《Journal of Multivariate Analysis》：Modeling continuous glucose monitoring curves by Beta generalized nonparametric models
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研究人员提出一种函数型数据分析（functional data analysis, FDA）方法，用于研究实验中每个个体具有重复测量的时间依赖连续血糖监测（continuous glucose monitoring, CGM）数据。将血糖浓度曲线缩放至区间[0
研究人员提出一种函数型数据分析（functional data analysis, FDA）方法，用于研究实验中每个个体具有重复测量的时间依赖连续血糖监测（continuous glucose monitoring, CGM）数据。将血糖浓度曲线缩放至区间[0,1]后，研究人员采用具有两个时变参数的Beta分布对其进行建模。在此背景下，研究人员建立了一种局部线性最大似然平滑（local linear maximum likelihood smoothing）流程，该流程在多于一个参数依赖时间时有效。该方法即使在仅有一个或少数个体可用时也适用，这相较于此前的函数型方法在该情形下具有优势。研究人员利用合成数据集以及一个大型真实临床试验数据集，从计算时间和模型拟合两方面评价估计器的性能，并将该方法与文献中现有方法进行比较。从方法学角度看，研究人员通过建立估计及近似留一交叉验证（leave-one-out cross-validation, LOOCV）的理论表达式，将局部似然估计从单一时变参数扩展到两个时变参数。此外，研究人员表明这种基于核（kernel）的方法可与当前函数型回归模型主流的基于样条（spline）的估计方法相竞争。
研究背景与问题：可穿戴设备已用于连续监测健康相关参数，其中连续血糖监测（continuous glucose monitoring, CGM）以毫克每分升（mg/dL）记录间质葡萄糖水平（interstitial glucose level, IGL），有助于糖尿病诊断。连续监测数据具有相关性和大数据量特点，函数型数据分析（functional data analysis, FDA）将观测视为连续时间区间上的随机函数。Gaynanova等提出多水平Beta函数型模型：先用个体最小值m
i和最大值M
i将IGL缩放至[0,1]，令Y
ik(t)~Beta(α
i(t),β
i(t))，再以矩估计和函数型主成分分析（functional principal component analysis, FPCA）平滑均值、方差函数并反推α
i(t)、β
i(t)。该模型未说明同一观测函数不同时间点的依赖结构；其估计需要完整函数数据和多水平结构。二参数广义非参数回归通常采用样条基方法（如广义可加模型（generalized additive model, GAM）和广义可加模型位置尺度形状（generalized additive models for location, scale and shape, GAMLSS）），而局部似然多用于单参数；二参数局部似然中的估计表达式、影响函数、有效自由度和基于留一交叉验证的带宽近似尚需扩展。为给时间依赖Beta模型提供替代估计，研究人员在独立观测假设下简化模型，使每个个体可单独估计，且样本量可为n=1，并发展二参数局部线性最大似然平滑。
研究人员开展的研究、结论与意义：研究人员提出独立观测下的Beta广义非参数模型，对每个个体的Y
i(t
ij)~Beta(α
i(t
ij),β
i(t
ij))分别建模；建立二参数局部线性最大似然估计，推导估计方程、Hessian矩阵、影响函数、近似留一交叉验证及有效自由度与赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC）；推导Beta分布对数密度的一阶、二阶导数并给出R实现。研究人员用合成数据和REPLACE-BG临床试验数据，与GayPunCra、局部常数最大似然、GAMLSS、GAM(betar)比较。结论是局部线性最大似然与GAMLSS统计表现相近且优于局部常数和GAM；近似留一交叉验证显著节省计算时间；局部线性估计虽计算成本更高但优于局部常数。其意义在于将局部似然估计由一参数扩展到二参数，填补二参数广义非参数回归局部似然估计的空白，并显示核方法与样条方法可竞争，为CGM个体级建模及全局降维提供工具。
关键技术方法（不超过250字）：关键方法包括函数型数据分析（FDA）；按个体最小/最大IGL将CGM曲线缩放至[0,1]并用Beta分布两时变参数建模；二参数局部线性最大似然（local linear maximum likelihood）；核权局部拟合；近似留一交叉验证（approx-LOO CV）选择带宽，并与留一、5折交叉验证比较；BFGS、Nelder–Mead或nlm数值优化；R实现。合成数据样本量m=1001；真实队列为REPLACE-BG随机临床试验，n=226例≥18岁、1型糖尿病（type 1 diabetes, T1D）病程至少1年的成人，来自14个中心，使用Dexcom G4 Platinum CGM每5 min记录。比较GAMLSS、GAM(betar)、GayPunCra，并用FPCA和多维标度（multidimensional scaling, MDS）作全局概览。
研究结果：
2 Beta functional models：通过回顾多水平Beta函数型模型，明确缩放和参数反推框架。
2.1 Multilevel Beta functional model：通过描述Gaynanova等模型，指出其以FPCA光滑均值、方差并估计α
i(t)、β
i(t)。
2.2 Multilevel Beta functional model with independent observations：通过假设所有观测独立，提出可按个体估计且适用于任意样本量n的简化模型。
3 Local likelihood in a two-parameter model：通过将局部线性最大似然推广至二参数，建立核权局部似然目标。
3.1 Maximum local linear log-likelihood estimation：通过一阶Taylor近似定义局部线性对数似然及估计量。
3.2 First-order conditions：通过矩阵形式给出估计方程。
3.3 Bandwidth choice：通过留一交叉验证框架提出二参数带宽选择扩展。
3.3.1 Leave-one-out cross-validation：通过定义CV(h)明确最优带宽为最大化CV(h)。
3.3.2 Approximate leave-one-out cross-validation：通过Theorem 1给出近似CV和AIC，表明可用有效自由度降低计算量。
4 Local likelihood estimation in the Beta model：通过推导Beta分布对数密度的一阶、二阶导数，将方法专门化。
4.1 Implementation：通过R实现nlm/optim及三种带宽方法，并用稀疏矩阵加速。
4.2 A toy example：通过m=1001合成数据比较六种估计策略和四类方法，得出局部线性拟合更接近真值；局部线性与GAMLSS相似并优于局部常数和GAM；近似LOO耗时约为朴素LOO或5折的四分之一。
5 A data application：通过REPLACE-BG数据比较五种方法，五法样本外对数似然接近，局部线性与GAMLSS略优，GAM较差；计算时间GAM和GayPunCra最快，其次局部常数、局部线性、GAMLSS。
5.1 From individual estimations to a global view of the dataset：通过将个体估计的Beta分布视为函数型数据，采用基于积分Aitchison距离的MDS/FPCA，前三主成分解释88%变异，分别反映整体变化、昼夜周期和早晚差异。
讨论总结与结论翻译：讨论总结表明，该研究采用FDA分析可穿戴CGM数据，在Gaynanova等模型基础上提出独立观测简化，使个体级估计成为可能；将局部线性最大似然由一参数扩展到二参数，并发展基于留一交叉验证的带宽近似。合成数据表明近似LOO显著减少计算时间，局部线性优于局部常数，与GAMLSS类似但用时更少；GAM虽快但统计表现较差。REPLACE-BG中五法统计表现可比，局部线性与GAMLSS略优，计算时间以GAM和GayPunCra最有效。最后将估计的变参数Beta分布作为函数型数据降维，获得全局概览。研究人员推荐使用局部线性最大似然并以近似留一交叉验证选择带宽。未来可研究日内受试者内相关结构，并对功能日数据进行对齐以减少日间相位变异。
研究结论翻译：本文采用函数型数据分析方法分析可穿戴设备数据，重点关注CGM函数。基于Gaynanova等提出的模型，研究人员在假设所有观测独立的情况下提出一种简化。该模型允许使用为广义非参数模型开发的技术进行个体水平估计。文献中此类模型通常用基于样条的方法如GAM和GAMLSS估计，后者允许多个参数依赖响应。本研究目标是探索使用局部似然估计替代样条的GAM和GAMLSS替代方法。因此，研究人员将局部线性最大似然估计从一参数扩展到二参数。此外，研究人员遵循Loader一参数情形的步骤，发展了基于留一交叉验证的带宽选择理论近似。在合成数据集上测试所提方法显示，与朴素留一或5折交叉验证相比，近似留一交叉验证显著减少计算时间。此外，研究表明，尽管计算成本显著更高，局部线性估计显著优于局部常数似然估计。与GAMLSS相比，局部线性估计器以更少时间得到相似结果。最后，GAM方法更快，但其统计结果远差于其他三种方法。研究人员分析了来自大型临床试验的真实数据集，该数据包含可穿戴设备获得的CGM数据。比较了五种估计方法。就统计性能而言，五种方法结果可比，局部线性最大似然和GAMLSS略有优势，其次是局部常数估计器和GayPunCra，最后是GAM方法。就计算时间而言，最有效的是GAM和GayPunCra方法，其次是局部常数最大似然、局部线性估计，最后是GAMLSS。在REPLACE-BG数据分析的最后一步，研究人员将一组估计的变参数Beta分布视为抽象函数型数据集。降维分析使研究人员能够提供这些数据的全局概览，从个体估计中提取共同模式。根据所有发现，研究人员推荐使用基于近似留一交叉验证选择带宽的局部线性最大似然。若干未来研究方向仍然开放。首先，日内、受试者内相关性的影响可在反映第5节所分析真实数据依赖结构的补充模拟研究中研究。此外，将功能日数据对齐以减少日间相位变异可能有益于CGM数据应用。作者：Nihan Acar-Denizli|Pedro Delicado。
