一种结合运动硬化和各向同性硬化的混合模型-数据弹塑性框架

《Computational Mechanics》：A hybrid model–data framework for elastoplasticity with kinematic and isotropic hardening

　　

数据驱动计算力学通过定义可接受材料状态的数据空间替代本构模型，为传统方法提供了一种替代求解方案。该方法最初针对线弹性提出，其在塑性问题中的应用仍具挑战性。由于路径依赖性所需的数据空间过大，纯数据驱动塑性方案通常局限于一维问题。结合本构假设与数据的混合框架虽展现出潜力，但常受限于其潜在假设（如各向同性硬化）或无法捕捉应变路径变化。在本工作中，研究人员提出了一种新的混合模型-数据塑性框架，该框架通过从离散数据集导出的数据空间纳入运动硬化和各向同性硬化，同时采用Prager定律描述背应力演化而无需显式定义其函数形式。该方法保留了标准计算塑性算法流程，同时通过数据空间执行隐式返回映射程序和类似于弹塑性切线的搜索方向计算。一维和三维问题的数值算例证明了所提框架在更一般塑性问题中的有效性。

论文解读文章

研究背景与问题

传统的计算固体力学依赖于显式的本构模型来描述材料行为，例如在弹塑性问题中，需要明确定义屈服准则、流动法则以及硬化规律（包括各向同性硬化和运动硬化）的函数形式。然而，真实材料的复杂行为往往难以用简单的解析函数精确刻画。近年来，数据驱动计算力学作为一种替代范式兴起，它试图直接用实验数据构成的数据空间取代本构模型。尽管该方法在线弹性领域取得了成功，但在塑性领域的应用面临巨大挑战：由于塑性变形具有路径依赖性，纯数据驱动方案需要极其庞大甚至不切实际的数据空间来覆盖所有可能的加载历史，因此目前主要局限于一维问题。为了克服这一困境，一些结合了模型假设与数据的混合框架被提出，但它们要么只考虑各向同性硬化，要么无法有效处理涉及运动硬化的应变路径改变问题。鉴于此，本研究旨在开发一种新的混合框架，既能利用数据减少对显式硬化函数形式的依赖，又能保留足够的物理机制以处理包含运动硬化和各向同性硬化的多维复杂塑性问题。

研究内容与结论

研究人员提出并验证了一个新颖的混合模型-数据弹塑性框架。该框架的核心思想是：保留经典的von Mises屈服准则、关联流动法则以及用于描述背应力演化的Prager定律作为已知的模型基础，而将各向同性硬化和运动硬化的具体函数形式（即屈服应力σ_y随等效塑性应变的变化关系，以及标量函数β?随等效塑性应变的变化关系）交由数据空间来处理。这些数据来源于离散数据集，例如可从单轴拉压循环试验中获得。研究人员通过引入一个组合变量F（定义为F = σ_y + 3Gε?^p + β?），将原本需要分别求解的隐式返回映射方程简化为一个关于F的单标量方程。通过高斯混合模型将离散数据集构建为连续的密度场后，给定一个试探状态的F值，即可通过计算条件期望值直接获得对应的等效塑性应变增量以及背应力量，从而避免了非线性迭代求解。此外，他们还从该连续数据空间中推导出了类似于一致弹塑性切线的材料搜索方向，用于有限元全局刚度矩阵的组装。

数值验证结果表明：

• •
  一维问题分析：通过对一个承受循环载荷的杆件进行模拟，并与基于显式硬化函数（指数型硬化律）的模型解对比。结果显示，混合框架能够很好地复现模型的应力-应变响应。研究发现，连续数据空间中使用的核函数数量会影响精度和收敛性：较少的核（如6个）能更好地近似整体趋势，使得全局牛顿迭代次数接近模型解；而较多的核（如60个）虽然能更精细地捕捉局部数据特征从而提高应力-应变曲线的匹配精度，但会导致材料搜索方向出现更多振荡，略微增加迭代次数。总体而言，两种配置均表现良好。
• •
  三维问题验证：对一个含孔悬臂梁在三点弯曲循环加载下的响应进行了模拟。同样使用由一维数据生成的连续数据空间（6个核）。结果显示，无论是力-位移曲线还是最终状态的von Mises应力分布，混合框架的结果都与模型解高度吻合。这有力地证明了该框架能够利用相对容易获取的一维实验数据，成功推广到复杂的多维边界值问题，这是纯数据驱动方法目前难以做到的。

关键技术方法

1. 1.
   连续数据空间构建：采用高斯混合模型对离散数据集进行密度估计，将其转化为一个连续的、可微的概率密度场，用以表示材料硬化行为。
2. 2.
   基于期望值的隐式返回映射：将经典的隐式返回映射方程重新表述为寻找一个组合变量F，并通过在连续数据空间中计算条件期望值，直接确定下一增量步的等效塑性应变和背应力，从而将非线性求解线性化。
3. 3.
   数据驱动的材料搜索方向：利用连续数据空间的解析特性，通过求导得到等效塑性应变相对于F的变化率，并将其代入一致切线模量的推导公式中，形成一种替代传统弹塑性切线的数据驱动搜索方向。

研究结果总结

• •
  一维问题：应力-应变结果：通过与模型解对比，发现初始进入塑性阶段略有延迟，这是由于数据空间边界区域代表性不足所致。随着加载进行，高核数（60核）解紧密跟随模型解，而低核数（6核）解在后续循环中偏差逐渐增大。
• •
  一维问题：塑性内变量结果：背应力-等效塑性应变图和F_y-等效塑性应变图显示，两种核数的解在大部分区域内均能与模型解吻合，但在初始阶段和最后一个加载分支，低核数解的偏差更为显著。
• •
  一维问题：搜索方向结果：混合框架的搜索方向围绕模型解呈现振荡，尤其在低等效塑性应变区域振幅最大。这源于连续数据空间的固有特性。尽管如此，平均牛顿-拉夫逊迭代次数分析表明，即使使用100个核，迭代次数也仅比模型解增加约10%，而6核解的迭代次数几乎与模型解相同。
• •
  三维问题：宏观响应与应力分布：悬臂梁的力-位移曲线和横截面上的von Mises应力分布均与模型解表现出极好的一致性，验证了框架在多维问题中的适用性和准确性。

讨论与结论

研究人员在讨论中指出，所提出的混合框架通过在模型中保留被广泛认可的von Mises屈服准则、关联流动和Prager定律等基本物理假设，同时利用数据空间处理硬化行为，在模型通用性与数据可行性之间取得了有效的平衡。这种设计的优势在于，用于硬化描述的数据集可以从简单的单轴试验中获得，而无需像纯数据驱动方法那样需要覆盖所有可能的复杂加载历史。这使得该框架能够应用于三维问题。研究结论强调，该工作成功建立了一个新的混合模型-数据计算塑性框架，其关键创新在于：通过组合变量F将隐式返回映射简化为线性问题，并利用连续数据空间提取材料搜索方向。该方法不仅提高了计算效率，也为未来将更多建模组件（如屈服面的定义和演化）纳入数据驱动范畴奠定了基础。