《Mechanism and Machine Theory》：Stiffness reduction of flexure pivots using fixed-lever buckled beams
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采用固定杠杆后屈曲梁（fixed-lever post-buckled beams）为柔性铰链（flexure pivots）提供负角刚度（negative angular stiffness）。闭式表达式（closed-form expressions）使研
采用固定杠杆后屈曲梁（fixed-lever post-buckled beams）为柔性铰链（flexure pivots）提供负角刚度（negative angular stiffness）。闭式表达式（closed-form expressions）使研究人员能够设计具有目标角刚度降低量的柔性铰链。研究量化了杠杆臂（lever-arm）与梁偏置（beam-offset）对角刚度及角行程（angular stroke）的影响。该解析模型（analytical model）经有限元法（FEM）仿真与实验验证。
研究背景方面，柔性机构（flexure mechanisms）依靠弹性变形而非离散关节实现运动，具有无摩擦、无间隙、无磨损及高精度、可单片化（monolithic）等优势，近年来其刚度轮廓的可调性受到关注。通过预应力调节柔性单元刚度可实现静力平衡、近零刚度或双稳态等行为，从而降低驱动 effort、提高能效与灵敏度。在各类预载策略中，预载弹簧方案多需复杂装配、不利于微尺度应用；屈曲梁（buckled beams）易于集成且可借助微尺度原位应力实现单片设计，但其刚度非线性强、建模设计复杂，且对边界条件与初始曲率高度敏感。针对轴向位移预载的后屈曲梁，现有建模途径包括基于能量法的解析列式、梁约束模型（Beam Constraint Model, BCM）及其扩展（Bi-BCM、CBCM、BBCM）、以及弹性线理论（elastica theory）与有限元法等，但多受限于特定边界条件或需数值求解，难以支撑快速设计探索。更关键的是，现有基于梁后屈曲的刚度降低方案多针对柔性直线运动平台（如固定-导向屈曲梁），而能有效降低柔性铰链角刚度的结构相对稀少；已提出的方案中梁本身即构成旋转柔性结构并主要沿同一方向变形，且后屈曲梁端点相对枢轴线的相对位置所引入的杠杆臂效应在文献中缺乏量化，制约了刚度降低枢轴的预测性综合。为此，研究人员基于已有的通用闭式梁模型，提出并建立一种可迁移的解析设计方法：由两根初始直、轴向预载、屈曲方向相反的后屈曲梁并联于固定框架与旋转平台之间，并将导向功能与刚度降低功能分离，通过在中性位置抵消弯矩偏置并叠加负刚度来补偿柔性铰链刚度。研究得出，所提出的固定杠杆后屈曲梁结构可产生可调的负角刚度；闭式表达式与归一化图谱构成预测性设计框架，可在详细有限元验证之前快速完成刚度降低柔性铰链的初步设计；杠杆臂距离强烈影响可实现的刚度降低与角行程，且当两屈曲梁轴线相对枢轴中心偏置时会产生显著改变角刚度的次级杠杆臂效应。其意义在于为跨枢轴架构、材料与尺度的刚度降低柔性铰链提供可预测的综合框架，并在金属、3D打印塑料及硅微尺度原型上得到验证。
关键技术方法方面，研究人员建立了基于Euler-Bernoulli梁理论的准静态闭式解析模型，推导单根与成对固定杠杆后屈曲梁的力矩-转角特性及中性位置角刚度常数，并采用20阶多项式拟合作为评估两梁叠加特性的中间数值工具（最大相对RMS拟合误差低于0.5%）；通过COMSOL Multiphysics 6.1在平面应力假设与几何非线性下开展有限元仿真，分两阶段施加扰动以引导屈曲方向；实验采用微定位平台与力传感器测量力矩-转角特性，并重复五次取平均。样本队列来源方面，金属原型采用Brütsch/Rüegger Tools Ltd的1.1274弹簧钢；塑料原型采用Bambu Lab A1熔融 filament 打印机以PC FR聚碳酸酯制造；硅原型为单晶（100）取向p型硅片经深反应离子刻蚀（DRIE）后湿法热氧化（1050 °C）利用残余应力预载，由CSEM于2024年制造。
研究结果方面，在"单固定杠杆屈曲梁"一节，通过解析模型与FEM及实验对比得出，模型能捕捉屈曲梁的主要驱动特性，中性位置附近输入力矩最大相对偏差为8.2%，稳定角预测误差随归一化预压缩比增大而增加（Δx/L=10%时约2.2%，20%时约4.7%），而极限角误差在Δx/L=20%时仍低于1.03%；通过式（11）验证了最大应力估计在接近极限角范围内与FEM吻合。在"预载十字弹簧枢轴"一节，通过对3D打印聚碳酸酯单片结构在对称与反对称屈曲配置下的测试得出，反对称屈曲下稳定角幅度解析与FEM吻合良好，极限角存在较大偏差（归因于旋转平台变形与梁端圆角），实验测得的割线刚度降低约为89%、FEM约87%、解析约81%，而闭式中性切线刚度降低预测为75%。在"预载RCC枢轴"一节，通过对三种屈曲梁长度的硅原型测试得出，实验测得的割线刚度降低分别为90%（L=4.85 mm）与96%（L=4.75 mm），更短梁（L=4.5 mm）可实现具有近似恒定负刚度的双稳态枢轴，机械止挡在达到极限角前限制角行程；分析表明轴向预载引起的导向梁软化贡献了刚度降低的85.5%–106.9%，直接负角刚度额外贡献3.8%–6.4%，总切线刚度降低为89.3%–113.3%（超过100%对应负总刚度）；框架柔度使有效预载位移较刚性框架FEM结果降低约21%–25%，实验更接近弹性框架FEM结果。
讨论部分与结论方面，作者在"迈向通用设计方法"中提出将机构分解为导向、屈曲与预载三个功能子机构，并给出七步设计流程；指出近零总刚度设计对参数变化本质敏感，梁厚因三次方依赖尤为关键，预压缩主要影响角行程并在r≠0时通过式（20）影响次级刚度贡献，两梁预载失配会破坏对称性；应力准则方面给出了三类原型的最大von Mises应力（225 MPa、12.6 MPa、398 MPa）及安全系数（7.1、4.0、2.0），并强调循环应用应以疲劳强度定义许用应力；角行程与机械止挡方面指出刚度降低与角行程存在权衡，对负刚度或单侧接触驱动机构尤需止挡并保留裕度；框架柔度方面说明刚性框架解析模型用于初步设计、最终FEM验证应计入框架柔度。结论部分翻译如下：本文提出了一种利用固定杠杆后屈曲梁降低柔性铰链刚度的设计方法。所提出的架构产生负刚度，可用于补偿通用柔性铰链的固有正刚度。根据梁几何、预载条件与杠杆臂距离，所得旋转刚度可设计为正、近零或负值，同时在中性位置附近保持近似恒定。除引入基于屈曲的刚度降低架构外，本工作还为其综合提供了预测性解析框架：推导了单根与成对后屈曲梁刚度及力矩-转角特性的闭式解析表达式与参数关系，使刚度补偿得以预测性设计而非依赖迭代设计过程。研究进一步表明杠杆臂几何在决定可实现的刚度降低与角行程中起核心作用；并识别并解析量化了屈曲梁相对枢轴轴线偏置时产生的次级杠杆臂效应的影响，阐明了这一显著改变所得角刚度的重要几何效应。所提出的解析框架通过应用于代表性柔性铰链（十字弹簧与RCC枢轴）得到说明：设计、FEM分析并实验表征了弹簧钢与3D打印塑料模型；此外，鉴于微纳尺度机械预载的挑战，研究了经热氧化预载的硅单片枢轴，表明所提概念与MEMS尺度制造兼容。总体而言，所提方法为刚度降低柔性铰链建立了分析设计规则，并提供了适用于多种枢轴架构、材料与尺度的可预测综合框架；可实现的刚度降低与角行程之间存在由杠杆几何与预压缩支配的权衡，因而应根据应用需求优化这些参数。尽管已证明该方法的优势，但仍需注意诸多变量会影响实际刚度降低性能。未来工作应研究对空间制造偏差、材料各向异性、残余应力不确定性及随时间变化的预载松弛的鲁棒性，以及循环可靠性，尤其是针对近零刚度设计。此外，解析列式为准静态并假设理想几何与边界条件，虽能描述平衡分支、跳跃极限点及相关迟滞行为，但不能预测跳跃过程中的动态响应，也未计入几何缺陷的影响。另外，所提刚度降低方法目前仅应用于单自由度（DOF）枢轴；为拓展应用可能，正在进行的工作旨在将该概念推广至多自由度机构。未来工作将研究将所提预载策略应用于1-DOF与2-DOF硅计时振荡器，其中刚度降低可用于在最小化等时性缺陷的同时降低振荡频率。
