基于Kolakoski序列的准周期时间光子晶体中的Floquet模式

《Scientific Reports》：Floquet modes in quasi-periodic temporal photonic crystals based on the Kolakoski sequence

　　

研究人员提出了基于四种确定性Kolakoski序列的准周期时间光子晶体（temporal photonic crystals, temporal PCs）的理论框架。所提出的系统由两种时间调制介电响应构成，其中折射率对比度在频率-动量空间中产生动量带隙（momentum gap）。与传统时间光子晶体不同，Kolakoski序列的确定性非周期排序在动量空间上产生多个动量带隙和共振态。研究人员采用传输矩阵法（transfer matrix method, TMM）系统分析了在无损耗和有损耗情形下介电常数对比度和时间层持续时间对比度对传输特性的影响。结果表明，非周期序由于时间层数增加和更强的Floquet模式而增强动量带隙。增大介电常数对比度会增大动量带隙的宽度，而改变层持续时间则在两种系统中引起动量谱中更大的动量偏移。在有损耗情形下，材料损耗略微增强放大效应，而未显著改变动量带隙的位置。这些发现凸显了基于Kolakoski的时间光子晶体在超快、动态可调光子器件中的潜力。

研究背景方面，光子晶体（photonic crystals, PCs）因其控制光传播的独特能力而成为重要研究领域，其中一维光子晶体因设计简单、易于制备而备受关注。光子带隙（photonic bandgaps, PBGs）是其关键特征，通过工程化光子带隙并引入结构缺陷可调控一维光子晶体的光学性质。除周期结构外，Fibonacci和Thue-Morse等非周期序列也表现出光子带隙。另一方面，时间光子晶体中介电常数随时间而非空间变化，其时间周期调制产生指数波放大、稳健动量带隙等现象。在时间光子晶体中，介电常数的周期调制在能量-动量空间中产生动量带隙，类似于传统空间光子晶体中能隙的形成。Araujo等人的研究表明，基于确定性非周期序列的时间光子晶体也能支持动量带隙，并表现出比周期结构更丰富的波动力学，包括Fibonacci、Thue-Morse和双周期结构展现出动量带隙和自相似Floquet-Bloch结构，其局域性质受折射率对比度和时间层持续时间比的影响。Floquet模式的局域化对波约束控制、增益/损耗意义上的放大以及选择性能量传输具有关键作用。基于Kolakoski的空间光子晶体已从全向反射、石墨烯嵌入平面光子晶体、等离子体光子晶体、二次谐波产生和磁光效应等多个角度得到研究，但基于Kolakoski序列的时间光子晶体的光学性质仍很大程度上未被探索。Kolakoski序列是一种自生成游程序列，其独特的确定性排序引入了独特形式的非周期性，产生不同的局域特性和动量带隙工程，从而能够控制时间波传播、放大和频率转换。本研究中，研究人员研究了基于Kolakoski序列的时间光子晶体，并考察了不同类型中动量带隙内共振模式的局域化，进一步系统分析了无损耗和有损耗系统中介电常数对比度和时间层持续时间对比度的影响。研究人员采用传输矩阵法研究光的传播和时间光子晶体的光学性质，为时间光子晶体中的动量带隙工程提供了新见解。

在技术方法上，研究人员考虑了四种一维Kolakoski型时间光子晶体，分别记为Type-I（K(1,2)）、Type-II（K(1,2)上划线）、Type-III（K(2,2)）和Type-IV（K(2,2)上划线），其中Type-II通过交换Type-I获得，Type-IV通过交换Type-III获得。每种结构由两种时间介质（时间层A和B）组成，序列通过迭代替换规则生成确定性非周期排列。Type-I Kolakoski K(1,2)是由1和2组成的自生成准周期序列，以其自身元素作为连续游程长度定义，通过将1映射为A、2映射为B得到。Type-II通过交换A和B获得，Type-III为K(2,2)，Type-IV通过交换Type-III中的A和B获得。下标n表示包含n个项/元素的有限Kolakoski序列。n决定时间层的总数从而决定时间光子晶体的结构复杂性。两种时间介质的相对介电常数选取为ε_A=3、ε_B=1，相对磁导率固定为μ_A=μ_B=1。时间层的持续时间t_A和t_B定义为相对于时间周期T_0=2×10^-15 s的四分之一波条件。研究人员采用各时间段的特性矩阵，总转移矩阵为各段特性矩阵之积，传输系数由转移矩阵元与波阻抗确定，其中η_in=η_out=1。研究人员通过改变ε_A从1到10（固定ε_B=1）分析介电常数对比比的变化；通过令t_A=ρt、t_B=(1-ρ)t（其中t=t_A0+t_B0，ρ为0.1到0.9的对比比）控制时间对比比。在有损耗情形下，研究人员在各层介电常数中引入虚部0.01i，即ε_A→3+0.01i、ε_B→1+0.01i。

研究结果方面，在无损耗系统中，研究人员分析了基于四种Kolakoski型序列在固定层数n=50时的对数时间传输随归一化动量k/k_0的变化，并与对应的周期时间光子晶体(AB)^25进行比较。周期结构表现出明确且相对宽的光子带隙，而所有四种Kolakoski型结构表现出显著更丰富的光谱响应，特征为整个动量范围内产生多个动量带隙（多重放大）。基于Kolakoski序列的确定性非周期排序保持了与周期时间光子晶体结构类似的动量带隙类型，但引入了额外散射并在整个动量区域产生多个共振。此外，自相似干涉效应导致形成宽动量带隙和多个窄带隙。所有四种Kolakoski型遵循相同的生成数但替换规则不同，这些不同的符号排列产生相同的光谱特征，但在周期带隙区域k/k_0=1和k/k_0=3处观察到微小不同的共振行为。关于介电常数对比比的影响，研究人员通过改变ε_A从1到10（固定ε_B=1）分析传输谱。观察到所有四种Kolakoski序列表现出相似的传输特征。在低介电常数对比比下，结构表现为近均匀介质，电磁波经历可忽略的界面散射，导致几乎无放大的传输且无明显动量带隙形成。随着介电常数对比比增大，界面散射逐渐增强，导致明确的传输放大区域出现，这些放大区域随对比度增大而变宽和更显著，表明介电常数对比度在增强Kolakoski光子晶体的Floquet散射中起关键作用。关于时间层持续时间比的影响，研究人员通过令t_A=ρt、t_B=(1-ρ)t（ρ从0.1到0.9）控制时间对比比。观察到所有四种Kolakoski序列在整个时间对比比范围内表现出相似类型的传输特征。时间对比比的变化改变了传输区域的分布而非产生动量带隙宽度的增大。随着时间对比比增大，所有四种配置中传输向更高动量区域移动，且由于更强的时间调制，传输变得越来越扭曲并分裂为多个子带。在有损耗系统中，研究人员通过在各层介电常数中引入虚部0.01i研究有损耗系统。与无损耗情形相比，引入损耗后整体光谱特征几乎不变，传输放大的位置和宽度相同，表明确定性时间排序支配着相同系统。复介电常数的主要效应是增强动量带区域中的放大。因此，复介电常数和准周期效应在动量带区域产生微小放大区域，然而材料损耗的存在导致时间介质中传播波的衰减，该复介电常数引起额外放大而非修改动量带隙及其位置。关于有损耗条件下介电常数对比度的影响，研究人员观察到有损耗情形下的传输响应与无损耗情形定性相同。在低介电常数对比比下，两层介电常数实部几乎相等，结构表现为近似均匀时间介质，导致无显著动量带隙形成，引入少量复数值不会显著改变低对比度区域的整体光谱分布。随着介电常数对比比增大，更强的时间散射增强Floquet散射，产生明确的高传输放大区域并随对比度增大而逐渐变宽，动量带隙位置在有损耗情形下保持不变。所有四种Kolakoski序列表现出相同趋势，尽管损耗导致时间介质中传输的衰减。关于有损耗系统中时间层持续时间比的变化，研究人员采用与前述相同的控制方式（ρ∈[0.1,0.9]）。与无损耗情形相比，所有四种配置的动量带和带隙保持不变，表明引入损耗略微增加整个动量区域的传输幅度。所有四种Kolakoski序列表现出与无损耗情形相同的趋势，但放大效应有微小变化。

讨论部分总结：研究人员从理论上研究了四种不同类型的基于Kolakoski的时间光子晶体以研究其时间传输特性。结果表明，时间层的非周期序列排序产生多个动量带隙和共振，导致与周期时间光子晶体不同的传输特性。观察到增大介电常数对比度增强动量带隙，而时间持续时间比主要控制光谱位置。此外，损耗修改传输幅度而未显著修改动量带隙。这些发现凸显了基于Kolakoski的时间光子晶体作为工程动量带隙和增强准周期时间光子晶体器件中共振的通用平台的潜力。