仿生顶点式分级方形蜂窝（VHS）的刚度等效框架与收敛性分析

《Biomimetics》：Bioinspired Vertex-Based Hierarchical Square Honeycombs: A Stiffness-Equivalence Framework with Convergence Analysis

　　

受天然多孔固体分级组织启发，本研究提出一种刚度等效框架（stiffness-equivalence framework），用于预测仿生顶点式分级方形蜂窝（vertex-based hierarchical square honeycombs, VHS）的面内有效杨氏模量（effective Young’s modulus, E）和泊松比（Poisson’s ratio, ν）。基于结构对称性和圣维南原理（Saint-Venant’s principle），建立一阶和二阶VHS单胞的简化等效模型，并利用卡氏第二定理（Castigliano’s second theorem）推导有效弹性常数的闭式表达式。随后提出递归刚度等效框架，将预测扩展至更高分级阶数，揭示弹性常数随分级阶数增加的收敛行为。分析结果通过熔融沉积成型（fused filament fabrication, FFF）3D打印聚乳酸（polylactic acid, PLA）试样的准静态压缩实验以及采用Abaqus和Beam22单元的有限元模拟进行验证。数值模型与实验在分级构型下误差在4%以内、在原结构下误差在19%以内一致，理论预测在有效几何范围内误差在20%以内。有效杨氏模量随分级阶数单调降低，而泊松比增大，这受控于分级细化引入附加载荷重分配路径后由轴向主导变形向弯曲主导变形的转变。该框架为具有指定面内弹性特性的仿生薄壁多孔材料提供面向设计的规则。

多孔材料广泛用于航空航天、汽车耐撞性、防护包装和生物医学支架等轻质工程。传统六边形、方形和三角形蜂窝的面内弹性主要受相对密度和胞壁弯曲柔度控制，经典Gibson–Ashby框架已给出系统描述，但单尺度蜂窝可达到的性能空间受周期微结构限制。自然界中骨、珍珠层、木材和海绵骨针等呈现多尺度分级组织，其力学性能常超过单一组成材料。玻璃海绵Euplectella aspergillum的骨架由方形网格与对角增强构成，呈现多尺度分级组织，并已启发具有增强屈曲抵抗力的3D打印点阵设计。文献中主要有两类策略：一是边缘式分级（edge-based hierarchy），以更小尺度点阵或复合结构替换规则蜂窝的实体胞壁；二是顶点式分级（vertex-based hierarchy），以更小自相似多边形替换规则蜂窝顶点，形成类分形结构。Ajdari et al.自顶点式分级六边形蜂窝的开创性工作以来，利用卡氏第二定理证明一阶和二阶分级六边形蜂窝在等质量下可达规则六边形蜂窝面内刚度的2.0倍和3.5倍，泊松比可从约0.28调节至接近1.0，但该分析仅限前两阶且无实验验证，未回答更高阶分级下弹性常数如何演化。Oftadeh et al.通过拉伸基体六边形网络获得各向异性分级蜂窝，在同相对密度下刚度提高2–8倍。Liu et al.建立分析均匀化框架，将胞壁视为弹性梁并采用杆理论与Timoshenko梁理论，考虑轴向、弯曲和剪切变形，将节点视为刚体，给出六边形、负泊松比和方形蜂窝的闭式等效面内弹性模量，并用实体单元有限元与准静态压缩实验验证。尽管如此，顶点式分级蜂窝仍存在缺口：现有分析主要集中于六边形基网络，方形基构型研究较少；多数拓扑的闭式解限于一阶，高阶分析依赖数值拟合或经验外推；尤其缺乏预测弹性常数随分级阶数增加而收敛的统一框架。方形拓扑具有正交载荷路径、直壁与直角节点便于材料挤出增材制造、且其顶点子结构使一阶泊松比锁定为几何决定的常数0.6等优点，因此需要专门框架。研究人员据此提出VHS刚度等效框架，包含基于对称和圣维南原理的等效模型、利用卡氏第二定理导出的一阶和二阶闭式表达式，以及基于量纲考虑、可外推至更高阶的递归公式；并通过零阶、一阶和二阶VHS的FFF 3D打印PLA试样准静态压缩实验和Abaqus Beam22有限元参数研究进行验证。研究得出：有效杨氏模量随分级阶数单调降低而泊松比增大，根本机制为顶点细化引入附加载荷重分配路径后由轴向主导变形转向弯曲主导变形；该框架可将天然多孔固体的分级设计原则转化为定量设计规则，为具有指定面内弹性特性的轻质仿生多孔结构提供先验设计依据。

关键技术方法概括（不超过250字）：研究人员基于结构对称性与圣维南原理建立VHS单胞简化等效模型，采用卡氏第二定理和力法推导一阶、二阶有效E与ν闭式解，并以量纲分析和归纳建立递归刚度等效框架。数值方面采用Abaqus/Standard的Timoshenko梁单元Beam22模拟，考虑弯曲、轴向和横向剪切变形，设置刚性板运动耦合、摩擦系数0.2，并比较K4与K8原结构及等壁厚、等质量两种设计范式。实验方面以Bambu Lab PLA Tough聚乳酸（PLA）丝材经FFF打印零阶、一阶和二阶VHS等质量试样，先按ASTM D638 Type I狗骨试样在MTS试验机测得E_s=2.20 GPa、σ_s=39.28 MPa并假定ν_s=0.30；VHS试样取t₀=1.45 mm、t₁=0.84 mm、t₂=0.40 mm，构造比（0.5,0.25），面外深度50 mm，每阶三个重复，进行准静态面内压缩，ε<1.5%提取有效模量。

3.1 实验结果（Experimental Results）：通过零阶、一阶和二阶VHS试样的准静态压缩应力–应变曲线发现，一阶和二阶三次重复曲线一致性良好，说明制造与测试流程具有重复性；有效E由初始线弹性段ε<1.5%提取。零阶结构E₀≈14.239 MPa，约为一阶E₁≈0.820 MPa的17倍、二阶E₂≈0.128 MPa的100倍以上。零阶三次重复为7.44、14.23、21.04 MPa，围绕均值偏差约±48%，而一阶和二阶重复散差小于3%，原因是零阶弹性应变范围极小、提取困难，而分级构型弯曲主导、弹性应变范围大且测量更稳定。结论是分级阶数显著降低有效刚度，但分级构型测试重复性更好。

3.2 FEA验证（FEA Validation）：通过Beam22有限元与等质量实验的有效E比较，FEA与实验相对误差在一阶和二阶VHS中在4%以内，在原结构中在19%以内；零阶FEA值17.49 MPa位于三次实验7.44–21.04 MPa范围内，相对均值偏差18.6%，与零阶实验±48%散差相比不表明模型缺陷，且方向与轴向主导变形及试样就位/对中引起的实测柔度一致。分级构型弯曲主导且弹性应变范围大，FEA–实验一致性在4%以内。有效泊松比未实验提取：零阶侧向收缩可忽略且测量易受仪器噪声主导，分级试样本轮无全场测量系统；因此ν结果依赖两个独立来源，即刚度预测已验证在4%以内的有限元模型和闭式表达式，后者预测一阶VHS有效泊松比为0.6且与构造比无关。结论是Beam22有限元可可靠模拟VHS面内弹性行为，并可作为理论预测评估和几何扩展的参考。

3.3 一阶VHS参数研究（Parametric Study: One-Order VHS）：通过等壁厚和等质量两种设计范式下的参数化FEA获得E₁/E_s和ν₁随λ₁变化。两种范式下E₁在λ₁∈[0,0.1]快速下降，随后下降趋缓；当λ₁→1时E₁急剧增大而ν₁急剧下降。ν₁在λ₁∈[0.1,0.9]宽范围内近似保持0.55–0.65，仅在λ₁→0和λ₁→1边界附近显著下降。物理机制是中间λ₁时顶点子结构促进胞壁弯曲主导，低刚度、大侧向膨胀、高泊松比；λ₁→0或→1时几何趋近原结构，竖向梁轴向变形主导，高刚度、侧向应变可忽略、低泊松比。结论是变形机制控制一阶VHS参数趋势。

3.4 二阶VHS参数研究（Parametric Study: 2-Order VHS）：通过等壁厚FEA获得E₂/E_s和ν₂在λ₁–λ₂参数空间的云图。固定λ₁时E₂随λ₂增大而降低；固定λ₂时E₂随λ₁增大而增大；E₂在λ₁–λ₂空间跨越约四个数量级，显示宽可调性。ν₂在多数（λ₁,λ₂）组合位于[0.5,1.0]，随λ₂增大而增大、随λ₁增大而减小，范围宽于一阶，反映二级构造比带来的附加设计自由度。在自相似线λ₁≈λ₂附近，E₂和ν₂偏离周围二阶构型趋势：刚度接近退化一阶构型的高值，泊松比向1.0升高，而恰在自相似线上降至退化值0.6；该边界行为是顶点式分级的特征。K4与K8原结构显示E₂和ν₂分布模式相似，边界效应不大；参考构型下两种阵列有效常数差异小于20%，K8更符合理论模型的无限阵列假设。结论是二阶VHS提供更宽弹性属性可调性，自相似线为特征边界。

3.5 变形模式（Deformation Modes）：通过FEA变形云图观察三种阶数在单轴压缩下的变形。零阶结构主要发生竖向梁轴向缩短，水平梁变形可忽略，侧向膨胀很小，ν接近零。一阶和二阶VHS中顶点子结构内的水平和竖向梁段均发生显著弯曲：水平梁在竖向平面内弯曲，竖向梁在水平平面内弯曲，共同产生显著侧向膨胀和较大ν。结论是零阶轴向主导向分级构型弯曲主导的定性转变，是刚度随分级阶数数量级降低和泊松比增大的根本原因。

讨论部分总结：5.1 广义递归公式（Generalized Recursive Formulation）通过归纳和量纲分析给出三阶VHS的E与ν表达式，并将n阶有效E写成嵌套刚度修正函数，g_n(λ₁,…,λ_n)为各层级乘性因子构成的嵌套有理函数，Ψ(λ_i)表征不同层级子结构相互作用对整体刚度的影响；等质量条件下由质量守恒给出n阶壁厚与t₀关系，E_n可写成由构造比决定的无量纲几何函数G_n(λ_i)控制，与绝对长度尺度无关；在薄壁弯曲主导和刚节点假设内，该递归不引入超出4.1.1节假设的新近似。5.2 收敛行为与设计指南（Convergence Behavior and Design Guidelines）给出递归关系E_n由E_n?1与修正因子ψ_n(λ_n,β_n)表示，β_n=λ_n/λ_n?1；典型λ₁=0.4、λ₂=0.2时E₁/E₀≈0.05、E₂/E₁≈0.22，第二次细化引起约78%相对刚度降低，小于第一次约95%，表明弯曲主导区内逐级细化产生逐渐减小的相对弹性变化，一阶和二阶VHS已覆盖主要可达属性空间。设计指南为：最大刚度采用零阶或λ₁<0.1的一阶VHS；需要可调柔度并指定泊松比采用二阶VHS且λ₁∈[0.3,0.5]、λ₂∈[0.1,0.3]；只要单胞几何保持对称，各VHS构型均保持宏观面内各向同性。5.3 变形机制转变（Deformation Mechanism Transition）指出零阶以竖向胞壁轴向缩短为主、水平壁基本无载，产生高刚度和ν₀≈0；一阶在每个原顶点引入方形子结构的四个“铰点”，将轴向载荷路径转为弯曲主导，方形框架水平与竖向梁共同抵抗中心竖向力，产生显著降低的刚度和几何决定的ν₁=0.6；二阶以嵌套分级进一步细分载荷路径并增加弯曲柔度，角部方形近似刚体并放大侧向膨胀，使ν₂在特定（λ₁,λ₂）组合下趋近1.0。该轴向到弯曲主导的转变是E随阶数单调降低、ν随阶数单调增大的核心机制。5.4 局限（Limitations）包括：理论模型基于仅弯曲公式，刚度系统性低估可达20%；二阶刚角假设在较大λ₂下因角方形自变形不可忽略而引入附加误差；等质量实验试样因FFF有限挤出宽度分辨率存在约1–2%质量变化并贡献实验散差；理论假设无限周期阵列，有限试样尤其K4边界效应造成理论–FEA一定差异且随胞数增加而减小；未开展替代端部条件（无摩擦板与完全约束端）的专门敏感性研究，但因所报量为周期内部控制量且模拟与实验共享刚性板约束，对趋势影响预计有限，轴向主导零阶最敏感；实验验证仅覆盖有效杨氏模量，未直接测量侧向应变（如DIC），泊松比预测依赖有限元比较；零阶因弹性应变范围极小，散差达均值±48%；递归框架继承闭式推导假设，在厚壁、角部子结构较大、周期假设不成立的少胞阵列中适用性下降。

研究结论部分译文：该研究通过解析理论、有限元模拟和3D打印实验验证，系统研究顶点式分级方形蜂窝（VHS）的面内弹性行为。主要发现为：（1）建立基于对称的刚度等效框架，利用对称性和圣维南原理将复杂VHS单胞简化为静不定框架，该框架在弯曲主导薄壁范围内具有通用性，并通过递归公式扩展至更高阶VHS，其各层级有效性由同一力法简化保证；（2）利用卡氏第二定理推导一阶VHS有效杨氏模量和泊松比的闭式表达式，E₁呈(t₁/l₀)³尺度关系，是弯曲主导变形特征，ν₁在弯曲主导几何范围λ₁∈[0.1,0.9]为常数0.6，与构造比和壁厚无关；（3）将分析扩展至二阶VHS，得到E₂和ν₂闭式表达式，当λ₂→0时自然退化为 一阶解，确认理论框架的分级一致性；（4）提出递归刚度等效框架，以构造比的嵌套有理函数表达n阶VHS有效弹性常数；在弯曲主导区内，逐级分级细化产生逐渐减小的相对弹性常数变化，表明一阶和二阶VHS已覆盖实际关注的主要属性空间；（5）VHS有效杨氏模量随分级阶数增加单调降低，而有效泊松比增加，其根源是顶点细化引入附加载荷重分配路径后由零阶轴向主导变形向分级结构弯曲主导变形转变；（6）该框架为具有指定面内弹性特性的VHS先验设计提供合理基础，可通过选择构造比和分级阶数满足特定刚度与泊松比目标。未来工作可扩展至大变形与弹塑性响应、纳入制造缺陷和边界效应定量分析、探索闭孔点阵材料及其他折返和波纹分级拓扑的三维推广，并将解析框架与数据驱动和机器学习逆设计方法耦合。