非线性运动学Kelvin-Voigt模型在考虑几何刚化效应的隔振垫集中参数案例中的半解析解

《Forces in Mechanics》：Semi-analytical solutions for the nonlinear kinematic Kelvin–Voigt model of a vibration isolation pad as a lumped-parameter case study accounting for geometric stiffening

　　

本文提出了一种非线性运动学Kelvin-Voigt（NKKV）集中参数模型，该模型系统地考虑了有限变形运动学和几何刚化效应对粘弹性蠕变行为的影响。与经典的线性Kelvin-Voigt模型不同，NKKV模型的非线性特征使其不存在已知的封闭形式解析解。为了克服这一难题，研究人员应用了混合解析数值法（Hybrid Analytical and Numerical method，HAN method）和解析人工神经网络法（Analytical Artificial Neural Networks Method，AANNM），将离散数值解转化为精确的八次多项式表达式。通过两个独立的半解析框架之间的交叉验证，得到了完全一致的解析解。研究结果表明，由于面积放大效应和几何刚化作用，稳态变形降低了8.7%，并且蠕变响应加速。这项工作建立了一个范式，可将尚无已知精确解的非线性问题的数值解转化为解析表达式，从而增强了计算建模的可解释性和实用性。

一、研究背景与科学问题

粘弹性材料的经典线性Kelvin-Voigt模型通过弹簧刚度k和阻尼系数c描述材料在恒定载荷下的时间依赖性沉降（蠕变）行为，其控制方程为线性常微分方程，具有精确的封闭形式解。然而，该模型假设弹簧刚度和阻尼系数在整个变形过程中保持不变，即假定粘弹性元件的横截面积和高度不发生显著变化。这一假设在小应变条件下基本成立，但在实际工程应用中——如弹性体元件、生物组织、聚合物材料和软物质——经常遇到有限变形情况，此时几何变化变得显著并实质性影响力学响应。在大变形下，材料压缩时横截面积增大、高度减小，有效刚度和阻尼系数成为位移依赖的函数，引入的运动学非线性从根本上改变了系统的行为。

本研究旨在解决以下核心问题：第一，能否利用HAN方法和AANNM框架将NKKV模型的数值解精确转化为有效的封闭形式解析表达式；第二，两种独立半解析框架推导出的解析解如何相互验证；第三，获得NKKV模型解析解相比纯数值方法的特定优势是什么；第四，NKKV模型的蠕变响应与经典线性Kelvin-Voigt模型有何差异，半解析解揭示了哪些关于有限变形效应的物理见解；第五，HAN方法与AANNM在方法论和数据源上的根本区别以及各自的优缺点；第六，混合半解析方法是否增强NKKV模型在实际工程应用中的可解释性和实用性；第七，推导出的解析解对底层数值解精度的敏感性及验证策略；第八，半解析解能否在小变形极限下退化为经典线性Kelvin-Voigt解；第九，NKKV模型预测对工程设计特别是稳态变形和蠕变响应时间尺度的实际意义；第十，本研究所展示的方法论如何扩展到更复杂的耦合非线性微分方程、高维系统和多物理场问题。

二、研究方法概述

研究人员采用了两种关键的半解析技术：混合解析数值法（HAN method）和解析人工神经网络法（AANNM）。HAN方法由Ahmadi Azar正式提出，是一种将配置法数值解与多项式插值相结合以产生封闭形式解析表达式的结构化数学框架，其数据来源是传统数值技术（如有限差分、有限元或配置法）生成的数值解。AANNM则是将神经网络求解器（特别是物理信息神经网络PINNs）的离散输出转换为封闭形式解析表达式的互补性半解析框架，它通过从网络预测构建代数方程组并求解多项式系数来获得误差量级约为10^-9 m的解析解。两种方法均将离散数值解转化为八次多项式表达式，但数据来源和实现细节不同：HAN方法基于传统数值方案，而AANNM专门针对人工神经网络输出设计。

三、研究结果

3.1 经典线性Kelvin-Voigt模型的控制方程与解析解

研究人员首先建立了经典线性Kelvin-Voigt模型的基本框架。该模型由线性弹性弹簧和牛顿阻尼器并联组成，两者经历相同的随时间变化的位移u(t)。弹簧力服从胡克定律F_s(t)=ku(t)，阻尼器力服从线性粘性定律F_d(t)=c du/dt。通过力平衡得到控制方程c du/dt + k u = F₀。对于恒定载荷和初始条件u(0)=0，标准齐次加特解方法给出解析解u(t)=(F₀/k)(1-e^-t/τ)，其中τ=c/k为延迟时间，表示指数趋近于渐近弹性变形F₀/k的过程。

3.2 硅橡胶隔振垫实际案例的参数化

研究人员采用了一个实际案例：由软粘弹性材料（如硅橡胶）制成的隔振垫，放置在重100 kg的重型机械下方。圆柱形橡胶垫的参数包括：初始高度L₀=0.02 m，横截面积A=0.01 m²，橡胶弹性模量E=2×10⁶ Pa，橡胶粘度η=1×10⁷ Pa·s。恒定施加力F₀=mg≈981 N。由此导出弹簧刚度k=E A/L₀=1×10⁶ N/m，阻尼系数c=η A/L₀=5×10⁶ N·s/m，延迟时间τ=c/k=5 s。具体控制方程为(5×10⁶ N·s/m) du/dt + (1×10⁶ N/m) u = 981 N，解析解为u(t)=9.81×10^-4 m (1-e^-0.2t)。最终稳态压缩约为0.98 mm，系统在约5秒内达到约63%的最终压缩，在约15秒内达到约95%。

3.3 非线性运动学Kelvin-Voigt（NKKV）模型的建立

研究人员引入了NKKV模型，系统地将有限变形运动学纳入粘弹性本构框架。在运动学基础上，假设材料不可压缩（体积守恒），瞬时高度L(t)=L₀-u(t)，瞬时横截面积A(t)=A₀L₀/(L₀-u(t))。面积放大因子Φ_A(ε)=1/(1-ε)，其中工程应变ε(t)=u(t)/L₀。该因子在无变形时为1，随压缩接近完全压缩趋于无穷大，建立了自然变形极限u(t)<L₀。

位移依赖的材料参数方面，瞬时弹簧刚度k(t)=E A(t)/L(t)=k₀/(1-u(t)/L₀)²=k₀/(1-ε(t))²，瞬时阻尼系数c(t)=η A(t)/L(t)=c₀/(1-u(t)/L₀)²=c₀/(1-ε(t))²。这表明有效刚度和阻尼系数都是位移的单调递增函数，源于高度减小和横截面积增大两种同时发生的机制。

增强的本构关系中，弹簧力F_s(t)=k(t)u(t)=k₀ u(t)/(1-u(t)/L₀)²，阻尼器力F_d(t)=c(t) du/dt=c₀ (du/dt)/(1-u(t)/L₀)²。力平衡方程变为c₀ (du/dt)/(1-u(t)/L₀)² + k₀ u(t)/(1-u(t)/L₀)² = F₀。这是一个一阶非线性常微分方程，不存在已知的封闭形式解析解，因此需要通过HAN方法和AANNM等半解析技术处理。

四、总结与结论

该研究的意义在于多个层面：首先，它证明了半解析方法可以将解析数学的适用范围扩展到以前被认为难以处理的问题，有效地在原本不存在的领域创建了解析解；其次，它提供了严格的验证框架——NKKV模型在小变形下退化为经典线性模型，允许半解析解在极限情况下对照已知精确解进行验证；第三，它建立了一条可应用于粘弹性、生物力学和材料科学中广泛非线性问题的方法论管线；第四，它实现了纯数值方法难以进行的参数研究和灵敏度分析，为工程师提供了设计优化和实时预测所需的解析工具。研究还表明，HAN方法和AANNM虽然共享将离散数值解转化为封闭形式解析表达式的共同目标，但在数据来源和实现细节上存在根本差异：HAN方法基于传统数值方案，而AANNM专门针对人工神经网络输出设计。这种互补性丰富了半解析工具的应用前景。

研究结论指出，NKKV模型预测的稳态变形比经典线性模型降低8.7%，蠕变响应加速，这直接归因于面积放大和几何刚化效应。两种独立的半解析框架产生了完全一致的解析解，验证了方法的可靠性和精度。该工作为将非线性问题的数值解转化为解析表达式建立了范式，增强了计算建模在工程和科学中的可解释性、实用性和可信度。