斯托克斯第二问题的解析解以及受动态滑移边界条件约束的牛顿流体的振荡库埃特流动

《European Journal of Mechanics - B/Fluids》：Analytical solutions for Stokes’ second problem and oscillatory Couette flow of a Newtonian fluid subject to a dynamic slip boundary condition

　　**摘要**
在动态壁面滑移的假设下，推导了由振荡壁驱动的斯托克斯第二问题和牛顿平面库埃特流动的解析解。速度场被分解为瞬态和周期性分量，这两种分量的显式封闭形式表达式都是通过拉普拉斯变换方法得到的。研究了滑移松弛参数对速度剖面和相应剪切应力的影响，并与文献中的现有结果进行了比较。发现壁面滑移会延迟转向纯周期流动的过程，且随着滑移松弛参数的增加，这种延迟变得更加明显。在周期性流动区域，纳维滑移参数会在速度中引入负相位偏移，而剪切应力则与壁面运动保持同相位；相反，动态滑移参数会在速度场和剪切应力中引入正相位偏移。

**引言**
由无限平板运动驱动的流动以及平行移动平板之间的流动是典型的流体动力学问题，在粘度测量、润滑、热传递和涂层现象中有着广泛的应用[1] [2]。相应的非稳态流动，无论是牛顿流体还是粘弹性流体，在恒定、时间依赖性和振荡壁面速度的作用下也受到了相当多的关注[2] [3] [4] [5] [6]。特别是Erdogan[7]对粘性流体在谐波振荡平板附近流动的斯托克斯第一问题进行了详尽的研究。当存在精确解时，它们为边界运动、体力、边界剪切应力或压力梯度所产生的流动的数值和近似解析研究提供了参考案例，其中时间发展完全由施加的边界条件和驱动条件决定[8] [9] [10]。在这些类型的问题中，非稳态振荡库埃特流动因其涉及的不同物理方面而受到极大关注。例如，Jha[11]分析了对流和磁场对流动的影响；Fetecau和Vieru[12]获得了斯托克斯第二问题的精确解；Erdogan和Imrak[13]使用傅里叶变换技术得到了进一步的解析结果；Seth和Singh[14]研究了其中一块板振荡而另一块板静止的平行板之间的磁流体流动，后来Seth等人[15]将分析扩展到包括诱导磁场的情况。对于微纳设备中典型的时间周期流动，Shi和Sader[16]开发了一种晶格玻尔兹曼方法来模拟振荡斯托克斯流动，其中流体由振荡压力梯度驱动，并且在静止通道壁上遵循无滑移条件。尽管对振荡剪切流动已有大量研究，但壁面滑移的影响尚未得到充分理解。此外，众所周知，在许多实际应用中，包括微流控流动、聚合物加工以及在水疏性或粗糙表面上的流动中，经典的无滑移边界条件并不成立[17] [18]。
近年来，由于壁面滑移在工业流动稳定性中的关键作用及其对流变测量精度的影响，对其研究受到了极大的关注。Navier[19]提出了一个基于滑移速度????与壁面剪切应力????线性关系的滑移方程：????=??????，其中滑移系数??可以表示为动态牛顿粘度??与滑移长度??的比值，即??=??/??。后者长度代表了速度如果沿直线延伸会消失的假设外推距离。因此，方程（1）代表了经典的静态滑移定律，在该定律中滑移速度与流体的过去运动无关。在极限情况??→∞时，滑移速度消失，恢复到经典的无滑移边界条件。
对于沿着??方向在??=0处的静止壁上进行的稳定单向牛顿流动，速度场简化为?????(??)，其中????=?????(0)，壁面剪切应力为：????=????????(0)=?????????(0)????。结合方程（1）和（2）得到速度边界条件[20]：?????(0)=???????????(0)????。
在经典的（静态）纳维滑移模型（方程（1）中，滑移长度是固定的且不随时间变化的情况下，已经报道了许多各种非稳态剪切流动的解析解。特别是，斯托克斯第二问题和振荡库埃特流动的精确解揭示了壁面滑移对靠近壁面的梯度耗散速率以及速度场响应相位偏移的影响[21] [22]，而复数振幅频域方法得出了振荡流动的振幅-相位滑移长度[23]；进一步的研究涉及振荡壁面，证实了相位延迟的表观滑移长度[24]。其他相关研究包括包含滑移和温度跳变边界条件的气体库埃特流动的连续介质分析，强调了稀疏现象[25]；通过分子动力学模拟的振荡库埃特流动，显示了剪切率的振荡频率和振幅的依赖性[26]；以及关于壁面与流体亲和性和润湿性的研究[20]；还有考虑滑移的启动通道流动，强调了初始瞬态的作用[27]。Archer[28]强调了速率效应、表面化学、粗糙度和壁面顺应性引入的显著测量和建模挑战，最近的分子动力学研究表明，即使对于看似简单的水在石墨烯上的情况，准确估计滑移长度仍然很困难[29]。已经提出了几种理论框架来模拟壁面滑移机制，这些包括基于接头失效的粘合断裂模型[30]、聚合物流动行为的流变特性描述[31]、将滑移速度与剪切应力、温度和压力相关联的艾林型粘合失效模型[32]、活化理论方法[33]、具有对流释放的粘合结合[35]以及弹性体的热力学公式[36] [37]。总的来说，这些工作表明，界面动力学、分子结构和体积流变响应决定了滑移机制，导致了具有滞后性和对温度及法向应力强依赖性的复杂粘滑行为。
由于经典静态滑移模型假设滑移长度不随时间变化，因此无法捕捉控制非稳态和振荡流动的界面动力学。结果，可以忽略流体-固体界面处的重要记忆和松弛效应。在建立边界条件时，引入了由Pearson和Petrie[38]首次提出的具有松弛参数的动态滑移方程，这是一个重要的进步：????+????????????=??????。方程（4）中的松弛参数??决定了界面现象（如吸附的聚合物层或界面粗糙度）适应施加剪切应力变化的时间尺度。实际上，这种时间延迟是由于纠缠分子从表面解开所需的时间，或者由于剪切作用必须沿界面传播的结构调整[18]。当壁面振荡周期与界面松弛时间相当时，滑移速度响应中会出现记忆效应。定义为受瞬时或历史依赖的剪切应力控制的动态滑移速度对于准确描述非稳态流体-壁面相互作用至关重要。

**实验和流变测量**
实验和流变测量报告了粘滑过渡、滞后性、对法向应力的敏感性以及对振荡频率和振幅的强依赖性；对于聚合物熔体，将粘合或接头失效与时间依赖的滑移联系起来的网络动力学图景解释了法向应力效应和分子参数[39]，而综合性综述记录了温度、压力、分子量和多分散性、表面化学和表面能量以及表面粗糙度和壁面顺应性如何控制测量到的滑移及其速率依赖性[17]。对于多分散线性聚合物，Ebrahimi等人[40]和Grzelka等人提供了直接证据，表明滑移长度在接近稳定平台之前随着剪切的增加而增加，伴随着靠近壁面的速度快速上升和随后的粘弹性松弛[41]；在大振幅振荡剪切下，屈服应力流体表现出依赖于频率和振幅的表观滑移，伴随着可测量的相位滞后，这与不断演变的界面状态一致[42]。
数学上，添加动态滑移条件（见方程（4）将边界问题转化为具有自身状态变量的演化问题。已经证明了三维流动的适定性和有限维全局吸引子的存在[43]，已经发展了一种阐明长时间稳定性的线性化理论[44]，并且已经证明了二维流动的强解及其吸引子维度估计[45]。 juga已经分析了非牛顿流体[46]和更一般的纳维-斯托克斯型模型[47]。对于典型流动几何形状，已知的松弛型壁面定律改变了启动响应、衰减长度、相位滞后和相对于静态滑移情况的壁面剪切应力。使用变量分离和拉普拉斯变换得到的平面和环形Poiseuille流动及库埃特流动的显式解揭示了与静态滑移预测相比的振幅和应力超调的调制[48] [49] [50] [51] [52]。最近还解决了具有动态壁滑移的正方形通道中的Poiseuille流动[53]。在这个背景下，Barrera等人[54]为圆管和同心环形结构中脉动、压力驱动的Jeffreys型粘弹性流体的流动开发了一个分析框架，其中考虑了动态壁滑移。同时，高保真模拟和介观方法提倡时间依赖的滑移，以更准确地再现靠近壁面的动量传递，并与目标壁面应力和靠近壁面的速度剖面相匹配，如大涡模拟壁模型和具有滑移感知边界的耗散粒子动力学中所展示的[55] [56] [57]。总之，通过剪切应力驱动的松弛律将滑移长度或滑移速度视为动态状态变量对于再现广泛材料和流动条件下实验观察到的界面动力学至关重要。然而，对于具有显式松弛型动态滑移的典型振荡流动，封闭形式的解析解仍然很少，这构成了本研究的主要动机。
本工作的目标是推导出在动态壁面滑移存在的情况下斯托克斯第二问题和振荡平面库埃特流动的精确解析解。我们制定了相关的初始边界值问题，应用拉普拉斯变换，并通过柯西余数定理进行逆变换以获得精确的封闭形式解。速度分解为时间周期性分量????，描述了大时间下的振荡运动，以及瞬态分量????，后者捕捉了启动响应并随时间衰减。这种分解使得能够详细研究滑移松弛参数??在每种贡献的动力学中的作用。我们方法的一个关键方面是仔细处理斯托克斯问题在拉普拉斯域解中出现的分支点奇异性，这对于确定逆变换的有效性至关重要。分析了一般两壁系统以及仅在一壁发生滑移（上壁滑移/下壁无滑移和下壁滑移/上壁无滑移）的两种极限情况下的振荡库埃特流动。我们提供了严格的数学推导以及速度场和壁面剪切应力的显式解析表达式。在每种情况下，我们都确定了瞬态和周期性制度下的壁面剪切应力，从而量化了滑移效应。
与大多数之前假设静态滑移或省略显式瞬态-周期性分解的研究不同，目前的动态滑移框架捕捉了界面响应的完整时间演化，并提供了与微流控、聚合物加工和润滑直接相关的物理透明结果。本文的组织结构如下：第2节重新审视了动态滑移条件下的斯托克斯第二问题，推导了速度和剪切应力剖面。第3节制定了并在两壁都发生动态滑移的情况下解决了振荡库埃特流动。第4节讨论了仅在振荡下板或静止上板内发生动态滑移的情况，强调了所考虑问题中两个边界的作用。第5节通过参数研究提供了滑移长度和滑移松弛时间对速度行为和剪切应力影响的广泛分析，并将其与现有的理论解进行了比较。第6节基于这些结果提供了结论和未来研究的可能扩展。

**斯托克斯第二问题**
考虑在笛卡尔坐标系（??,??,??）中不可压缩牛顿流体的非稳态流动。流体占据半无限域??∈[0,∞)。假设在时间 \( t=0 \) 时，下板开始在其平面内（图1所示）振荡，例如在 \( x \) 方向上，其速度为 \( \mathbf{U}(t)=\mathbf{U}_0\sin(\omega t) \)，其中 \( \mathbf{U}_0 \) 是振荡的幅度，\( \omega \) 是角频率。斯托克斯第二流动问题的数学表达式为：\[ \nabla^2\mathbf{u}\nabla t = \nabla \nabla^2\mathbf{u}\nabla y \quad \text{（其中 } \y \in [0, \infty), \quad t \geq 0 \]，这里的 \( \nabla \nabla = \frac{\partial}{\partial x^2} \) 是梯度的算子。振荡库埃特流动（Oscillatory Couette flow）类似于斯托克斯第二问题（第2节），但它被限制在两块平行板之间。考虑一个不可压缩的牛顿流体，最初静止在两块无限长、水平且平行的板之间，这两块板之间的距离为 \( \text{H} \)。在时间 \( t = 0 \) 时，下板开始在其自己平面内以方程（5）中的速度振荡。在没有施加压力梯度且忽略重力效应的情况下，流动仍然是单向的。

### 振荡库埃特流动的特殊情况

基于对完全发展的振荡粘性流动的一般分析，并考虑了两种典型的特殊情况，这些情况可以孤立单一流动壁的影响。在第一种情况下，上板遵循动态滑动定律（4），而下板无滑动；在第二种情况下，下板遵循（4），而上板无滑动。在这两种配置中，下板都执行正弦运动 \( \mathbf{U}(t)=\sin(t) \)。遵循与之前相同的程序……

### 结果与讨论

本节研究了动态壁滑移对斯托克斯第二问题和振荡库埃特流动的影响，其中下板进行正弦振荡，而上板保持静止。特别关注了滑移强度和松弛时间对流动动力学的影响。在库埃特流动中，滑移定律应用于一个或两个壁面以隔离每个边界的影响。控制方程被映射到拉普拉斯域中……

### 结论

分析了在动态滑移条件下的振荡库埃特流动和斯托克斯问题。动态滑移显著影响了流动，尤其是在板振荡的界面处。对施加在下板上的正弦振荡的影响进行了彻底的研究。发现下板振荡的频率和幅度在决定流动结构中起着关键作用，对速度剖面和剪切应力有显著的影响。

### 术语表

- \( x, y, z \)：笛卡尔坐标（米）
- \( t \)：时间（秒）
- \( \text{H} \)：通道半高度（米）
- \( \text{H} = 2h \)：板间距（米）
- \( \mathbf{u}(y, t) \)：\( x \) 方向上的流体速度分量（米/秒）
- \( \mathbf{U}(t) \)：下板速度（边界激励）（米/秒）
- \( \mathbf{U}_0 \)：板振荡幅度（米/秒）
- \( \omega \)：板振荡的角频率（1/秒）
- \( \mathbf{u}_s(t) \)：滑移速度（米/秒）
- \( \nu \)：运动粘度，\( \nu = \frac{\mu}{\sigma} \)（米\(^2\)/秒）
- \( \mu \)：动态粘度（帕斯卡秒）
- \( \rho \)：流体密度（千克/米\(^3\)
- \( \tau(y, t) \)：流体中的剪切应力，\( \tau = \nu\nabla\mathbf{u}/\nabla y \)（帕斯卡）
- \( \tau_s \)：壁面剪切应力幅度（帕斯卡）
- \( \mu_s \)：滑移系数（纳维数），\( \mu_s = \mu/\sigma \)

### 作者贡献声明

- Meryieme EL Farragui：撰写——原始草稿，可视化，验证，方法论，调查，形式分析，概念化。
- Otmane Souhar：撰写——审阅与编辑，可视化，验证，监督，项目管理，方法论，调查，形式分析，概念化。
- Georgios C. Georgiou：撰写——审阅与编辑，监督，项目管理，方法论，调查，形式分析，概念化。

### 利益冲突声明

作者声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

### 致谢

作者感谢匿名审稿人提供的宝贵意见和建设性建议，这些帮助提高了本文的质量。

### 作者团队

Meryieme EL Farragui | Otmane Souhar | Georgios C. Georgiou
随机与确定性系统建模与控制团队，Chouaib Doukkali大学，理学院，24000 El Jadida，摩洛哥