非正态分布下相关系数稳定性的样本量估计：g-and-h分布下的模拟研究

《Journal of Research in Personality》：At what sample size do correlations stabilise? On unicorns and other improbable creatures

　　

为确保足够的统计功效，研究人员被鼓励通过功效分析（power analysis）来论证其样本量（Lakens, 2022; Cohen, 1988）。一种互补方法基于预期效应δ的稳定性来估计所需样本量（Sch?nbrodt & Perugini, 2013）。然而，该方法最初是在假设正态分布的前提下开发的，尚无模拟研究检验其在非正态数据下的稳健性。因此，研究人员遵循Sch?nbrodt和Perugini（2013）的程序进行模拟，以估计各种非正态分布下的稳定点（point of stability）。结果表明，轻至中度的正态性违反仅轻微影响稳定点，而严重的违反则产生实质性变化。本文讨论了其意义。

研究背景方面，在零假设显著性检验（NHST）框架下，统计功效受显著性水平（α）、总体效应量（δ）、期望功效水平（1 - β）和样本量四个主要参数影响。实践中，前三个参数通常固定于常规水平（α = 0.05，1 - β = 80%），样本量是唯一具有足够调整空间的参数。功效分析多基于预期效应量δ进行，但研究者也开发了互补方法。Sch?nbrodt和Perugini（2013）提出基于预期效应δ稳定性的样本量估计方法，通过模拟识别效应量在真实总体值附近稳定所需的样本量，即稳定点（POS），当估计效应量的波动在稳定性走廊（COS）内时认为达到稳定。后续研究将该框架扩展至零真实相关（Hofer, 2020）、不完全测量下的相关（Kretzschmar & Gignac, 2019）、Cohen's d（Lakens & Evers, 2014）、组内相关系数（Williams et al., 2025）、交互效应估计（Castillo et al., 2026）及贝叶斯方法（Delfin, 2023）。然而，现有研究未系统检验非正态数据分布下该估计是否波动及波动是否有意义。模拟研究表明非正态分布下相关系数估计存在实质性波动（Bishara & Hittner, 2017; Kowalski, 1972），且回溯性研究发现多数真实样本数据呈非正态分布（Blanca et al., 2013; Bono et al., 2017; Cain et al., 2017; Micceri, 1989）。仅有初步证据提示即使轻微的正态性违反也会使稳定点晚于正态分布下出现（Sch?nbrodt & Perugini, 2013）。因此，本研究旨在系统考察不同偏离正态程度下相关系数的稳定性。

研究人员采用蒙特卡洛模拟，在R（版本4.5.3）中运行，使用MASS、tidyverse、patchwork、doParallel、foreach、mcmcse和effectsize等包，在配备Intel Xeon W-2275 CPU的工作站上完成计算。研究基于Sch?nbrodt和Perugini（2013, 2018）的程序，通过多元g-and-h族变换（Astivia & Edward, 2022; Tukey, 1977）引入边际非正态分布，同时保持双变量结构恒定。具体步骤为：模拟五种分布条件（正态、中度偏态、严重偏态、重尾、重尾合并偏态），每种条件模拟1,000,000个案例作为总体数据；从总体数据中抽取B = 100,000个自助样本；对每个自助样本从n_min = 20到n_max = 1000累积计算相关系数，ρ从0到0.90以0.05为步长；计算每个自助轨迹的稳定点，即观测相关在轨迹剩余部分保持在走廊[ρ ? w, ρ + w]内的最小n值；走廊宽度测试五种（0.05、0.075、0.1、0.15、0.2）；基于稳定点值计算80%、90%、95%三个百分位数作为置信水平。

研究结果方面，模拟评估显示所有估计器稳定性值较低，表明估计器在B = 100,000之前已充分稳定；大多数模拟的蒙特卡洛标准误（MCSE）较低（总Me = 0.69），但有三项MCSE值超过1。主要结果首先在正态分布下复现了Sch?nbrodt和Perugini（2013）的发现，例如r = 0.2、w = 0.10、80%置信水平下需239名参与者，w = 0.15时需104名。非正态分布下观察到两个主要模式：其一，非正态分布对稳定点的影响不均匀，强偏态及强偏态合并重尾分布下稳定点中位数平均高于其他分布；其二，这些增加在r = 0.2至r = 0.7范围内更为明显。对于r = 0.4、w = ±0.10，高度偏态分布在80%情况下达到稳定所需参与者比正态分布多198%。Wilcoxon检验表明，r = 0.4、w = 0.10时，强偏态分布与正态分布的稳定点差异显著（r_{rank-biserial} = ?0.55，95% CI [?0.56, ?0.55]，p < .001），强偏态合并重尾分布亦显著（r_{rank-biserial} = ?0.52，95% CI [?0.52, ?0.51]，p < .001）；中度偏态和重尾分布虽也显著（r_{rank-biserial} = ?0.17，95% CI [?0.18, ?0.17]，p < .001；r_{rank-biserial} = ?0.06，95% CI [?0.07, ?0.06]，p < .001），但差异幅度较小。成本超支比分析显示，强偏态和/或合并非正态分布下稳定点可比正态分布翻倍甚至翻四倍。

讨论部分指出，既有稳定性走廊研究将基于置信区间的点估计准确性文献（Maxwell et al., 2008）扩展至效应量稳定性（Sch?nbrodt & Perugini, 2013），证明可靠效应量估计取决于效应量大小、精度水平和置信水平。本研究首次系统考察非正态分布下稳定点的变异性。结果与Sch?nbrodt和Perugini（2013）在正态分布下的发现一致，增强了模拟研究的可重复性（Luijken et al., 2024）。轻微偏离正态对稳定点影响不大，例如80%置信水平、w = 0.1、r = 0.2时，正态分布需239名参与者，重尾分布需245名。但严重偏离正态（如强偏态）且w = 0.1、80%置信水平下，对于ρ从r = 0.3到0.8，稳定点较正态分布增加86%至412%。研究人员以人格特质与肉类消费关系为例说明：假设r = 0.15、80%置信水平、w = 0.10，正态分布下需247名参与者，非正态分布下则在246至389之间波动。关键的是，严重偏离正态的影响在中等效应量（Gignac & Szodorai, 2016）下最为显著。例如r = 0.4、α = 0.05、80%功效的先验功效分析估计需37名参与者，而基于稳定性走廊方法、w = 0.1时正态分布下需183名，非正态违反下则在211至611名之间。尽管结果可能显得悲观，但需强调一些重要细微之处：效应量及其波动的意义直接取决于研究背景（Sch?nbrodt & Perugini, 2013）。虽然小波动容忍度（如w = 0.10）可视为合理权衡，但在涉及非正态数据的研究背景中，可根据实际、经济和社会约束调整该宽度（Lakens, 2022）。例如，w = 0.15在非正态偏离下是更好的权衡，可将r = 0.4时所需样本量从546名（w = 0.10）降至260名（w = 0.15）。因此，从一开始就采用中等波动容忍度——尤其是当感兴趣变量的边际分布非正态时——可使研究者在置信度与估计精度之间保持良好平衡。研究结论部分译为：为确保足够统计功效，研究人员被鼓励通过功效分析论证样本量。一种互补方法基于预期效应δ的稳定性估计所需样本量。然而该方法最初假设正态分布开发，尚无模拟研究检验非正态数据下的稳健性。因此研究人员遵循Sch?nbrodt和Perugini（2013）程序进行模拟，估计各种非正态分布下的稳定点。结果表明轻至中度正态性违反仅轻微影响稳定点，严重违反则产生实质性变化，并讨论了其意义。