《Advances in Mechanical Engineering》：Static and dynamic analysis of a large linear motion guide rail grinding machine
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用于直线运动导轨的磨床将超过10 m的进给行程与微米级直线度要求相结合，其机床结构的重要性不亚于磨削工艺本身。本文针对一台具有12 m床身的此类机床开展结构有限元分析（FEA），其中支撑脚采用金属-混凝土界面的载荷相关接触刚度建模，导轨采用等效刚度与阻尼建模。
用于直线运动导轨的磨床将超过10 m的进给行程与微米级直线度要求相结合，其机床结构的重要性不亚于磨削工艺本身。本文针对一台具有12 m床身的此类机床开展结构有限元分析（FEA），其中支撑脚采用金属-混凝土界面的载荷相关接触刚度建模，导轨采用等效刚度与阻尼建模。静力分析表明，床身挠度由支撑的布置方式及数量共同决定，重型工作台的移动在磨削点处产生约9 μm的直线度误差。模态分析得到10阶固有频率，介于42.9至108.6 Hz之间，以主轴立柱的弯曲和床身扭转为主。主轴箱体处的谐响应结果与冲击试验测量结果在58.8和76.7 Hz的主导模态上一致。瞬态分析表明，进给加速度激励了46.1和87.0 Hz的模态，并使侧磨主轴在Z方向产生约1.2 μm的位移。经试验验证的模型为支撑布置、主轴转速和进给加速度曲线提供了设计指导。
直线运动（LM）导轨是机床、半导体设备和精密仪器的核心部件，其运行精度取决于导轨滚道的直线度，而滚道直线度直接传递为滑台的运动误差。由于滚道几何形状在热处理后通过磨削最终确定且此后几乎无法修正，导轨磨床的精度直接决定了成品导轨的精度。大型导轨磨床的进给行程超过10 m，但磨削后的导轨必须满足微米级直线度要求。与传统机床相比，因此其对自重引起的结构变形、进给与磨削驱动激发的振动以及长时间运行累积的热变形（thermal deformation）远为敏感。如图所示，机床通常由大型床身和承载一个顶磨主轴与两个侧磨主轴的立柱结构组成。导轨在X轴工作台沿床身往复运动时被磨削。由于工作台和工件质量大且位置不断变化，床身上的载荷分布及由此产生的结构变形在整个行程中不断变化。此外，旋转砂轮的不平衡和进给驱动的惯性反力激励立柱的结构模态，这种动态变形直接传递到工件的直线度。
有限元（FE）分析是评估磨床结构精度的标准工具。它已被用于定位磨床床身的薄弱构件并比较加强方案、优化用于导轨磨削的三磨头长床身机床的尺寸和筋板布局，以及优化大型龙门式机床的结构。然而，这些模型要么未经验证，要么仅通过在主轴上施加负载测得的静态挠度进行验证，而其固有频率和动态响应仍纯属计算结果。其他研究将磨削工艺模型与主轴单元或整机的结构动力学耦合以预测砂轮与工件之间的相对振动；其中，无心磨床的FE模型在用于颤振预测之前通过实验模态分析进行了相关和修正。
此类模型的保真度在很大程度上取决于部件间界面的表示方式。进给轴的移动关节通常建模为等效弹簧-阻尼单元。对于滚动LM导轨，这种表示至关重要：LM导轨的静态刚度不到周围材料刚度的十分之一，因此承载在LM导轨上的结构的静态变形主要发生在导轨中。用滑块与导轨之间的等效弹簧替代滚动接触，可将平台的实测刚度和固有频率复现至10%以内，等效LM导轨刚度已被用于预测超精密磨床的变形并改善其直线度。滚子导轨的刚度随接触角、预紧力和滚子间载荷分布而变化，预紧力改变整机的动态特性和加工稳定性。导轨的阻尼无法从产品目录中获取，已通过实验识别。虽然阻尼仍是此类模型中最大的不确定性，但固有频率由质量与刚度（包括界面刚度）的分布决定；因此它们直接衡量了结构及其界面表示的准确程度，并已被用于验证LM导轨和机床支撑的界面模型。
第二个界面位于床身与地面之间。机床支撑的刚度取决于金属-混凝土界面的接触刚度，其单位值不到金属的十分之一；仅用体积刚度表示模型床身的支撑，其固有频率相对于冲击试验高估了近十倍。尽管如此，磨床的FE研究仍常将床身刚性固定。对于行程为12 m的机床，自重挠度、分布式支撑的柔度和重型工作台的移动本身就是主要误差源，且进给驱动本身即为激励源。由于磨床尚无主导设计，这些贡献必须针对具体机床进行评估，且模型固有频率须经测量确认。
本研究建立了12 m床身导轨磨床的结构FE模型并进行了实验验证。LM导轨采用在工作载荷下线性化的等效刚度和取自实验数据的阻尼表示，支撑脚采用金属-混凝土界面的载荷相关接触刚度表示。静力分析评估变形随支撑布置和工作台位置的变化。通过在磨削主轴箱体处计算的谐响应与实际机床在Y和Z方向冲击激励下测量的频率响应函数进行比较，验证模型的固有频率。随后利用验证后的模型预测对进给推力曲线的瞬态响应。
本研究的对象是一台同时磨削LM导轨顶面和侧面的大型导轨磨床。沿导轨进给方向的床身长度为12 m，机床总质量约为45,000 kg。机床由承载载荷的床身单元和位于床身顶部中心的磨削单元组成。床身单元包括沿X轴进给导轨的工作台、LM导轨和夹紧导轨的磁力吸盘。床身下方安装有30个直径120 mm的支撑脚，将机床载荷分配到地面。
磨削单元分为顶磨单元和侧磨单元。顶磨单元包括顶磨主轴、Z轴进给工作台和单个立柱。侧磨单元中，两个侧磨主轴对称布置在桥式立柱上，并配有Y轴和Z轴进给工作台。所有工作台均通过LM导轨平移。图中展示了简化的三维FE模型。对分析结果影响较小的细节特征进行了简化，以保持计算效率的同时保留机床的整体结构行为。
对于主轴，调整密度使每个主轴的质量等于实际值480 kg，从而以等效方式表示包括内部组件在内的质量属性。各部件的材料和单元尺寸汇总于表中。根据各零件的几何特征混合使用四面体和六面体单元，最终FE模型包含2,073,516个单元。所有FE分析均使用ANSYS Mechanical 2024 R1在配备Intel Core i7-11700KF处理器和64 GB内存的工作站上进行。
通过将床身单元尺寸在400、200、100、75、50和25 mm范围内变化并比较最大床身挠度与计算时间，开展了网格收敛性研究。对于75 mm及以下的单元尺寸，最大挠度（75 mm时为56.9 μm）与最细单元尺寸25 mm获得的59.0 μm值偏差在5%以内。将网格从50 mm细化到25 mm，最大挠度仅从57.9 μm变化到59.0 μm，约2%，而计算时间从32 min增加到63 min，约增加一倍。因此选择50 mm的单元尺寸作为精度与计算效率之间的折衷。
X轴进给工作台、顶磨和侧磨主轴的Z轴进给以及侧磨主轴的Y轴进给均采用G2中等预紧等级的滚子型直线运动导轨。LM导轨界面的等效刚度取自制造商的载荷-挠度曲线。每个导轨滑块上作用约3 kN时，曲线在10 kN以下保持线性，取该范围内的斜率作为方向等效刚度。各轴使用的导轨型号及所得数值列于表中。
机床阻尼不仅受结构构件本身的影响，还受线性导轨和螺栓连接等机械关节处能量耗散的强烈影响，且LM导轨的阻尼系数随装配状态和加载条件而变化。因此，本研究未对整个结构施加全局阻尼比，而是对LM导轨界面赋予局部粘性阻尼。阻尼系数取自大型铣床类似LM导轨滑块实验识别的方向值，并根据本机床的关节条件进行调整。
最后，在每个LM导轨的导轨与滑块之间定义通用关节。该连接类型允许对每个释放的自由度单独规定刚度和粘性阻尼系数，从而通过表中列出的方向值表示界面的弹性和耗散行为。
床身下方支撑脚的支撑特性取决于金属-混凝土界面的接触刚度。为更准确地估算床身和X进给工作台的变形，支撑脚的等效法向和切向接触刚度取自S50C-混凝土接触试样的载荷-位移测量数据。在该工作中，对接触面积A0 = 1250 mm2分别测量了上下试样的位移。此处将两个位移之差定义为发生在金属-混凝土界面的接触变形δc。将测得的法向载荷Fn与接触变形之间的关系近似为幂律，得到公式(1)：Fn=0.116δc^1.97 (kN)。为将其应用于支撑脚的实际接触面积，假设对于相同材料组合和表面条件，接触压力与变形之间的关系保持不变。则公式(1)可扩展至任意接触面积A，如公式(2)：Fn=0.116(A/A0)δc^1.97 (kN)。对接触变形求导得到公式(3)所示的斜率，将δc表示为Fn和A的函数代入，得到公式(4)的近似法向接触刚度kn：kn≈17.8Fn^0.49A^0.51 (N/μm)。因此法向接触刚度不仅取决于接触面积，还取决于作用在单个支撑脚上的法向载荷，并随该载荷非线性增加。
对于切向方向，在9 kN法向预紧下测量了切向载荷-位移关系，并通过相同的位移差方法获得了试样的切向刚度。在该条件下切向刚度约为170 N/μm，而由公式(2)计算的法向接触刚度约为1955 N/μm，刚度比约为0.087。由于能够验证切向接触刚度随预紧力变化的实验数据有限，假设对于相同材料组合和接触状态，切向与法向单位接触刚度之比保持不变。因此切向接触刚度kt定义为公式(5)：kt=0.087kn。根据公式(4)和(5)，支撑脚的接触刚度随作用在其上的法向载荷变化，因此支撑数量的变化同时改变每个支撑脚的载荷和相应的接触刚度。
对于各种支撑条件，沿床身顶面中心线评估了自重引起的挠度。为在更宽范围内考察支撑数量的影响，对图中列出的16至33个支撑脚的条件重复了分析，每种情况下施加表中列出的接触刚度。最大挠度出现在床身中心附近，即主轴和立柱重量集中处。将支撑脚从16个增加到22个，中心挠度从108.3 μm大幅降至57.5 μm，减小46.9%。30个支撑脚时（额外支撑置于现有支撑之间），床身两端的挠度形状发生变化，但床身中心挠度未改善。然而，当在16脚条件下仅增加三个中心支撑脚（即表中19脚条件），中心变形从108.3 μm降至51.0 μm，减小52.9%。最后，33脚时中心挠度从57.9 μm降至35.4 μm，减小38.9%。
这些结果表明，中心变形的减小不能仅用总支撑刚度解释。根据公式(4)，将支撑脚从30个增加到33个，总等效支撑刚度仅增加约4.9%，而中心变形减小38.9%。22脚和30脚配置的中心变形几乎相同（分别为57.5和57.9 μm），尽管支撑数量差异显著。这些结果表明，床身的变形行为除受总支撑刚度影响外，还强烈受支撑空间布置的影响。特别是，在床身变形集中的中心区域放置额外支撑比沿床身均匀增加支撑数量更为有效。因此，可根据载荷分布通过适当的支撑布置改善床身挠度分布和结构精度，而无需修改主要结构构件的几何形状或材料。
X轴进给工作台在床身顶部以12 m行程运行，其变形不仅受自身重量影响，还受当前位置床身变形状态的影响。工作台顶面Z向变形的分布随工作台位置显著变化，每种情况下最大向下变形均出现在床身最大挠度对应的位置。这些分布中的不对称性源于工作台内部直线电机的非对称布置。随着工作台移动，该位置与工作台上的不同点重合，因此最大挠度位置随之移动。这是进给工作台直线度误差的主要原因之一。带圆形标记的蓝色实线连接各分布的最低点，因此代表工作台移动时磨削点处导轨的高度；这在工作台5.7 m长度上对应约9.1 μm的直线度误差。该直线度误差必须在机床最终校准阶段进行补偿，而所提出的模型提供了预先预测该误差的手段。
模态分析结果用于识别结构的动态特性。固有频率为42.9、46.1、58.8、64.2、76.7、81.9、87.0、93.9、99.5和108.6 Hz。振型检查表明，第1、3、4阶模态以承载顶磨主轴的单立柱变形为主，第2、6、7、9阶模态以承载侧磨主轴的桥式立柱变形为主。第5、8、10阶模态为整体结构的扭转变形。主轴的旋转频率（顶磨主轴20–23 Hz，侧磨主轴16.7–20.0 Hz）未直接与任何固有频率重合。然而，这些旋转频率的谐波分量可能与某些固有频率带重叠，因此实际运行中必须选择主轴转速使其谐波避开这些频带。
通过在实际机床上进行冲击试验验证了动态模型。加速度计安装于顶磨和侧磨主轴箱体上，使用冲击锤在Y和Z方向激励每个箱体。信号经信号调理器调理并以12.5 kHz采样频率记录。共对36次冲击响应进行集合平均。在相同点和相同方向施加单位力进行谐响应分析，将计算的响应与测量的频率响应函数进行比较，两者均以其最大幅值归一化。
主导测量响应的低阶模态与模型吻合良好。对于顶磨主轴，Y和Z方向的主导测量峰值与第3阶模态58.8 Hz一致，该模态由承载该主轴立柱的弯曲主导。对于侧磨主轴，两个方向的主导测量峰值与第5阶模态76.7 Hz一致。第1和第2阶模态（42.9和46.1 Hz，重型立柱结构的弯曲模态）出现在计算响应中但未出现在测量中，可能是因为施加于主轴箱体的小Y和Z向冲击力不足以激励它们；同样，属于顶磨立柱的第3和第4阶模态未被侧磨主轴上的冲击激励。所有测量中18.8 Hz的尖锐峰值归因于外部振动。
侧磨系统的高阶模态测量频率高于预测值。测量的99.2、103和123 Hz峰值可能分别对应第6、7、9阶模态81.9、87.0和99.5 Hz，高出预测值18%–24%。主要由立柱弯曲主导的低阶模态吻合良好，而桥式立柱进给轴参与更多的高阶模态存在偏差。因此差异可能源于将每个导轨滑块表示为线性化方向刚度，这无法完全复现多个导轨轴承的组合行为，包括其方向刚度之间的耦合和滚动体间载荷分布的不均匀性。由于磨削主轴处主导响应的模态被准确复现，所提出的模型被认为足以评估机床的动态行为。
研究还展示了在主轴以递增速度旋转时在同一位置测量的频谱。与旋转相关的分量（如旋转频率）随主轴转速成比例移动。在顶磨主轴中，对应第3阶模态的57.6 Hz共振在整个速度范围内出现在Y和Z方向，并在710 rpm时最为显著。在侧磨主轴中，Z方向未观察到由旋转引起的共振。然而在Y方向，旋转频率的第八阶分量在750至1050 rpm之间产生显著峰值，最大在750 rpm处，此时与约99 Hz的测量模态重合。因此运行中应避免旋转谐波与这些模态重合的主轴转速。
利用验证后的模型，通过施加随工作台加减速变化的X轴驱动推力作为时程载荷，预测了磨削主轴对实际进给运动的响应。选择时间增量使得在所分析的最高固有频率的一个周期内至少有20个时间步。工作台的加速度使侧磨主轴在Z方向产生约1.2 μm的位移，使顶磨主轴在Y方向产生约0.2 μm的位移，并叠加振荡，尽管推力仅作用于X方向。因此侧磨主轴的Z向振动是工作台运动的主导响应，表明X轴进给主要影响Z方向的加工精度。响应的FFT表明，加速度曲线主要激励46.1和87.0 Hz的第2和第7阶模态。振型显示这两个模态均由立柱弯曲主导；特别是第2阶模态主要引起侧磨主轴的Z向振动。因此，设计进给驱动的加速度曲线使其不激励第2和第7阶模态是有效的。
本研究建立了12 m床身导轨磨床的结构FE模型，纳入LM导轨的等效刚度和支撑脚的载荷相关接触刚度，并通过实际机床上的冲击试验进行了验证。床身的自重挠度更多取决于支撑的布置而非数量：在中心增加三个支撑脚使中心挠度减小38.9%–52.9%，而在现有支撑之间增加支撑脚效果甚微。工作台在挠曲床身上的移动在磨削点产生约9 μm的直线度误差，模型可预测该误差以在校准中进行补偿。模型复现了顶磨和侧磨主轴在58.8和76.7 Hz的主导测量模态，而桥式立柱的高阶模态测量值高出预测值18%–24%，反映了线性化导轨刚度的局限性。主轴旋转期间测量的频谱识别了这些模态被激励的转速。瞬态分析表明，进给加速度主要激励46.1和87.0 Hz的立柱弯曲模态，并使侧磨主轴在Z方向产生约1.2 μm的位移。本研究因此提供了一台长行程磨床的经实验验证的结构模型——此类机床此前的FE模型仅经过静态验证（如果有的话），并将该模型转化为支撑布置、主轴转速和进给加速度曲线的设计指导。改进导轨关节刚度模型以提高高阶模态预测精度，以及将预测直线度与磨削后导轨的测量结果进行比较，仍为未来工作。
