多面体技术中部分尺度特征的偏锥扩张与线性规划评估模型

《European Journal of Operational Research》：Models for the assessment of partial scale characteristics in polyhedral technologies

　　

研究人员考虑规模效率（scale efficiency, SE）、最有效生产规模（most productive scale size, MPSS）和规模报酬（returns to scale, RTS）。研究人员针对选定的投入和产出子集定义部分尺度特征（partial scale characteristics）。研究人员建立用于评估部分尺度特征的线性规划（linear programming, LP）。这些规划基于多面体技术（polyhedral technologies）的偏锥扩张（partial cone extensions）。所建立的模型适用于任意多面体技术。

研究背景与问题：数据包络分析（data envelopment analysis, DEA）中，常规尺度特征包括规模效率（scale efficiency, SE）、规模报酬（returns to scale, RTS）和最有效生产规模（most productive scale size, MPSS），用于判断有效前沿上决策单元（decision making unit, DMU）是否处于最优规模以及应扩大还是缩小全部投入产出。常规评估多在可变规模报酬（variable returns to scale, VRS）技术中，通过不变规模报酬（constant returns to scale, CRS）技术及其非增/非减规模报酬（NIRS/NDRS）变体进行；CRS技术是VRS技术的闭锥扩张。Podinovski等将闭锥扩张方法推广到多面体技术（polyhedral technology），该类技术涵盖多成分/网络模型、生产权衡与权重限制以及不同可处置性假设等。问题在于常规尺度特征要求全部投入产出按比例变化，而政策分析常只关心选定投入子集对选定产出子集的响应，并保持其余指标不变，即部分尺度特征（partial scale characteristics）。Banker和Morey最早在可处置/不可处置投入产出背景下讨论部分规模效率；部分尺度特征也可用于短期政策分析，评估关注指标的最优规模和调整方向。既有研究指出对选定投入产出子集的RTS评估需进一步研究，Podinovski和Papaioannou给出部分尺度效率、RTS和MPSS的理论联系，但将计算方法留待研究。因此，研究人员针对任意多面体技术开发部分尺度特征的计算方法，并基于偏锥扩张（partial cone extension）中的技术效率评估建立线性规划（linear programming, LP）模型。其意义在于把常规尺度特征推广到部分投入产出维度，为政策分析和资源配置提供可计算工具，并处理MPSS可达性等理论问题。

研究开展与主要结论：研究人员首先给出任意多面体技术锥扩张的通用表述，使部分尺度特征评估可直接通过LP完成；随后定义部分评估场景和偏锥扩张，证明其操作形式，并说明偏锥扩张一般非凸、非闭且与全锥扩张互不包含。进一步把部分MPSS评估转化为闭偏锥扩张中的部分输出径向效率LP，建立部分总体效率、部分规模效率和部分RTS的计算方法；证明部分RTS也可仅用给定技术及其闭锥扩张的部分输出径向效率判定，而不必求解NIRS/NDRS程序。研究还给出部分MPSS可能不可达的诊断，并通过高等教育VRS算例和多成分VRS（MVRS）算例展示应用。主要结论是这些模型适用于任意多面体技术，计算上与相应技术效率评价LP等价，仅多一个控制部分缩放的变量。

关键技术方法（不超过250字）：研究人员采用多面体技术的一般线性等式/不等式表述，构建全闭锥扩张和相对于选定投入子集I′与产出子集O′的偏锥扩张；用部分输出径向效率LP评估部分MPSS、部分总体效率和部分规模效率；通过在原LP中加入α≤1或α≥1得到NIRS/NDRS变体，并利用最优解中α^*与η^*进行部分RTS分类；以有限最优值下α^*=0诊断部分MPSS不可达。算例来源为高等教育四部门的小型计算示例和多成分VRS技术示例，不涉及实验试剂或培养、质粒构建步骤。

研究结果：
1 引言：通过文献梳理识别常规尺度特征与部分尺度特征的差异，提出三项贡献：偏锥扩张的通用LP表述、部分MPSS的LP重述及不可达诊断、部分规模效率和RTS的操作化。
2 多面体技术：2.1 一般表述：以矩阵A、B、C和向量d及参数z刻画多面体技术，VRS为特例，并设假设1排除无限生产。2.2 锥扩张：全锥扩张C不必然闭，闭全锥扩张可由Cz=αd表述，VRS的闭锥扩张对应CRS。通过理论推导得出。
3 部分评估场景：将投入产出划分为I′、I′′、O′、O′′，定义部分输出径向效率为程序(8)最优值η?的倒数，从而界定评估范围。
4 偏锥扩张：定义仅缩放I′和O′而固定其余维度的偏锥扩张C(I′,O′)，Theorem 1给出操作表述，Remark 3给出VRS和CRS情形；例1-2表明偏锥扩张一般非凸、非闭，且与全锥扩张互不包含。
5 使用偏锥扩张：5.1 部分MPSS：将MPSS推广为程序(12)，θ^*=1表示部分MPSS，Assumption 2保证有限，Theorem 2和Corollary 1判断无界。5.2 评估部分MPSS：以LP(13)替代非线性程序，Theorem 3建立θ^*与η^*关系及可达性，Corollary 2以α^*=0诊断不可达。5.3 部分总体和尺度效率：定义部分技术效率、部分总体效率和部分尺度效率并给出分解。5.4 RTS理论背景：区分局部与全局RTS；多面体技术的凸性使部分局部与部分全局RTS分类一致。5.5 部分RTS计算：构建NIRS/NDRS程序(17)(18)，Theorem 5-6给出CRS/IRS/DRS判定，Remark 7说明仅解程序(8)(13)并依据α^*即可分类。5.6 未达MPSS情形：以VRS加生产权衡的示例表明LP最优值有限但α^*=0，MPSS不可达，规模效率为1/4且呈IRS；若加入投入或产出上限，则MPSS可达。
6 计算示例：在高等教育四部门VRS技术中，以研究人员的投入和论文产出为I′和O′，求解程序(8)(13)。A、C处于部分MPSS；B的η^*=1.12、α^*=0.48<1，呈部分IRS；D的η^*=1.6、α^*=2>1，呈部分DRS，并给出相应部分MPSS。
7 多成分技术示例：7.1 MVRS技术：由K个成分过程和共享投入产出构成，可表述为多面体技术。7.2 计算方法：给出程序(21)评估部分MPSS、部分总体/尺度效率及RTS，NIRS/NDRS变体由加入α≤1或α≥1得到。
8 结论：总结模型适用于任意多面体技术，部分尺度特征LP与技术效率评价LP计算等价，仅多一个部分缩放变量；讨论MPSS可达性并以两个示例说明应用。

讨论与结论译文：Charnes等的CRS技术是Banker等的VRS技术的闭（全）锥扩张；前者常作为参考技术，用于评估后者有效前沿的规模效率、MPSS和RTS。Podinovski与Bouzdine-Chameeva将这些方法推广到所有多面体技术，并获得计算所需的闭锥扩张操作形式。本文考虑相对于选定投入和产出子集的部分尺度特征，假设其余投入产出保持不变；选定指标可为可处置而其余为不可处置，也可用于短期政策分析和保持其余指标不变的定向资源配置。本文主要结果是建立适用于任意多面体技术的部分尺度特征评估线性规划模型；这些模型需要一般操作形式的偏锥扩张及其NIRS和NDRS变体，本文也给出。值得注意的是，部分尺度特征LP与任意给定多面体技术的技术效率评价模型在计算上等价，仅多一个控制技术部分缩放的变量。另一理论结果涉及任意多面体技术中MPSS可达性，文献通常忽视；本文给出MPSS不可达（尽管相应LP最优值有限且可达）的简单例子，说明如何诊断并从政策上解释。两个例子说明模型有用：第一个在常规VRS技术中演示高等教育部分尺度特征计算；第二个涉及多成分VRS技术，使用新模型使部分尺度特征评估这一复杂任务变得直接。