考虑疫苗接种、变异与隔离策略的传染病建模与分析

《Journal of Biological Dynamics》：Modelling and analysis of infectious diseases considering vaccination, mutation and quarantine strategies

　　

从实验角度研究传染病的传播机制并预测其趋势较为困难，而应用非线性模型为分析传染病的传播特征提供了一种更直接有效的方法。本文提出了一个SLVEIMQR动力学模型，将人群划分为易感者（S）、低风险者（L）、疫苗接种者（V）、暴露者（E）、感染者（I）、变异株感染者（M）、隔离者（Q）和康复者（R）。研究人员计算了所提出模型的基本再生数和平衡点，并证明了无病平衡点的局部渐近稳定性。此外，研究人员分析了平衡点处的跨临界分岔以及关键参数的敏感性。为估计模型参数并预测传染病趋势，研究人员利用意大利不同阶段的疫情数据应用最小二乘法进行参数估计。结果表明，该模型在两个预测阶段的平均相对误差分别为1.72%和3.66%。

**研究背景与问题**

传染病伴随人类文明发展，影响着人们的日常生活、公共卫生和社会稳定。自2019年COVID-19暴发以来，全球200多个国家和地区报告了感染病例，反映出其高传播性和长潜伏期特征。传染病不仅直接导致大量死亡，还会引发社会恐慌、增加医疗资源压力，并对生产力和社会稳定产生长期负面影响。现代社会人口密度高、人员流动频繁，进一步加速了疾病传播和扩散。随着疫情演变，变异株的出现引起广泛关注。截至2022年初，Alpha、Beta和Delta变异株已在多国被检出，Omicron变异株在全球迅速蔓延。变异株传染性增强可导致感染者出现严重症状。在实际防控措施中，许多国家采取了患者隔离和疫苗接种等有效手段。然而，仅依靠这些措施难以理解传染病的传播规律，因此认识其传播机制至关重要。经典的SIR模型便于计算和理解，但难以有效刻画病毒潜伏期特征；SEIR模型考虑了病毒潜伏特征，但未充分考虑实际防控措施。已有研究虽从变异、隔离、个体防护、再感染、年龄结构和疫苗接种等角度扩展了经典模型，但将异质性感染风险与疫苗接种、变异和隔离联合刻画的研究仍相对有限。为此，本研究构建了SLVEIMQR模型，在统一框架内区分低风险、疫苗接种、变异株感染和隔离人群，从而在同一动力学系统中分析异质性感染风险与多种干预机制之间的相互作用。该模型的主要贡献包括：（1）考虑疫苗接种、变异、隔离和自我防护等多种因素，提出了新型SLVEIMQR模型；（2）分析了模型的动力学行为，计算基本再生数并证明无病平衡点的局部渐近稳定性，分析了参数敏感性和跨临界分岔；（3）利用意大利疫情统计数据估计模型参数并预测传染病趋势，与SEIR模型相比所提模型预测结果更为准确。

**关键技术方法**

研究人员将总人口划分为易感者（S）、低风险者（L）、疫苗接种者（V）、暴露者（E）、感染者（I）、变异株感染者（M）、隔离者（Q）和康复者（R）八个仓室，建立归一化的常微分方程组模型。采用下一代矩阵法计算基本再生数R₀，通过Jacobian矩阵特征值分析和Lyapunov定理证明无病平衡点的局部渐近稳定性，并利用特征方程分析跨临界分岔。通过变化感染率和恢复率取值开展敏感性分析。模型参数估计与趋势预测采用最小二乘法，数据来源于意大利卫生部（Ministero della Salute）和世界卫生组织（WHO）公布的疫情数据，选取2022年8月至9月和2023年1月至2月两个预测阶段，以平均相对误差（MRE）评价预测精度，并与经典SEIR模型进行对比。

**研究结果**

**基本再生数**：通过下一代矩阵法计算得到基本再生数R₀的解析表达式，该表达式综合反映了低风险人群感染率β、易感人群感染率α、疫苗接种者感染率ν、疫苗接种比例η、低风险人群比例ρ以及潜伏期转化率σ、隔离率θ、恢复率γ、变异概率δ和人口进出率μ等因素的共同作用。当R₀>1时每个感染者平均可传播给不止一人，疾病快速扩散；当R₀<1时疾病将逐渐消失。

**稳定性分析**：定理1表明，当R₀<1时系统（2）在无病平衡点E₀处渐近稳定。通过计算E₀处Jacobian矩阵的特征值，得出λ_1,2,3=-μ、λ₄=-γ-μ、λ₅=-δ-θ-γ-μ均为负值，且当R₀<1时λ₆和λ₇亦小于零，依据Lyapunov定理证得结论。仿真1在R₀=0.6347<1条件下验证了易感者、低风险者和疫苗接种者逐渐趋近各自平衡值，而暴露者、感染者、变异株感染者和隔离者衰减至零。仿真2设置不同初始感染比例I(0)=0.10至0.35，相轨迹虽起点不同但均收敛至同一平衡状态，进一步支持了E₀的稳定性。

**分岔分析**：定理2表明当R₀=1时系统（2）在E₀处发生跨临界分岔。将R₀=1代入特征方程化简后得到λ=0为特征根，E₀为非双曲平衡点；当R₀<1时E₀渐近稳定，当R₀>1时E₀变为不稳定，稳定性在R₀=1处发生改变，分岔图显示E和I的密度随R₀的变化关系。

**敏感性分析**：通过改变感染率α、β、ν和恢复率γ的取值研究感染者密度的时序变化，结果表明α、β、ν取值越小感染者密度越低，随着三者增大感染者峰值密度持续上升；γ增大时感染者密度下降。适当降低α、β、ν或提高γ可减少传染病传播。以R₀=1为参考状态选取基线参数集进行R₀的敏感性分析，结果显示R₀随α、β、ν和η增大而上升，随γ增大而下降。

**疫情预测与分析**：选取意大利2022年8月至9月和2023年1月至2月两个预测阶段，利用最小二乘法估计参数。第一阶段利用7月17日至8月25日数据估计参数并预测9月疫情，拟合阶段MRE为0.92%，预测阶段MRE为1.72%，估计的感染率α、β、ν分别为0.98、0.56612和0.25176，满足α>β>ν即易感者、低风险者和疫苗接种者感染率依次递减。第二阶段利用11月至次年1月数据预测随后20天趋势，拟合阶段MRE为2.40%，预测阶段MRE为3.66%，基于估计参数计算得R₀=1.0571>1，虽感染人数在预测期内下降但R₀仍略高于阈值1，表明持续传播潜力尚未完全消除。模型对比方面，第一阶段SEIR预测在预测期与观测数据偏差更明显，SLVEIMQR预测更贴合实际趋势；第二阶段SLVEIMQR和SEIR的预测MRE分别为3.66%和21.30%，SLVEIMQR预测误差显著更低，表现出更稳定的预测性能。

**讨论与结论**

所提出的SLVEIMQR模型为刻画异质性感染风险和多种干预机制下的传染病传播提供了集成框架。结果表明，疫情演变受个体防护、疫苗接种、病毒变异、隔离和康复等因素共同作用的影响。通过区分具有不同流行病学特征的人群，该模型能够更精细地表征不同疫情条件下的传播动力学。分析进一步表明，降低传播风险和增强康复对于限制疾病持续传播均十分重要，凸显了协同干预机制的价值。利用意大利疫情数据的验证进一步证明了所提模型适用于不同疫情阶段的趋势分析。总体而言，SLVEIMQR框架为解释疫情演变和评估防控策略提供了定量基础。