具指数型有界剪切模量的黏弹性层中地震波传播的解析研究：Gaussian超几何函数解与场地响应

《Acta Geotechnica》：Seismic wave propagation in a viscoelastic layer with exponentially varying bounded shear modulus

　　

研究人员对剪切模量随深度呈指数变化的非均质黏弹性层的一维剪切波传播问题进行了分析研究。与常用的幂律模型（power-law models）不同——后者在无穷远处表现为无界刚度——该模型在整个区域内保持刚度有界，从而使任意厚度地表层在刚度随深度增加或减小时的剖面均具有物理意义。研究人员在频域中求解控制波动方程，并考虑竖向SH（horizontally polarized shear wave，水平极化剪切波）波激励，首次导出了以Gaussian超几何函数（Gaussian hypergeometric functions，₂F₁）表示的精确闭式表达式。所得解答包括基岩至地表传递函数（base-to-surface transfer function）、固有频率、模态形状，以及位移、剪应变和曲率沿深度的分布。该公式进一步用于给出层基本频率的Rayleigh型近似（Rayleigh-type approximations），以及低、高频区段动力放大因子（dynamic amplification factor, DAF）的渐近表达式。此外，所提出的解析处理被扩展至刚性基和弹性基条件（岩石露头激励，rock-outcrop excitation），并研究了表面刚度趋零的极限情形，表明层响应保持有限，未出现幂律模型中遇到的奇异性。研究还表明，对表面刚度趋零进行渐近分析容易产生错误，因为零刚度极限与零深度极限不可交换。该解通过常规多层分析（multilayer analyses）进行验证，涉及两个真实土层剖面在记录地震激励（recorded earthquake excitations）下的频域和时域响应。结果表明，所提模型能够合理刻画场地响应的关键特征，同时为评估其他相关解答提供物理洞见和一致的解析参照。

论文主体解读

研究背景与问题：地表土层在强震作用下的动力响应预测是地震岩土工程的基础问题。一维剪切波传播模型被广泛用于近地表土体和岩体的地震响应分析。数值方法通常将介质离散为分层模型，层间界面会产生反射及辐射阻尼；已有解析研究则表明，连续非均质介质可能向地表传输更多动能和应变能，这对深部或软弱沉积层的高频场地响应分析尤为重要。既有连续变化刚度剖面研究涵盖弹性与黏弹性条件，其中表面刚度消失时可能出现响应奇异，尤其是近地表剪应变。除幂律模型外，指数变化材料性质亦有解析研究；Vrettos曾提出有界指数刚度模型并用幂级数求解，但幂级数解对场地响应定性特征揭示有限，也不便于进一步解析操作，因此基于特殊函数重新考察该有界指数非均质模型、获得可进一步解析处理并具物理可解释性的精确解，构成该研究的动机。

研究人员开展的工作与主要结论：研究人员在频域中严格求解一维SH波传播控制方程，采用Gaussian超几何函数，考虑刚性基和弹性基条件，得到传递函数及位移、应变、曲率等深度相关响应的显式表达，并开展Rayleigh型基频近似、高低频渐近分析、零表面刚度极限分析，以及与Vrettos幂级数解和数值多层分析的验证。研究结论表明，有界指数刚度模型可统一描述刚度随深度增加或减小，精确解能刻画场地响应关键特征，并为其他解析和数值场地响应模型提供严格基准。

关键技术方法（不超过250字）：研究以频域一维SH波方程为基础，引入位移势将方程化为标准形式，并用Gaussian超几何函数₂F₁求闭式解；由自由表面零剪应力及刚性基或弹性基边界条件确定传递函数与模态。采用Rayleigh商（Rayleigh quotient）配合抛物和正弦形函数近似基频；采用高低频渐近分析及WKBJ（Wentzel–Kramers–Brillouin–Jeffreys，慢变介质近似）思想获得放大因子和等效均匀层参数。验证采用Vrettos幂级数解、Haskell–Thomson传递矩阵法、阶梯离散和基于Bessel函数的ladder离散。真实场地样本来源于日本北海道KiK-net强震数据库，包括NMRH04站Bekkai-E场地和KSRH10站Hamanaka场地；时域输入采用PEER强震数据库的1940年El Centro M6.9记录和1999年Kocaeli M7.6记录，并用FFT/iFFT（快速傅里叶变换/逆变换）计算地表响应。

研究结果：
1 Introduction（引言）：通过梳理一维剪切波传播、连续非均质场地响应、幂律与指数刚度模型及Vrettos有界指数模型的研究现状，指出幂级数解在渐近表达和零刚度极限分析方面的局限，从而提出发展超几何函数精确解。
2 Problem definition（问题定义）：研究定义厚度为H的线性黏弹性各向同性水平层，剪切模量随深度按有界指数式G(z)=G_∞(1?αe^?λz)变化，α量化非均质性且有界，α>0对应刚度随深度增加，α≤0可描述刚度随深度减小；密度和材料阻尼假定沿深度恒定。
3 Analytical investigation（解析研究）：通过位移势变换和频域波动方程求解，得到由Gaussian超几何函数表示的位移势、位移、剪应力、剪应变和曲率表达式；自由表面零剪应力给出积分常数关系。分析表明相关函数在物理 admissible 区间内光滑有界或呈振荡，α=1且z=0时个别辅助函数呈数学奇异，但不在位移导数中表现为异常物理响应。
4 Natural frequencies and mode shapes（固有频率与模态形状）：对刚性基零位移条件得到超越特征方程并数值求根，给出无量纲固有频率和归一化模态形状；α趋零时退化为均匀层，α接近1时模态在近地表浅角度趋近并伴边界层效应，α<0时模态近垂直趋近地表、剪应变近零。
5 Rigid rock amplification（刚性岩石放大）：由基岩至地表位移比定义刚性基动力放大因子AF₁，并可通过复波数引入频率无关滞回阻尼；α>0时非均质性增强使共振峰间距压缩、放大增大，呈“漏斗效应”；α<0时峰间距加宽、放大降低，呈“喇叭效应”，高阶放大随频率下降。
6 Elastic rock amplification（弹性岩石放大）：考虑下卧均匀弹性岩石，引入岩石露头位移和土–岩阻抗比Λ_b，得到弹性基放大因子AF₂；与刚性基相比，能量向基岩透射使放大显著降低，尤其第一共振，峰幅仍随频率降低。
7 Parametric investigation（参数研究）：通过改变α和λH考察第一共振放大A₁；刚性基下α>0时曲线高于均匀层参考值并在较大λH时趋近1，α<0时低于参考值，α=0时回到均匀层值；弹性基下归一化放大随α代数增加而单调增加。
8 Verification of the analytical solution（解析解验证）：将闭式解与Vrettos幂级数解、Haskell–Thomson阶梯离散和基于Bessel函数的ladder离散比较，针对三个代表性剖面A、B、C；结果显示与半解析解几乎一致，ladder近似较阶梯更接近连续解，仅高频处出现轻微离散差异。
9 Approximation of natural frequencies（固有频率近似）：采用Rayleigh商和抛物、正弦形函数近似基频；α增大使基频降低，负α使基频升高；近似解整体略高估精确解，在高λH时吻合较好。
10 Limit expressions（极限表达式）：通过渐近分析得到刚性基和弹性基的高频放大表达式，其中含刚度比G(H)/G(0)的1/4次方及WKBJ型相位项；低频采用等效波数与等效剪切模量近似；还给出等效深度z_eq/H及高、低频版本，表明高频响应受浅表刚度控制，低频响应受深部刚度控制。
11 Vanishing stiffness at layer surface（层表面刚度消失）：对α=1情形进行极限分析，发现表面剪应力和剪切模量同时趋零时，位移、剪应变和曲率仍有限；剪应变满足γ(0)=?λψ²u(0)，曲率亦具有限表达。进一步表明z→0与α→1两个极限不可交换，α<1时表面应变趋零、曲率奇异，而α=1的精确极限给出有限响应，揭示奇异摄动结构。
12 Application to real site profiles（真实场地剖面应用）：用最小二乘将两个真实场地剖面拟合为有界指数模型；频域中与Haskell–Thomson多层结果比较，刚性基共振频率接近、放大因子约差10–15%，弹性基下Site 2吻合很好，Site 1高阶差异较大且与软岩阻抗低、辐射阻尼强有关；V_s30等效均匀层对浅层Site 2基频尚可但低估放大，对深部Site 1高阶和峰值捕捉不足。时域中利用AF计算地表加速度响应谱，与数值结果总体吻合，短周期较好、长周期有轻微差异；V_s30近似趋势与频域一致。
13 Conclusions（结论）：研究建立了指数变化且有界刚度的非均质黏弹性层动力响应精确闭式解，以Gaussian超几何函数表达，扩展了半解析方法，可描述刚度随深度增加或减小、刚度间断、零表面刚度乃至无穷远零刚度，并因连续变化而避免层状近似中的虚假反射。刚度梯度显著影响波传播：刚度随深度增加导致共振频率更密集且放大更高，刚度随深度减小则模态间距更宽、放大更低，且高频更明显。闭式解便于推导Rayleigh型基频近似、高低频渐近表达和等基频等效均匀剖面，为实际估算提供高效工具。α=1时表面剪应力和剪切模量同时趋零但位移、应变和曲率有限；α<1系列解则表面应变消失、曲率奇异，说明z→0与α→1不可交换，构成此前相关非均质介质解析研究中未识别的奇异摄动结构。与数值多层模拟在频域和时域总体吻合，前几阶偏差多在10%左右；基于V_s30的均匀近似可捕捉浅层基频，但对高阶模态和放大水平表征不足，深部沉积层尤甚。总体而言，该公式提供了物理一致、可解析处理且计算高效的连续非均质介质波传播建模框架，并可作为评估其他相关模型的严格解析基准。