验证案例
对实验数据的严格验证对于评估任何数值波浪模型的预测能力至关重要。这种验证为评估模型再现控制沿海波浪动力学的关键物理过程的能力提供了定量基础，同时也揭示了在不同流动条件下的局限性。特别是，准确表示能量守恒、色散波浪传播、数值稳健性以及与之相关的耗散。

结论
本文中，Popinet（2020年）的非静力多层模型已被适配用于沿海环境中的相位分辨波浪模拟。实现了生成-吸收边界条件，这些条件同时规定了入射波场并吸收出射反射波，使得可以长时间模拟不规则和短峰波场而无需扩展松弛区。引入了嵌入式边界公式，允许表示如防波堤等垂直沿海结构。

作者贡献声明
?ystein Lande：撰写——原始草案、验证、方法论、形式分析、数据管理、概念化。
Stephane Popinet：撰写——审阅与编辑、验证、软件。
Odin Gramstad：撰写——审阅与编辑、软件。
Thomas B. Johannessen：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理。
Atle Jensen：撰写——审阅与编辑、监督、资源、项目管理。

资助
本研究得到了挪威研究委员会和Ocean Oasis AS的支持，作为工业博士计划的一部分。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢
特别感谢Marian Boers分享了他对不规则波浪测量活动的数据。我们非常感谢Marcel Zijlema慷慨分享他在SWASH模拟配置方面的知识和指导，这极大地提高了本文中呈现的模型比较的质量和公平性。该项目的计算资源由挪威研究基础设施服务组织（NRIS）提供：?ystein Lande、Stephane Popinet、Odin Gramstad、Thomas B. Johannessen、Atle Jensen。数据来源：奥斯陆大学（UiO）数学系，地址：P.O. Box 1053, Blindern, NO-0316, Oslo, Norway。