基于α稳定噪声的鲁棒双曲正切扩展递归最小二乘算法

《Digital Signal Processing》：A robust tanh-based extended recursive least-squares algorithm under α-stable noise

　　

递归自适应滤波算法广泛应用于非平稳环境下的参数估计与跟踪。扩展递归最小二乘（EX-RLS）算法将显式状态空间模型引入递归估计过程，从而增强了其时变系统的跟踪能力。然而，其估计机制本质上基于二次准则，因此在脉冲干扰和重尾噪声环境下可能出现显著的性能退化。本文提出了一种鲁棒的双曲正切基扩展递归最小二乘（Tanh-EX-RLS）算法，用于在非高斯噪声下跟踪时变系统。该方法在保持EX-RLS框架状态空间结构的同时，将一种有界双曲正切影响函数引入其创新机制。此外，研究人员在有效观测不确定性中引入了一种依赖于创新的加权机制，从而降低了大尺度且可能为脉冲性的预测误差对增益向量和状态估计的影响。所得算法在小创新情况下近似于传统EX-RLS行为，同时限制了大误差的影响。研究人员在对称α稳定（SαS）噪声下研究了所提方法的鲁棒性，该噪声为脉冲环境提供了一般模型。分析了所提递归的理论性质，包括其有界影响行为及其与传统EX-RLS算法的关系。

研究背景与问题

自适应滤波算法在信号处理、通信、系统辨识和控制等领域中扮演着重要角色，用于从序贯观测数据中估计未知参数。其中，递归最小二乘（RLS）方法因其快速收敛和递归更新能力而备受关注。然而，在非平稳环境中，底层系统可能随时间变化，因此需要具备更强跟踪能力的自适应算法。扩展递归最小二乘（EX-RLS）框架通过状态空间模型显式描述未知参数向量的演化，将参数向量视为受状态转移方程支配的时变状态，并通过观测方程融合可用数据。尽管EX-RLS具有良好的跟踪能力，但其估计机制基于二次准则，在脉冲干扰和重尾噪声环境下会出现显著的性能退化。特别是当观测噪声服从对称α稳定（SαS）分布时，对于α<2的情况，二阶矩不存在，导致依赖平方误差统计的自适应算法对大振幅观测变得敏感。因此，亟需一种既能保持EX-RLS状态空间结构又能抵抗脉冲干扰的鲁棒算法。

研究内容与结论

研究人员提出了一种基于双曲正切（tanh）影响函数的鲁棒扩展递归最小二乘算法，称为Tanh-EX-RLS。该算法在EX-RLS框架的创新机制中引入有界双曲正切影响函数，同时保持原有的状态空间结构。此外，研究人员在有效观测不确定性中嵌入了一个依赖于创新的加权机制，使得大尺度且可能为脉冲性的预测误差自动降低其对增益向量和状态估计的影响。研究表明，该算法在小创新情况下近似于传统EX-RLS行为，而对于大误差则限制其影响。在对称α稳定噪声下进行的理论分析和计算实验表明，Tanh-EX-RLS算法具有有界状态校正特性，能够有效应对不同脉冲程度的噪声环境，在保持跟踪能力的同时显著提升了鲁棒性。该工作的重要意义在于为脉冲干扰环境下的时变系统跟踪提供了一种理论上可靠、实现上高效的鲁棒自适应滤波方案。

关键技术方法概述

研究人员主要采用了以下几种关键技术方法：首先，基于M估计准则，引入了log-cosh损失函数及其导数形式的双曲正切影响函数ψ_γ(e)=tanh(γe)/γ，该函数对小误差呈线性行为，对大误差具有有界性；其次，通过定义创新依赖性加权函数ω_γ(e)=tanh(γe)/(γe)，将其嵌入到EX-RLS的有效观测不确定性r_R(i)=u^T(i)P(i-1)u(i)+r₀/ω(i)中，从而实现了对大创新观测的自动降权；再次，基于修改后的创新量推导了鲁棒增益向量K_R(i)和状态更新方程；最后，通过数学证明建立了有界状态校正性质，并分析了算法在无噪声定常辨识条件下的收敛性。

研究结果

3.1 鲁棒M估计准则：研究人员采用log-cosh损失函数ρ_γ(e)=log cosh(γe)/γ²替代二次损失，其影响函数为有界的双曲正切函数，确保了在大残差情况下的鲁棒性，同时在小残差区域保持近似线性行为。

3.2 鲁棒加权函数：定义了加权函数ω_γ(e)=tanh(γe)/(γe)，其取值范围为(0,1]，小误差接近单位权重，大误差权重趋近于零，可解释为创新依赖的可靠性因子。

3.3 鲁棒EX-RLS状态空间公式化：通过局部加权最小二乘解释，将鲁棒影响函数等效为对名义观测不确定性的修正，定义了鲁棒创新量r_R(i)=u^T(i)P(i-1)u(i)+r₀/ω(i)，大创新导致有效不确定性增大。

3.4 鲁棒扩展递归增益：鲁棒增益向量定义为K_R(i)=AP(i-1)u(i)/r_R(i)，小创新时近似于常规EX-RLS增益，大创新时增益趋近于零。

3.5 Tanh-EX-RLS状态更新：状态更新为w(i)=Aw(i-1)+K_R(i)e(i)，创新保留原始形式，鲁棒化已通过增益中的ω(i)实现。误差相关矩阵更新为P(i)=AP(i-1)A^T-K_R(i)K_R^T(i)r_R(i)+q₁I。

3.6 与传统EX-RLS的关系：当γ→0时，ω_γ(e)→1，鲁棒算法退化为传统EX-RLS，证实了所提方法是EX-RLS的鲁棒扩展而非独立的非线性递归估计器。

3.7 有界状态校正性质：命题1证明，对于固定的A、P(i-1)、u(i)、r₀和γ，瞬时校正量Δw(i)的范数满足‖Δw(i)‖≤‖AP(i-1)u(i)‖/(γr₀)，即任意大的创新不会产生任意大的状态估计瞬时变化。

3.8 大创新渐近行为：当|e|→∞时，tanh(γe)→sgn(e)，加权函数ω_γ(e)~1/(γ|e|)，有效观测不确定性r₀/ω(i)~r₀γ|e(i)|，状态校正趋近于有限饱和值，这与多项式非二次准则的无界行为形成对比。

3.9 显式假设下的稳定性与收敛性：引理1证明了不确定性矩阵的正定性和有界性。定理1针对收缩型转移矩阵（‖A‖₂≤a<1）建立了均匀路径状态界和二阶矩界，无需有限观测噪声矩或独立性假设。定理2针对无噪声定常辨识情形（A=I，q₁=0，d_i=u_i^Tw_*）在持续激励条件下证明了参数估计收敛到真值。

3.10 计算复杂度：Tanh-EX-RLS的每观测计算复杂度为O(L²)（利用结构化转移矩阵）或O(L³)（稠密矩阵实现），内存需求为O(L²)，相对于EX-RLS仅增加一次标量双曲正切评估和少量标量运算，不改变渐近阶次。

讨论与结论

讨论部分指出，所提出的Tanh-EX-RLS算法通过引入双曲正切影响函数和创新依赖加权机制，在保持EX-RLS状态空间跟踪结构的同时，有效限制了脉冲干扰对参数更新的影响。理论分析建立了有界状态校正性质和算法与传统EX-RLS的极限关系。计算实验在对称α稳定噪声环境下验证了算法的鲁棒性和跟踪能力。研究结论如下：本研究提出了一种鲁棒的Tanh-EX-RLS算法，用于在非高斯噪声下跟踪时变系统。该方法将双曲正切影响函数融入EX-RLS框架，通过创新依赖的加权机制修改有效观测不确定性，使大预测误差自动降低递归增益。理论分析表明，该算法具有有界状态校正性质，并在γ→0时恢复为传统EX-RLS。在对称α稳定噪声下的实验验证了其在脉冲环境中的有效性。