《Computation》：A Priori Node Placement Using Chebyshev Polynomial Zeros for Non-Uniform Finite Element Meshing
本研究提出一种面向有限元（FE）离散的非均匀网格划分策略，旨在在节点预算受控的结构分析中，针对存在局部场梯度的情形提高力学精度。与准均匀网格划分不同，所提方法采用基于Chebyshev多项式零点的先验节点布置。这些零点在区间[?1, 1]端点附近的自然聚集特性被映射至物理域，从而在构造层面直接生成非均匀分布，无需自适应细化或迭代重网格化。因此，主要贡献并不在于Chebyshev点本身，而在于将其作为一种确定性、与解无关的规则，用于布置低阶有限元网格的顶点。研究比较了三种网格划分策略：准均匀网格、渐变网格与基于Chebyshev的网格。渐变网格有意将节点集中于预设的关键区域，而基于Chebyshev的网格遵循预先确定的解析布点规则。性能评估以收敛的细网格有限元参考解为基准，采用位移与von Mises应力的相对误差、局部与峰值应力误差、网格质量指标、刚度矩阵条件数以及计算成本等指标。对于带双孔板，相对位移误差由准均匀网格的相应水平降低至基于Chebyshev网格的相应水平，而渐变网格达到相应水平。总体而言，在所研究的构型中，基于Chebyshev的策略相对于准均匀网格划分提高了位移精度，尽管几何渐变网格通常获得更低的误差，且应力精度的改善并不具有系统性。
在结构力学中，计算域的离散化是获得可靠数值预测的关键步骤。有限元法（FEM）中的网格不仅用于表示几何形状，还定义了近似空间，并直接影响位移、应力和应变能等计算量的精度。在力学关键区域网格过粗可能导致显著的离散化误差，而不必要的全局细化会增加计算成本，却未必使所关注的量获得成比例的改善。力学场通常呈现非均匀的空间变化，特别是在几何不连续处和孔洞附近，这些位置可能形成强烈的应力梯度与应力集中。为此，非均匀、渐变与自适应离散化被广泛用于在最需要的位置提高空间分辨率。自适应方法虽高效，但通常依赖演化数值解所提供的信息，例如通过后验误差估计与逐次细化步骤；相比之下，当需要提高空间分辨率的区域可预先确定时，几何渐变网格可先验指定。这一区别促使研究人员探索在求解力学问题之前即定义空间非均匀性的替代先验策略，此类策略在需要确定性离散且计算预算受控、潜在关键几何特征可提前识别时尤为有吸引力。
Chebyshev节点是数值近似中非均匀点分布的经典示例，其在规范区间[?1, 1]两端附近的聚集特性及其对多项式插值的有利性质已被充分确立。在有限元分析中，Chebyshev型分布与基函数也曾用于谱格式与高阶格式。例如Wang等人开发了采用非均匀节点分布的高阶Chebyshev谱单元用于板振动分析；Ly等人提出了采用由Chebyshev多项式导出的高阶形函数的Chebyshev有限元格式；Vu-Do等人开发了基于定义于Chebyshev节点上的Chebyshev多项式基的三维高阶格式。相关近期研究还考察了用于结构分析的高阶谱单元与粗网格格式。
因此，本研究并不声称Chebyshev节点本身或渐变网格的一般概念具有新颖性。所提出的贡献在于将映射后的Chebyshev零点表述并评估为一种确定性、与解无关的先验规则，用于低阶有限元网格中的节点布置。与谱格式或高阶格式不同，此处考虑的Chebyshev零点并非用作单个高阶单元内部的插值点，而是被映射至物理域，以在计算有限元解之前规定常规线性三角形单元的顶点位置。因此，不需要后验误差估计器、依赖解的度量、迭代细化循环或逐次重网格化程序。
研究进一步与传统几何渐变网格作出区分。在此类方法中，单元尺寸或节点密度的空间变化通过渐变规则与选定区域有意规定。在本研究的比较中，渐变网格有意指向预设的关键区域，因而作为问题信息驱动的基准；相比之下，基于Chebyshev的策略遵循预先定义的解析布点规则，不依据计算所得力学响应进行局部调整。因此，本研究旨在以准均匀网格与几何渐变网格作为比较参照，评估预设的基于Chebyshev节点布置策略在受控节点预算下的精度与局限。
为回答这一问题，研究考虑三种网格划分策略：准均匀网格、渐变网格与所提出的基于Chebyshev的网格。比较在可比的总节点预算与共同边界离散化条件下进行。该设计使得能够区分空间节点布置的影响与单纯增加自由度数量所带来的改善，也使得能够在有意定向的渐变策略与基于Chebyshev零点的预设解析分布之间进行直接比较。
研究考察两种互补的结构构型。第一种为含两个圆孔的矩形板，沿孔边界施加压力载荷；对于该笛卡尔构型，基于Chebyshev的网格将非均匀笛卡尔背景与孔周围的局部径向分布相结合。第二种为带中心孔的环形板，承受垂向 diametral 压缩；对于该环形构型，内部径向坐标直接由映射后的Chebyshev零点获得。对全部三种网格划分策略，物理边界均以一致方式离散，所得点集采用约束Delaunay三角剖分连接。
数值评估基于相对于收敛细网格有限元参考解的位移与von Mises应力相对误差，并结合局部应力误差、峰值应力误差、网格质量指标、刚度矩阵条件数与计算成本。由于采用线性三角形单元，应变与应力在单元层面为常数，von Mises应力据此评估。研究还在所考察的离散水平上估计有限范围的log-log斜率，并将其解释为数值趋势而非严格的渐近收敛阶。此外，研究采用厚壁圆环的闭式Lamé解作为独立解析基准，并引入几何敏感性分析以考察环形半径比对三种网格划分策略相对精度的影响。
全文其余部分组织如下：第2节给出有限元格式与三种节点布置策略，即准均匀、渐变与基于Chebyshev的网格；第3节给出笛卡尔与环形构型的数值比较，包括全局与局部误差度量、网格质量指标、条件数与计算成本；随后讨论解析基准与敏感性分析，最后给出主要结论与所提方法的局限。
在有限元格式与准均匀参考网格方面，有限元法基于位移场近似，其中节点总数、与节点相关的形函数及相应节点位移向量构成近似表达。组装后，离散平衡问题取经典形式，其中全局刚度矩阵、节点未知量向量与全局载荷向量构成控制方程。本研究中全部数值模拟在平面应力条件下的二维线弹性框架内进行，域采用三节点线性三角形单元离散，每个节点具有两个位移自由度，且材料在分析中视为均质各向同性。
对于笛卡尔构型，准均匀参考网格由初始按规则笛卡尔网格排列的内部节点生成，x与y方向采用相同间距h。为获得与规定网格水平一致的节点分辨率，间距h通过二分过程自动调整。生成内部网格后，位于圆孔内部的节点被移除；外边界与孔轮廓随后以规定的边界间距分别离散，且对所有网格划分策略保持一致。规定的边界间距为外矩形边界20 mm、圆孔边界12 mm。最后，边界与内部节点集合并，所得点云采用约束Delaunay程序三角剖分。尽管初始节点排列遵循规则间距，三角剖分后单元尺寸与形状可能出现轻微变化，尤其在曲线边界附近，因此所得网格称为准均匀网格。
对于环形构型，准均匀参考网格由在内半径与外半径之间规则分布的一组径向层构造。为在域内保持可比的物理分辨率，首先由环形面积与规定的总节点预算估计特征间距。此处总节点数记为N。由于径向层周长随半径增大，沿每层布置的节点数相应调整，以在整个环形域内保持近似恒定的切向间距。最后，内外圆边界对所有网格划分策略以相同方式离散，从而确保比较基础一致。
全部数值模拟在MATLAB R2026b中完成。分布边界面力沿受载边转换为等效节点力。对于环形构型，所施加面力遵循规定的分布剖面。所得线性系统采用直接Cholesky分解求解，必要时使用MATLAB反斜杠求解器。
在基于Chebyshev零点的网格划分方面，本研究将Chebyshev多项式的零点用作节点布置的确定性规则。其目的并非引入新的有限元近似，而是定义独立于计算所得力学响应的先验非均匀空间节点分布。第一类Chebyshev多项式在参考区间[?1, 1]上的N个零点由相应表达式给出，其中为x方向点数，为参考区间[?1, 1]中的第个Chebyshev点。为将这些点转移至物理区间[a, b]，采用标准仿射变换，其中与分别为物理区间的下界与上界。Trefethen明确讨论了物理区间与[?1, 1]之间的缩放。该分布的实现随后适配于本研究考虑的每种构型几何。
对于带孔笛卡尔构型，由于带孔板将全局矩形域与圆形内部边界相结合，研究采用混合笛卡尔–径向节点布置策略。在圆孔周围引入基于Chebyshev的径向层，因为极坐标描述在几何上适用；域的其余部分则由笛卡尔背景表示。规定内部节点预算的固定比例分配给孔周围径向区域，其余节点分配给笛卡尔背景。该比例值在所有离散水平上保持不变，且不依据计算所得位移、应力或误差场进行调整。通过相应表达式向笛卡尔背景引入轻微Chebyshev偏置，其中与为归一化均匀笛卡尔坐标，与为相应归一化Chebyshev坐标，控制Chebyshev分布的贡献。本研究中该参数对所有网格水平保持不变。
对每个半径为R的圆孔，径向分布在自R延伸至R + W的过渡区域内定义，其中W由孔几何、特征网格间距以及相邻孔与外边界可用间隙先验确定。这可防止相邻径向区域重叠。初始过渡宽度由相应表达式定义，随后限制为至相邻孔间隙的42%与至外边界间隙的80%，最小宽度为给定值。同心径向层数由相应表达式定义，其中为沿孔边界规定的节点间距，为笛卡尔背景的特征间距。这些层的径向位置遵循上述映射Chebyshev分布。对每个半径为给定值的径向层，角向节点沿圆周均匀分布。角向节点数依据周长与规定局部弧长间距选取，从而使角向分辨率随半径逐渐变化。随后移除位于径向过渡区域内的笛卡尔背景节点，并在约束Delaunay三角剖分之前合并笛卡尔与径向节点集。间距小于给定阈值的节点在三角剖分前被移除。
为清晰与可重复，所提出的混合笛卡尔–径向节点布置程序的主要步骤在算法1中总结：定义板几何、孔位置与半径、边界离散化及规定内部节点预算；将内部节点预算的规定比例分配给孔周围径向区域，其余节点分配给笛卡尔背景；使用规定Chebyshev偏置坐标生成笛卡尔背景；生成径向位置；由映射Chebyshev零点生成径向位置并沿每径向层均匀分布角向节点；移除位于径向过渡区域内的笛卡尔背景节点；将笛卡尔与径向节点集与规定边界节点合并，并消除重复或过近点；采用约束Delaunay三角剖分构造最终三角形网格。
对于环形构型，其几何与带孔笛卡尔情形不同，因为整个域可直接用径向坐标描述，因此不需要笛卡尔与局部径向分布的组合。对环形构型，Chebyshev零点由参考区间映射至物理区间，其中与分别表示环形域的内半径与外半径。此处表示第个Chebyshev点，为内部径向层数。基于先前定义的特征间距，该数目由相应表达式确定。因此，径向层数随规定离散水平一致演化。角向坐标随后采用受控均匀离散化定义，其中为分配给第个径向层的角向节点数，其按相应周长成比例确定，以保持近似恒定的切向间距。所得整数值随后调整以满足规定总节点预算，同时保持每个内部层上的最小节点数。相应节点坐标通过标准极坐标到笛卡尔坐标映射获得。映射完整区间自然在两侧圆边界附近产生更高的径向密度。这种对称聚集源于规定Chebyshev映射，而非计算所得力学响应。
对所有比较的网格划分策略，所报告的节点预算对应总节点数（含边界节点）。在每个节点水平上保留相同边界离散化与角向节点计数，仅改变径向布置规律。最终网格采用约束Delaunay三角剖分获得。
在渐变网格方面，渐变网格作为一种非均匀参考策略被引入，其中较小单元被有意置于预设关键区域。对于笛卡尔构型，细化集中于圆孔周围；对于环形构型，最小单元位于内边界附近。两种情形中单元尺寸均随远离这些区域而逐渐增大。该变化由相邻两层间径向间距的几何级数控制。在笛卡尔构型中，渐变施加于每个孔周围的过渡区域内，最多使用六个径向层；在环形构型中，渐变自内边界延伸至外边界，径向层数由节点预算确定，并在三种网格划分策略间保持一致。相应地，笛卡尔构型的渐变因子设为给定值，环形构型设为给定值。这些值先验规定，并在所考虑的全部离散水平上保持不变。几何渐变网格有意在孔周围细化，因为预期该处存在显著应力集中。参考von Mises应力分布随后证实了这些区域的力学相关性。
在力学误差与网格质量评估方面，不同网格划分策略的力学精度相对于细化有限元参考解进行评估。对每种构型，首先进行网格收敛性研究，采用逐次更细的离散化，同时监测最大位移与最大von Mises应力。对于笛卡尔构型，考虑包含7687、15,228、30,294与45,135个节点的四个网格，最细网格含90,052个三角形单元；在两个最细水平之间，最大位移与最大von Mises应力的变化分别约为0.17%与0.68%。对于环形构型，相应网格包含7440、14,960、30,008与45,000个节点，最细水平含89,400个单元；相应变化分别约为0.01%与0.08%。为确保误差评估具有一致参考，对笛卡尔构型在保持规定边界离散化的同时生成逐次细化的准均匀网格；对环形构型，参考网格采用准均匀径向间距构造，角向节点分布按每径向层周长调整。这些微小变化表明力学响应已充分稳定，因此最细离散化被保留为参考解。
由于所比较网格不共享相同节点位置，位移误差不能通过直接节点对节点比较评估，而是在共同物理位置采用数值积分比较。对每个三角形单元，考虑位于边中点的三个求积点。被测网格的位移采用形函数评估，参考位移则通过细参考三角剖分内的重心插值获得。相对位移误差据此定义，其中为被测网格单元数、为单元索引、为求积点索引、为其物理位置、为单元面积、为积分权重，表示欧几里得范数。
对于线性三节点三角形，应力场在每个单元内为常数，因此不施加节点应力恢复或平滑。每个被测单元的von Mises应力与其形心处的参考值比较。相对应力误差据此评估，其中表示包含形心的参考单元的von Mises应力。误差随网格分辨率的变化由相应表达式表征，其中表示相对位移误差或相对应力误差，为总网格节点数，为正的常数，为估计数值斜率。对每种网格划分策略，斜率由全部所考虑离散水平上对相应变量作最小二乘线性回归获得，因此被解释为有限范围数值斜率而非严格渐近收敛阶。
最后，三角形单元的几何质量通过最小内角、归一化半径比与长宽比表征，这些指标常用于评估单元畸变与网格质量。归一化半径比定义为内切圆半径与外接圆半径之比的相关表达式，等边三角形取值为1，单元畸变增大时减小。归一化长宽比定义为三角形最长边相关的表达式，该归一化下等边三角形对应值为1，较大值表示单元更细长。研究不单纯依赖绝对极值，而是报告最小角与归一化半径比的第5百分位数以及长宽比的第95百分位数，并考虑最大内角的第95百分位数，较低值表示高度钝角单元出现较少。这些基于百分位数的度量提供网格质量分布中较不利部分的信息，同时降低孤立极端单元的影响。相应地，较大的最小角与半径比百分位数以及较小的长宽比百分位数对应更有利的整体网格几何。
为补充全局误差度量，von Mises应力误差还在力学关键区域内评估。对于笛卡尔构型，局部区域由距最近孔边界距离d与相应孔半径R的关系定义；对于环形构型，局部区域自给定内半径延伸至给定外半径。这些区域对所有网格划分策略与离散水平保持不变。最大von Mises应力的相对误差由被测网格与细化参考解的最大von Mises应力定义。最后，力学与几何评估通过数值条件数与计算成本考察加以补充。形状不良单元可能不利影响有限元系统的条件数，进而影响其数值稳健性。条件数由与自由自由度相关的缩减刚度矩阵评估，使用MATLAB R2026b及其condest函数，结果以估计值报告。每种策略的网格生成与线性求解时间也被记录。
在结果部分，首先比较笛卡尔构型下准均匀、渐变与基于Chebyshev的网格。考虑矩形板域，板被两个圆孔穿孔，孔半径分别为60 mm与90 mm。比较在四个离散水平上进行，目标内部节点预算为900、1300、1800与2000；加入共同边界节点后，这些水平对应实现的总节点预算分别为1110、1504、2035与2200。规定内部节点预算与总节点预算之间的区别解释了图中横轴所报告数值。材料属性为E = 210 GPa、ν = 0.30，板厚t = 1 mm。对两个孔边界施加50 MPa均匀压力，外边界保持无面力。为消除刚体运动，左下点在两个方向固定，右下点仅在y方向固定。该载荷直接激活两个穿孔，并在其周围产生局部应力集中。
节点分布比较表明，准均匀网格在整个板上呈现相对均匀的节点分布；相比之下，渐变与基于Chebyshev的策略产生非均匀分布，两个穿孔附近节点密度更高。渐变网格显示孔周围有意渐进细化，而基于Chebyshev的网格显示由混合笛卡尔–径向布置规则产生的节点重分布。因此，尽管保持相同节点预算，三种策略在域内可用节点的空间分布方式上明显不同。参考von Mises应力场表明，应力主要集中在两个穿孔周围，较小孔附近最大von Mises应力约为169.35 MPa；该值得到参考网格收敛性研究支持，两个最细水平间变化约为0.68%。应力强度随后随远离孔边界逐渐降低。
为量化节点分布对力学精度的影响，考察所考虑离散水平上的相对位移与von Mises应力误差。对相对位移误差，三种策略均随节点预算增加而逐渐降低；然而，渐变与基于Chebyshev的网格在所考虑离散水平上保持低于准均匀网格的误差水平。该趋势表明，对位移场而言，节点的非均匀重分布更有效利用可用离散资源。相对von Mises应力误差的行为则较不规律：在中间离散水平，渐变与基于Chebyshev的网格产生略低于准均匀网格的误差；然而该优势随细化逐渐减小，并在最细水平消失，此时准均匀网格最终提供最低的全局应力误差。位移误差的估计数值斜率分别为准均匀0.78、渐变1.17与基于Chebyshev 1.15；全局von Mises应力误差的相应值分别为0.52、0.41与0.40。
位移与应力结果之间的差异至少部分可由应力场对局部网格几何更敏感来解释。对线性三角形单元，应力在单元层面评估，且比位移更易受单元形状与方向影响。因此，当伴随较不规则单元形状时，增加穿孔周围节点集中并不必然系统改善应力精度。该解释通过随后给出的网格质量指标进一步考察。为进一步评估穿孔附近应力精度，局部von Mises应力误差在最细离散水平对准均匀网格最低；相比之下，峰值应力误差对准均匀网格呈非单调变化，而对渐变与基于Chebyshev的网格几乎恒定在约6–7%。在给定节点预算下，差异达到约30倍。该行为可能与单元级常数P1应力对局部网格对齐及应力集中表示的敏感性有关。因此，峰值应力误差与全局及局部误差度量一并考虑，而非作为数值精度的孤立指标。
为补充力学误差分析，研究采用四个互补指标评估三种网格策略的几何特征：最小角第5百分位数、最大角第95百分位数、归一化半径比第5百分位数与长宽比第95百分位数。总体而言，准均匀网格提供最有利的几何特征，渐变网格通常呈现中间值。在最细水平，基于Chebyshev的网格最小角第5百分位数约为给定值，长宽比第95百分位数约为2.00，而准均匀网格相应值分别为给定值与1.41；其最大角也更高，达到约给定值。这些结果表明，基于Chebyshev的离散化在最细水平伴随较不规则的单元形状，这可能部分解释应力误差结果中观察到的更大敏感性。
三种网格策略均捕捉到关键孔周围参考von Mises应力的整体角向模式；然而局部差异仍然存在，尤其在应力峰值附近，响应对单元细节排列更敏感。渐变与基于Chebyshev的网格通常呈现可比的局部趋势，而偏差沿孔边界因策略而异。因此，该局部评估补充了全局误差分析，并表明应力预测比位移预测更依赖网格的空间组织。角向变化比较进一步显示，三种策略均捕捉主要参考趋势，但应力峰值附近仍存在局部偏差。
最后，从计算成本与刚度矩阵条件数考察三种网格划分策略的数值影响。在所考察节点预算范围内，三种策略的计算时间保持同一数量级。在最细水平，网格生成时间分别约为准均匀0.021 s、渐变0.114 s与基于Chebyshev 0.079 s，相应求解时间分别约为0.048 s、0.062 s与0.073 s。关于数值条件数，最细水平估计条件数分别约为准均匀给定值、渐变给定值与基于Chebyshev给定值。因此，尽管基于Chebyshev的网格呈现较不利的几何质量指标，但在本笛卡尔构型中并未导致更差的刚度矩阵条件数。总体而言，额外节点布置操作对 considered 问题规模仅引入有限计算开销。
在环形构型下，作为矩形板研究的补充，考虑代表几何不连续处应力集中的径向构型：带中心孔的圆板，建模为外半径与内半径给定的环形域。目标仍按与笛卡尔情形相同的方法比较三种网格划分策略：准均匀、渐变与基于Chebyshev的网格。为此考虑五个离散水平，总节点预算分别为600、1100、1600、2100与2600个节点。在每个水平，三种策略使用完全相同的总节点数、相同内外边界离散化、相同内部径向环数以及沿相应环的相同角向节点分布。材料属性为E = 210 GPa、ν = 0.30，板厚t = 10 mm。环形域沿y轴承受垂向 diametral 压缩，在外边界两个对称扇区上施加最大幅值为50 MPa的分布面力，扇区中心位于给定角度，半宽为给定值，其幅值遵循规定剖面并在受载扇区端部平滑消失，内边界保持无面力。所施加垂向面力由相应表达式给出，其中与分别表示自给定角度起的包裹角距离。相应等效节点力通过采用P1形函数在受载边界边上对面力积分计算。
按与笛卡尔构型相同的分析与呈现框架，环形情形通过相同序列的比较与性能准则考察。首先总结三种网格策略的主要离散特征，包括总节点预算、内部与边界节点数、单元数、内部环数与角向节点分配。随后给出相应网格分布，接着给出参考von Mises应力场以及全局、局部与峰值力学误差分析。比较随后扩展至网格质量指标，再考虑计算成本与刚度矩阵条件数。
三种策略在相同节点预算与边界离散化下产生不同径向节点分布：准均匀网格保持近似均匀，渐变网格将节点集中于内边界附近，基于Chebyshev的网格在两侧径向边界附近增加节点密度。参考von Mises应力场表明，应力主要集中在中心孔周围，最大值出现在孔内侧边界附近，确认该区域为力学关键区域。位移误差随总节点预算增加而对三种策略一致降低；在这方面，渐变与基于Chebyshev的网格在所考察范围内保持高于准均匀网格的精度，渐变策略在最细离散水平提供最低位移误差。关于全局von Mises应力误差，观察到相同总体下降趋势；然而两种非均匀策略的相对性能随节点水平变化。
进一步考察局部与峰值应力误差可见，两种非均匀网格通常较准均匀网格降低局部应力误差，尽管最低值在渐变与基于Chebyshev策略之间随节点预算交替。类似地，对峰值应力误差，基于Chebyshev的网格在所考察范围大部分区间提供最低值，而渐变网格在最细水平略更精确。总体而言，这些结果表明非均匀节点布置的收益对位移精度更一致，而应力精度仍对局部网格组织与离散水平更敏感。内边界周围von Mises应力的角向剖面补充了先前误差分析，显示三种网格如何再现局部变化；总体上所有策略均捕捉主要参考趋势，但应力峰值附近仍存在局部偏差，确认局部应力响应对网格空间组织更敏感。
网格质量指标揭示三种策略的几何质量差异：准均匀网格保持最有利指标，渐变网格呈现中间特征，而基于Chebyshev的网格呈现更大单元畸变。在最细水平，其最小角第5百分位数降至约5.1°，而长宽比第95百分位数达到10.7；类似地，最大角第95百分位数约在131°至155°范围内。这些特征源于非均匀径向间距与规定角向节点分配的共同作用，而非仅由Chebyshev零点造成。其潜在数值影响随后通过刚度矩阵条件数与计算成本考察。三种策略在网格生成与求解时间上保持同一数量级，但在缩减刚度矩阵条件数上出现更明显区别：随总节点预算增加，基于Chebyshev的网格导致显著更大的条件数估计，在最细离散水平达到约给定值，而准均匀与渐变网格保持在约给定值附近。该趋势与先前观察到的较不利几何指标一致，表明基于Chebyshev节点的确定性重分布伴随更高的条件数代价。
在采用Lamé解的解析验证中，保留环形构型所采用的几何、材料与离散参数（包括总节点预算），仅修改载荷条件，施加均匀内压，使有限元结果可直接与闭式Lamé解比较。因此，准均匀、渐变与基于Chebyshev的网格在相同节点预算与边界离散化下评估。对该轴对称问题，解析Lamé解由相应表达式给出，平面应力条件下的径向位移由相应表达式给出。所得解析场为评估位移与应力误差提供参考量。特别地，相对应力误差通过组合径向与环向应力分量计算，其中表示单元面积，数值与解析应力分量在其形心处评估。位移与应力误差表明，三种策略的位移与应力误差通常随总节点预算增加而降低；几何渐变网格一致产生最低误差，而基于Chebyshev的网格通常呈现介于渐变与准均匀方法之间的中间精度。这些结果表明，在可比节点预算下非均匀节点布置可改善力学精度，但其有效性取决于所采用的分布策略。
为进一步考察几何对这些数值趋势的影响，通过在内半径与外半径之比变化时保持固定总节点预算进行敏感性分析。结果表明，网格策略的相对性能随环形几何变化。特别地，在给定半径比下，基于Chebyshev的网格产生略高于准均匀网格的位移与组合径向–环向应力误差（分别为0.00880对0.00843与0.09634对0.09252）。该发现凸显所提节点布置策略的几何依赖性，并表明其精度收益在所考虑的全部构型中并不系统。
在讨论部分，笛卡尔与环形构型的结果表明，在三种策略总节点预算相同的情况下，节点空间分布仍影响有限元精度。在笛卡尔情形，基于Chebyshev的策略在所有离散水平上较准均匀网格降低位移误差；在最细水平，相对位移误差由准均匀网格的相应水平降至基于Chebyshev网格的相应水平，改善约33.7%，而渐变网格达到相应水平。然而von Mises应力误差的演化较不规律，非均匀网格在更细离散水平偶尔产生更高误差。该差异凸显应力近似对局部网格特征的敏感性。环形构型对非均匀节点布置呈现更有利响应：在最细水平，基于Chebyshev的网格较准均匀网格分别降低位移与全局von Mises应力误差约23.5%与4.1%，几何渐变所获改善分别达33.3%与12.4%。几何渐变网格在若干情形下更好的性能可能部分归因于其围绕孔的有意细化，因为该处预期存在应力集中，且随后由参考von Mises应力场证实；相比之下，基于Chebyshev的策略遵循确定性几何驱动分布，不使用力学应力信息确定节点位置。因此，结果表明几何驱动节点重分布可改善精度，但定向渐变对某些误差度量仍更有效。
除力学精度外，几何指标揭示节点集中与单元规则性之间的权衡。准均匀网格通常呈现更有利的最小角、长宽比与半径比，而基于Chebyshev的网格可能产生畸变单元，尤其在环形情形。补充的最大角与刚度矩阵条件数分析强化了这一观察。尽管几何质量与力学精度并不直接等价，基于Chebyshev环形网格较不利的单元几何可能促使其应力误差高于渐变网格。这些发现表明，单元几何与空间分布应与计算成本一并评估，而非通过孤立质量度量。近期研究也强调有限元解对网格畸变的敏感性以及控制局部数值响应的重要性。这些观察进一步支持在评估力学精度时同时考虑几何网格质量与数值条件数的必要性。
为补充这些观察，研究在最细水平进行敏感性分析。结果表明，位移与von Mises应力误差随规定参数的变化有限，而过渡宽度W影响更大，部分与径向层数变化有关。这凸显规定构造参数在所提策略数值性能中的作用。从方法学角度看，贡献不在于Chebyshev零点的既定性质，而在于将其应用于确定性先验有限元节点布置。所提出的混合笛卡尔–径向与径向映射在求解力学问题之前建立非均匀分布，不需要后验误差估计器或逐次重网格化。细网格有限元参考解的收敛性评估与采用经典Lamé解的独立解析验证为数值实现提供额外支持。最后，研究结果仍限于二维线弹性构型。尽管与几何渐变的比较为所提方法提供更强评估，但其相对于依赖解的自适应方法的性能尚未探索。因此，进一步研究应考虑更复杂几何、改进映射程序、网格质量约束以及与自适应细化技术的直接比较。
结论部分指出，本研究通过相同总节点预算下笛卡尔与环形构型中与准均匀及几何渐变网格的比较，考察了基于Chebyshev多项式零点的确定性先验网格划分策略。在最细离散水平，基于Chebyshev的网格较准均匀网格分别将笛卡尔与环形构型的相对位移误差降低约33.7%与23.5%。结果表明，基于Chebyshev的节点布置相对准均匀网格改善位移精度，而其对von Mises应力精度的影响取决于构型。尽管几何渐变在若干情形达到可比或更好性能，其围绕力学关键区域的定向细化与本文提出的几何驱动分布不同。此外，几何质量、条件数与计算成本分析揭示，力学精度的改善必须与单元规则性及数值效率一并考虑。总体而言，所提方法为基于几何信息的非均匀有限元网格划分提供可重复的替代方案，无需力学解定义节点位置。虽然其相对于传统渐变的优越性并不系统，结果确立了其潜力并识别了需通过改进几何映射与网格质量控制加以解决的局限。未来工作将把该评估扩展至更复杂力学问题与自适应网格划分策略。该方法特别适用于可从几何或载荷条件预期可能需要更高节点密度的区域的问题；然而，Chebyshev零点不能独立识别力学关键区域，其聚集位置通过几何映射规定。
作者为开展研究采用的主要关键技术方法包括：基于第一类Chebyshev多项式零点的先验节点布置与仿射映射；针对带孔笛卡尔板的混合笛卡尔–径向布点程序与针对环形域的径向Chebyshev映射；以几何级数控制径向间距的渐变网格构造；约束Delaunay三角剖分网格生成；以收敛细网格有限元解和厚壁圆环Lamé闭式解为基准的误差评估；以及网格质量指标、刚度矩阵条件数（condest）与计算成本评估。全部数值模拟在MATLAB R2026b中完成，未涉及实验样本或队列来源。
研究结果可按原文小标题概括如下。在“网格比较：准均匀、渐变与基于Chebyshev的网格（笛卡尔构型）”中，通过相同节点预算与边界离散化下三种网格的节点分布、参考应力场、全局与局部误差、峰值应力误差、角向应力剖面、网格质量、计算成本与条件数比较，得出基于Chebyshev的策略在全部离散水平降低位移误差，但应力误差改善不系统，且最细水平单元形状较不规则而条件数未变差。在“网格比较：准均匀、渐变与基于Chebyshev的网格（环形构型）”中，通过五个节点水平的同类比较，得出非均匀布点对位移精度收益较一致，应力精度更敏感，基于Chebyshev网格在多数范围峰值应力误差最低但最细水平条件数显著增大。在“采用Lamé解的解析验证”中，通过将载荷改为均匀内压并与闭式Lamé解比较，得出几何渐变网格误差最低，基于Chebyshev网格精度通常介于渐变与准均匀之间，且半径比敏感性分析显示其精度收益依赖几何、并非系统。
讨论部分总结认为，节点空间分布在相同节点预算下影响有限元精度；非均匀布点改善位移精度较一致，而应力精度依赖局部网格组织与单元规则性；几何渐变因利用关键区域信息而在若干情形更有效；基于Chebyshev的布点为几何驱动、无需力学解，具有可重复性，但存在单元畸变与条件数代价，且局限于二维线弹性问题，尚需与自适应方法比较并改进映射与质量控制。研究结论已按要求翻译于前述结论部分。
