分岔路径扭矩齿轮传动系统的非线性动力学分析

《Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control》：Nonlinear dynamic analysis of a split path torque gear transmission system

　　

针对一种齿轮同时与两个齿轮啮合的分岔路径轮系，本研究提出了一种非线性时变动力学模型。该动力学模型还包含了间隙以及两条路径之间的啮合相位差。时变啮合刚度通过三维有限元模型计算获得。无量纲运动方程采用直接数值积分方法求解。应用Floquet理论确定模型的稳定性与分岔类型。研究了激励频率与啮合相位对非线性动力学行为的影响。结果表明，随着激励频率的增大，在高频范围内会出现亚谐共振。此外，两条分岔路径之间啮合相位差的变化会显著影响两个固有共振峰的幅值。这些发现为实际工程应用中相关设计参数的优化提供了有价值的理论指导。

研究背景方面，分岔路径齿轮传动系统相较于传统行星传动设计具有减少齿轮与轴承数量、降低能量损失、减轻重量以及因驱动路径分离而提高可靠性等优势，尤其适用于航空航天与混合动力电动汽车领域。然而，该设计在实际应用中仍较为少见，主要受限于两条平行路径间的均载性能以及齿轮副的动力学耦合效应。现有研究多集中于行星轮系的均载行为，而分岔路径扭矩齿轮系统因其传动构型与路径耦合机制的差异，均载行为有所不同。目前分岔路径设计主要应用于直升机传动系统，研究焦点包括构型、均载与动力学性能等。尽管齿轮传动非线性动力学分析已取得相当进展，但啮合相位差对不同频率范围内共振幅值及非线性响应转迁的影响仍不明确。因此，研究人员有必要系统研究考虑路径耦合、啮合相位差与间隙的分岔路径齿轮系统非线性动力学特性。本研究的模型由三个齿轮组成，中间齿轮-1为输入齿轮，同时与两个输出齿轮-2和齿轮-3啮合，模型中考虑时变啮合刚度、线性阻尼、齿廓误差位移激励以及间隙。研究人员采用集中参数扭转模型，假设轴与轴承为刚性，仅考虑扭转振动，忽略摩擦并仅考虑线性常值啮合阻尼。通过定义新的坐标将运动方程无量纲化，并采用三维有限元模型计算时变啮合刚度，将其近似为八阶Fourier级数，其ERMS与Emax分别为1.21%与3%，验证了近似精度。为验证模型与数值程序的可靠性，研究人员与Yavuz等报道的三直齿轮分岔扭矩模型进行了基准对比，特征频率与总体响应趋势一致。研究所用关键技术方法包括：建立含间隙与时变啮合刚度的集中参数扭转动力学模型并进行无量纲化处理；采用三维有限元模型计算时变啮合刚度并用八阶Fourier级数近似；采用直接数值积分求解无量纲运动方程；应用Floquet理论判定稳定性与分岔类型。样本队列来源方面，本文未涉及样本队列。

研究结果方面，关于激励频率的影响，研究人员以无量纲激励频率为控制参数绘制分岔图，发现系统表现出周期倍化分岔与突变等强非线性特征，但未发现混沌运动。前向与后向频率响应曲线在ω≈ωn1=0.377与ω≈ωn2=1.363的主共振附近表现出软化型非线性行为，在ω=1.1406处出现向上跳跃，在ω=0.9661处出现向下跳跃，两个输出齿轮与输入齿轮同时啮合增强了两条路径的耦合效应。通过Floquet乘子计算发现，在第二阶固有频率附近实乘子穿越单位圆于+1处，表明发生鞍结分岔，系统可共存两个稳定解与一个不稳定解；在ω=0.3586处共存两个P(1,0,1)周期解，在ω=1.0处共存大振幅P(1,0,1)与小振幅P(1,0,0)解。在ω=0.1228、0.1834、0.2451与0.6172附近存在超谐共振峰，其中ω=0.2451处Floquet乘子穿越单位圆于-1处发生周期倍化分岔，ω=0.2534处周期-2解恢复为周期-1解，并存在共存周期解。在第二阶固有频率附近存在亚谐共振峰，该区域内稳定周期-1运动经Hopf分岔失稳并转变为概周期运动，频谱中出现与激励频率不可通约的边带频率成分。关于啮合相位的影响，研究人员取φ12=0，比较φ13=0、0.1、0.2与0.4时的前向频率响应曲线，发现第二阶固有频率附近主共振峰幅值随啮合相位增大而迅速减小，共存周期运动区域缩小且跳跃现象消失，原亚谐共振峰逐渐消失但在φ13=0.4时于ω≈1.7附近出现新的亚谐共振峰；而第一阶固有频率附近共振峰随啮合相位增大而增大，共存解区域与跳跃现象扩大，表明啮合相位的影响依赖于所考虑的频率区域。在φ13=0.4时于(0.35,0.45)范围内绘制前向与后向分岔图及Floquet乘子，发现多种共存解，如ω=0.3530处共存P(1,0,1)周期运动与概周期运动，ω=0.3700处共存P(1,0,1)与P(4,0,4)周期运动，并检测到多个Hopf分岔点；未检测到混沌运动与双面冲击运动。在亚谐共振区域，周期-1运动经Hopf分岔失稳转变为概周期运动，ω=1.5202处共存P(9,0,1)与P(1,0,0)周期运动，ω=1.6495处共存P(1,0,0)与概周期运动；超谐共振区域的概周期运动由一阶与三阶分量主导，而亚谐共振区域的概周期运动由2/9与7/9分量主导。上述非线性响应对齿面接触与振动控制具有实际意义，共存响应中存在连续接触与间歇分离后驱动侧再啮合，可能产生类冲击载荷并增大瞬时啮合力，亚谐分量与概周期调制可能影响结构振动与NVH性能。

讨论部分总结了以下要点：分岔路径齿轮传动系统表现出软化型非线性行为、跳跃现象、周期倍化分岔与Hopf分岔；两条分岔路径的耦合与非线性效应显著，导致系统产生超谐与亚谐共振，在所研究参数范围内两个齿轮副表现出相似的总体动力学响应趋势；超谐共振存在两条路径，其一为周期倍化分岔，周期-1与周期-2运动共存且冲击次数不同，其二为鞍结分岔，两个共存的周期-1运动具有相同的冲击特性；随着激励频率增大系统出现亚谐共振，该区域内原稳定周期-1响应经Hopf分岔失稳并转变为概周期运动；两条分岔路径间的啮合相位差可降低第二阶固有共振峰幅值同时增大第一阶固有共振峰幅值。研究结论部分译为：本研究针对一个齿轮同时与两个齿轮啮合的分岔路径系统，提出了一种非线性时变动力学模型，该模型还包含了间隙与两条路径间的啮合相位差，采用三维有限元模型计算时变啮合刚度，无量纲运动方程采用直接数值积分求解，随后应用Floquet理论分析系统稳定性并识别分岔类型，研究了激励频率与啮合相位对非线性动力学行为的影响，可得出以下结论：(1)分岔路径齿轮传动系统表现出软化型非线性行为、跳跃现象、周期倍化分岔与Hopf分岔；(2)两条分岔路径间的耦合与非线性效应显著，导致系统产生超谐与亚谐共振，在本研究所考察的参数范围内两个齿轮副表现出相似的总体动力学响应趋势；(3)超谐共振存在两条路径，第一条为周期倍化分岔，其中周期-1与周期-2运动共存且冲击次数不同，第二条为鞍结分岔，其中两个共存的周期-1运动表现出相同的冲击特性；(4)随着激励频率增大，系统表现出亚谐共振，在亚谐共振区域内，原本稳定的周期-1响应通过Hopf分岔失去稳定性并转变为概周期运动；(5)两条分岔路径间的啮合相位差可降低第二阶固有共振峰幅值，同时增大第一阶固有共振峰幅值。