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本文考虑半马尔可夫链（SMCs）在债券与能源市场中的应用。研究工作针对半马尔可夫调制指数仿射债券价格，以及半马尔可夫切换扩散模型下欧式期权（European-style options）定价与对冲开展。在前一情形，研究人员聚焦Hull–White模型，并将SM
本文考虑半马尔可夫链（SMCs）在债券与能源市场中的应用。研究工作针对半马尔可夫调制指数仿射债券价格，以及半马尔可夫切换扩散模型下欧式期权（European-style options）定价与对冲开展。在前一情形，研究人员聚焦Hull–White模型，并将SMC结果推广至三状态及以上。在后一情形，基于真实数据（2020年1月1日至2025年12月31日Alberta电力日价格，Alberta Electric System Operator (AESO)），观察到四个波动率状态中有两个状态的占用时间（occupation time）不服从指数分布，违背马尔可夫过程条件。因此，研究人员通过有限差分法（finite-difference method）计算了半马尔可夫条件下不同到期日和行权价的看涨与看跌期权价格。研究人员还使用马尔可夫扩散模型及经典Black–Scholes (BS) 看涨期权价格方程计算期权价格以作比较。论文贡献有两方面：将任意状态数的SMCs应用于债券定价；将SMCs结合真实市场数据应用于能源市场。
研究背景与问题：马尔可夫切换模型已广泛用于金融与保险等领域，半马尔可夫过程与链则允许事件到达间隔时间服从任意非指数分布，因而具有非马尔可夫性和过去依赖性。现有关于半马尔可夫调制债券价格以及期权定价与对冲的文献并不多，尤其是与能源市场相关的期权定价研究更少。债券市场和能源市场均受自然持续时间与物理事件影响：债券价格受经济周期繁荣与衰退影响，进入某一周期的概率并不独立于过去；能源市场亦受商业周期和物理事件影响。因此，研究人员基于Siu and Elliott关于半马尔可夫调制指数仿射债券价格以及半马尔可夫切换扩散模型下欧式期权定价与对冲的结果，开展债券与能源市场两类应用，并强调两个市场之间的联系。
主要关键技术与方法（不超过250字）：债券部分以半马尔可夫调制Hull–White模型为基础，对零息债券半解析近似中的矩阵常微分方程作Euler离散并在MATLAB中实现，比较Gamma分布与指数分布SMC，参数设三状态并与Siu and Elliott前两状态衔接。能源部分使用AESO 2020年1月1日至2025年12月31日Alberta电力日价格，计算对数收益并以指数加权移动平均（EWMA）估计波动率，按分位数划分四状态；用分位数–分位数（QQ）图和Kolmogorov–Smirnov（KS）检验占用时间分布，计算经验累积分布函数（ECDF）、生存函数与转移率。期权定价采用半马尔可夫偏微分方程（PDE）有限差分法，并与马尔可夫PDE及经典BS比较。2.5节还用2019年WTI原油近月期货日度数据以最小二乘校准Vasicek过程，并以半马尔可夫债券代理构造风险中性利率。
研究结果：2.1 Background：研究人员定义半马尔可夫调制Hull–White模型，给出零息债券价格的半解析近似及其相关矩阵常微分方程系统，比较Gamma分布与指数分布情形，为后续数值实现建立计算框架。2.2 Simulation of the Differential Equations：由于矩阵常微分方程不能解析求解，研究人员采用Euler离散并写入MATLAB；数值实验显示较低分辨率下即可较快收敛，但随SMC状态数增加出现张量积和运行时间权衡，因此将状态数控制在一定范围内。2.3 Parameter Values：研究人员设定三状态参数，状态1和2沿用Siu and Elliott的取值，状态3采用更高波动率和较高利率参数以刻画更波动、调整更频繁的经济状态；转移概率矩阵的非对角元素假设为均匀分布、对角元素为0，以便与既有结果比较。2.4 Comparisons Between Gamma- and Exponentially Distributed Semi-Markov Chains：通过不同分辨率、状态占用时间和初始利率下的债券价格图比较，研究人员发现低分辨率下收敛较快，收敛对SMC状态没有显著依赖；Gamma分布下第三状态因波动率较高而反映更高价格，指数分布情形退化为标准马尔可夫链，状态间价格差异较小但并非完全相同，结果还可扩展至10状态。2.5 Energy Market Application of Semi-Markov Affine Bond Pricing：研究人员将半马尔可夫仿射债券定价用于风险中性估值中的利率代理，资产过程采用Vasicek模型并以WTI原油近月期货数据校准，使用两状态SMC和预模拟布朗运动生成轨迹；结果显示相同布朗运动下，SMC状态变化可使模型行为明显不同。该部分同时指出模型复杂、参数较多，状态数较少时运行时间问题不显著，故保持高层定性分析。3.1 Data Description：研究人员使用AESO日度Alberta电力价格，转换为对数收益并用EWMA计算波动率，展示价格、对数收益和年化波动率时间序列，为后续状态划分和期权定价提供数据基础。3.2 Semi-Markov Modeling：研究人员依据波动率分布用分位数法划分很低、低、中、高四个状态并计算各状态平均波动率，得到转移概率矩阵；通过QQ图和KS检验发现四个状态中有两个状态的占用时间不服从指数分布，并用ECDF、生存函数和转移率说明电力市场受物理事件和自然持续时间影响。采用半马尔可夫PDE有限差分法计算不同货币性水平和不同到期日的看涨与看跌期权价格，并与马尔可夫PDE和经典BS比较；结果显示半马尔可夫与马尔可夫期权价格差异随到期日增加而增大，多数情形下二者位于四种波动率状态对应的BS价格之间，高波动率BS价格远高于二者，马尔可夫价格低于半马尔可夫价格；占用时间右偏及电力价格在状态中持续更久，提供了半马尔可夫模型适用于Alberta电力价格数据的证据，且期权价格曲面随状态仅呈轻微变化。
讨论与结论总结：讨论部分认为，SMC适用于受自然持续时间和物理事件影响的债券与能源市场，论文不仅给出SMC在债券定价和能源市场中的新应用，还强调两个市场之间的联系。未来工作包括利用半马尔可夫模型进行利率衍生品定价，以及在存在活跃期权市场的电力市场中开展比较研究。研究结论翻译：本文考虑半马尔可夫链（SMCs）在债券与能源市场中的应用。研究工作基于Siu and Elliott关于半马尔可夫调制指数仿射债券价格以及半马尔可夫切换扩散模型下欧式期权定价与对冲的结果。在前一情形，研究人员聚焦Hull–White模型，并将SMC结果推广至三状态及以上；基于这些结果，利用半马尔可夫模型对利率衍生品进行定价值得研究，但研究人员将其视为未来工作。在后一情形，基于真实数据（2020年1月1日至2025年12月31日Alberta电力日价格，Alberta Electric System Operator (AESO)），研究人员使用由Korolyuk and Swishchuk推导的半马尔可夫PDE公式，通过有限差分法计算了不同到期水平和不同货币性水平的看涨与看跌期权价格，原因是四个状态中有两个状态的占用时间不服从指数分布；研究人员还计算了马尔可夫情形以及经典Black–Scholes (BS)模型的看涨与看跌期权价格以作比较。由于Alberta电力价格没有活跃的期权市场，研究人员将研究活跃电力期权市场并比较结果作为未来工作。论文贡献包括三方面：将任意状态数的SMCs应用于债券定价；将SMCs结合真实市场数据应用于能源市场；连接上述两个市场。
