带复合测量噪声和时变拓扑的有向符号矩阵加权网络上的非平凡一致性

《Systems & Control Letters》：Non-trivial consensus on directed signed matrix-weighted networks with compound measurement noises and time-varying topologies

　　•带噪声的时变符号矩阵加权网络上的非平凡共识。
•智能体状态在均方和几乎必然意义下收敛到任意预设非零值。
•时变拓扑只需有界边和一致正定性。
•控制增益平衡了噪声的累积效应、衰减性和有限能量。
•放宽的连通性条件，无需结构平衡或非平衡要求。引言
共识作为网络化多智能体系统（MASs）的核心主题，旨在通过局部交互使一组智能体达成共享状态，通常基于无符号标量加权图，具有固定或切换拓扑以及可忽略的扰动[1]。
当通信测量被噪声和扰动污染时，系统动力学本质上变为随机的。基于随机微分方程理论[2]，学者们对带噪声的MASs的动态行为进行了深入研究。文献[3]研究了具有共存加性和乘性测量噪声的连续时间多智能体共识，在动态拓扑下提供了均方和几乎必然意义下的共识条件。特别地，加性噪声通常被视为独立于智能体状态的外部扰动，而由相对状态测量驱动的乘性噪声则引入状态相关的不确定性。后续工作[4]分别考虑加性和乘性噪声，推导了带时滞的连续时间MASs的共识条件。此外，文献[5]研究了带乘性噪声的线性MASs的事件触发共识。
除噪声外，对抗性在现实中自然而普遍地存在。因此，符号网络[6]——其中边可以表示合作或对抗交互——应运而生，并导致性质不同的集体行为。符号网络上的经典动力学包括（区间）二分共识或平凡共识[6], [7], [8], [9]，其中智能体状态可能分为两组，具有相同幅值但符号相反。Altafini的开创性工作[6]形式化了这种二分共识动力学，并刻画了该行为出现的结构平衡条件。文献[10]研究了带通信噪声的符号网络的均方二分共识问题。另一方面，文献[11]通过在合作-竞争交互信息中加入噪声，在均方和几乎必然意义下实现了符号网络上的差分隐私二分共识。
然而，上述共识公式主要考虑标量权重和结构平衡拓扑（对于符号网络），难以捕捉智能体状态之间的多维耦合，例如耦合振荡器和多连杆摆动力学[12], [13]、意见动力学中不同主题之间的逻辑依赖[14], [15], [16]，以及分布式控制和估计中的图有效电阻[17], [18]。矩阵加权网络[19]将标量加权交互扩展为揭示共识和聚类中更丰富的现象。在矩阵加权网络上的共识算法研究中，文献[19]建立了称为“正生成树”的关键几何条件，用于实现无向无符号网络中的共识。对于符号矩阵加权网络，经典图性质（如结构平衡）不能直接保证二分共识，需要新的结构（如非平凡平衡集）来刻画这种稳态[20]。随后对有向和无向符号网络的研究发展了实现二分共识和平凡共识的代数与几何判据[21], [22], [23]。代数条件集中在矩阵加权拉普拉斯算子的零空间和谱性质上[22], [23], [24]。虽然先前的研究[25], [26]考察了带噪声的矩阵加权网络上的隐私保护和共识性能，但在考虑具有对抗交互和复合噪声的系统方面仍存在空白。
非平凡共识由文献[27]引入，描述了符号网络中相对新颖的收敛行为，即尽管存在合作和对抗交互，智能体在值和符号上都达成一致。这种行为先前被认为是全合作群体独有的。非平凡共识范式具有显著的理论和实践意义，潜在应用从无人机网络中的编队控制[28]到社交网络中的意见操纵策略[29], [30]。在后一种情境中，信任和不信任的普遍共存往往导致政府、政治阵营和意见持有者之间的意见分歧[7]。因此，研究非平凡共识可以为引导包含不信任关系的网络走向共同意见提供策略，从而防止在特定主题上最终出现极化或冷漠。然而，现有关于非平凡共识的研究仍然稀少。文献[27]建立了非平凡共识的可行性，但仅限于（本质上）合作网络；文献[9]推导了无向符号网络的充要条件——需要连通性和结构平衡，但未提供显式的控制设计。在有向符号网络上，文献[31]在结构平衡和非平衡条件下都实现了非平凡共识。然而，上述所有工作都局限于标量加权网络框架。文献[32]对矩阵加权网络做了一次扩展，提供了保证接地矩阵加权拉普拉斯算子正定性的条件，并进一步开发了有向符号矩阵加权网络实现非平凡共识的系统性方法。然而，该方法在无测量噪声的理想条件下运行，且所考虑的拓扑不能随时间连续演化。
综上所述，对于具有复合噪声和有向时变拓扑的符号矩阵加权网络，实现非平凡共识仍然是一个开放问题。本文相对于现有文献的新颖方面如下所述。
1.首先，建立了受复合噪声影响的有向符号矩阵加权网络的随机模型。该模型联合刻画了维间对抗交互、独立于智能体状态的加性噪声以及由相对状态测量驱动的乘性噪声。我们的模型适当将文献[3]中的经典SDE模型推广到更一般的矩阵加权框架，具有更大的通用性和更广泛的适用性。基于文献[32]中的接地矩阵加权拉普拉斯算子性质，非平凡共识任务进一步转化为非平凡共识误差的稳定性问题。
2.其次，在具有有向固定拓扑和复合噪声的符号矩阵加权网络上实现了均方非平凡共识和几乎必然非平凡共识。具体而言，对于任意预先指定的非平凡共识目标??≠????，通过合成知情智能体????(??)的选择、耦合系数?????(??)、耦合矩阵权重?????(??)、外部信号??0?(??)的确定以及控制增益???(??)的设计，确保所有智能体状态在两种随机意义下收敛到??。???(??)的设计突出体现了对时间累积效应、渐近衰减特性和测量噪声对应有限能量的平衡考虑。与大多数现有带噪声MASs共识算法成果[3], [5], [10], [26]相比，我们在矩阵加权网络上实现了非平凡共识，这是一个相对新颖的收敛结果，融合了复合噪声、对抗交互和有向拓扑。同时，与现有矩阵加权网络共识算法工作通常要求正生成树[19], [23]或正负生成树[20], [24]条件不同，我们的协议在更温和的连通性条件下运行，且无需结构（非）平衡性质要求。
3.最后，在具有有向时变拓扑和复合噪声的符号矩阵加权网络上，进一步实现了均方非平凡共识和几乎必然非平凡共识。与现有带时变拓扑的矩阵加权网络共识算法工作[32], [33], [34]相比，我们的拓扑假设是相对更温和的条件，因为我们没有在理论上假设有限拓扑集或驻留时间的存在。相反，只需要元素有界性和一致正定性条件，允许网络拓扑随时间连续演化，这促进了矩阵加权网络上共识算法中“时变拓扑”概念的实用性。
后续章节结构如下。第2节描述了具有时变拓扑和控制增益函数的一般符号矩阵加权网络的符号和构成性描述。第3节给出了带复合测量噪声的具体网络模型、我们研究中的均方非平凡共识和几乎必然非平凡共识定义，以及关于接地矩阵加权拉普拉斯算子性质的基本引理。第4节给出了主要结果：首先在具有固定拓扑的符号矩阵加权网络上证明均方和几乎必然非平凡共识，然后扩展到时变设置。第5节进行了支持我们理论结果的数值实验。最后，第6节给出结论性评述。
章节片段
符号
?,?,??,?分别表示复数集、实数集、正整数集和自然数集。对于任意??∈??，??????????{1,…,??}。????×??∈???×??,????∈???表示元素全为零的矩阵和向量。对于??维对称矩阵??=???，记号?????（?????）表示??是正定（半正定）的，即对于任意??∈???,??≠????，有?????????>0（?????????≥0）。而记号?????（?????）表示??是负定（半负定）的，即对于任意??∈???,??≠????，有?????????<0（?????????≤0）。更多
问题公式化
实际系统总是受到扰动的影响。在MASs背景下，相邻智能体之间交换的信息通常被通信或测量噪声污染。为了考虑这些不完美因素，我们将名义动力学（1）扩展为包含加性和乘性噪声项：??????(??)=???(??)?∑??∈?????(??)|????????(??)|?[???????(????????(??))??????(??)??????(??)+???????????????1???????(??)+????????(?????(??)??????(??))???2???????(??)],??∈????????，其中????????(?):???????表示状态相关噪声强度函数，???????表示
固定拓扑
我们首先考虑???(??)≡??的情况，然后扩展到时变情况。
定理1
考虑具有固定拓扑??的系统（5），假设乘性噪声强度????????(?)满足假设3.1，拓扑??满足假设3.2，并且对于控制增益函数???(??)，有∫∞0???(??)????=∞,lim??→+∞????(??)=0，则系统（5）允许均方非平凡共识，即（6）成立。
证明
由（12），可以等价地证明lim??→+∞????‖??(??)‖2=0。由引理1，?????是Hurwitz的，因此存在
数值例子
结论
本文研究了有向符号矩阵加权网络上带有加性和乘性测量噪声的非平凡共识——一种相对未被充分探索的集体行为形式。对于任意预先指定的非平凡共识值，所提出的协议通过知情智能体选择、耦合项和外部信号确定以及控制增益设计的综合，保证所有智能体收敛到这个共享非零值。协议要求
CRediT作者贡献声明
Tianmu Niu：写作——审阅与编辑，写作——原稿，方法论，概念化。Ling Lei：监督，写作——审阅与编辑。Xiaoqun Wu：写作——审阅与编辑，监督，资金获取。
利益冲突声明
作者声明，他们没有任何已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。
Tianmu Niu|Ling Lei|Xiaoqun Wu