基于图像的多变量曲线分辨与标量场分析用于伊比利亚半岛ERA5降水研究

《Journal of Chemometrics》：Image-Based Multivariate Curve Resolution and Scalar Field Analysis of ERA5 Precipitation Over the Iberian Peninsula

　　

网格化气候再分析数据集可被视为图像立方体，然而化学计量学分解方法在气候数据分析中仍未得到充分利用。本研究将带三线性约束的基于像素的多元曲线分辨-交替最小二乘（MCR-ALS）应用于伊比利亚半岛1940—2024年ERA5降水数据。将33 × 57 × 85（纬度 × 经度 × 年）数据立方体按像素方式展开为增广二维矩阵，三线性约束将空间轮廓分解为独立的纬度与经度分量，从而获得基本唯一的分解结果和连贯的二维重建降水图。随后，通过离散标量场谱滤波框架抑制所解析图中的网格尺度伪影。研究解析出五个降水区，共同解释总数据方差的95.6%：法国西南部—西朗格多克大西洋过渡区、中比利牛斯地形区、加利西亚大西洋沿岸、葡萄牙南部/埃斯特雷马杜拉/安达卢西亚以及中东部地中海沿岸。这些分区与此前基于地面站点数据通过主成分分析（PCA）识别的分区高度吻合，支持了基于像素的网格化分解的稳健性。所提出的框架将基于图像的化学计量学分解与标量场谱处理相结合，为从长期气候再分析数据集中提取可解释的时空模式提供了有效途径，并可直接推广至其他气候变量。

研究背景方面，降水是气候系统的主要组成部分，控制着大气、陆面和生物圈之间的水分通量，对水文、农业和水相关政策具有重要影响，但因气候模式间差异及其对区域过程的表征不同而在气候预估中仍存在高度不确定性。伊比利亚半岛降水受地中海季节性、大西洋影响、地形抬升以及北大西洋涛动（NAO）和西地中海涛动（WeMO）等大尺度遥相关相互作用塑造，形成陡峭空间梯度和复杂多尺度变率，增加了水文规划与气候影响归因的难度。近期多年代际分析表明地中海降水以高年际变率为主而非显著长期趋势，这促使研究人员发展能够从强烈年际波动中理解持续性空间格局的分析方法。ERA5作为欧洲中期天气预报中心（ECMWF）最新全球再分析产品，提供高空间（约0.25°）和时间分辨率、自20世纪中期以来的长期连续性以及大量历史观测同化，支持 decade 尺度空间格局与时间趋势的一致表征，便于网格场的像素分析；但其在极端事件表征、模式参数化依赖以及复杂地形和气候区性能差异方面存在已知局限，需要谨慎解释和验证诊断。网格化降水数据可概念化为图像式数据集，每个时间切片为二维像素矩阵，第三维为时间，类似化学计量学和遥感中的高光谱图像。尽管PARAFAC或三线性MCR-ALS等张量分解方法已应用于具有预定义空间区的生态时空数据，但将化学计量学图像分析应用于规则网格气候场尚属新方法。MCR-ALS已在光谱学、过程监测、高光谱成像、联用色谱、质谱和污染源解析中广泛使用，但其在网格化气候分析数据中的应用仍待探索。基于像素的分解从高分辨率长期降水数据集中解析有意义气候结构的潜力尚未得到系统证明。MCR-ALS框架假设降水场的主导时空变率可近似为少量物理意义分量的线性混合，该假设针对区域和气候尺度，在此尺度上降水变率主要由与大西洋锋面、地形和地中海切断低压等主要环流型相关的少数主导模态驱动；像素尺度的深对流、地形增强或切断低压等非线性过程预计不会在这些尺度上占主导，而被吸收到分解的残差（未解释）方差中。当MCR-ALS用于提取有意义的时空模式时，空间降水图的重建可能包含伪影，这些伪影可源于ERA5再分析数据库的数据聚合以及网格数据集中缺失真实观测时插值引入的空间自相关，典型表现为条纹状图案，可能与所选网格尺寸相关的高频噪声（即空间频率波长小于28 × 28 km）有关。为减少这些影响，提出基于离散标量场理论的谱图滤波，以提高所解析空间图的清晰度和物理相关性。本研究的主要目标是将基于像素的MCR-ALS应用于伊比利亚半岛1940—2024年ERA5年降水数据，并评估该方法提取可解释时空模式的能力；通过残差诊断、解释方差和空间连贯性指标评估提取的分量；在覆盖85年的高分辨率（0.25° × 0.25°）网格上演示该方法，将汇编数据集视为三维图像立方体；提出将基于图像的化学计量学双线性和三线性分解模型应用于气候再分析数据集的框架，并强调基于像素的展开方法在时空模式提取和解释中的效用；进一步利用离散标量场理论分析MCR-ALS解析的贡献，以提供对观测气候格局的概念性解释，实现傅里叶谱分解及后续滤波。据研究人员所知，这是基于像素的化学计量学分解首次系统应用于长期网格化气候再分析数据集；该框架可推广至其他气候变量（温度、风、湿度）和多变量气候指数，从而为化学计量学在气候诊断中的更广泛应用开辟新领域。

研究人员开展的研究方面，数据取自ECMWF第五代再分析数据集ERA5，该数据集通过4D-Var数据同化系统结合数值天气预报与卫星、无线电探空和地面站历史观测提供逐小时全球估计；提取伊比利亚半岛（36°N–44°N × 10°W–4°E）单层ERA5产品，采用其原生0.25° × 0.25°水平分辨率（中纬度约28 km），得到33 × 57网格共1881个像素；对每个像素，将ERA5月降水按每个日历年12个月值求和聚合为年总量，覆盖再分析全部85年期间（1940—2024），生成85幅年降水图序列作为后续双线性因子分解输入。降水数据排列为单一三路数据阵列（纬度、经度、时间/年）；由于两个空间方向的规则排列，降水数据可显示为二路图像型图，这只是一种便于解释地理和制图属性的表示；本工作报告的所有双线性和三线性MCR-ALS分解均在非负性作为默认约束下获得，应用于所有因子矩阵（空间、经度、纬度和时间），符合降水作为非负量的物理意义。单年分析中的每个数据矩阵由33行（纬度）和57列（经度）组成，Dyear（33, 57），其个体值为每个由地理纬度和经度定义的像素的总降水量（以ERA5原始存储的水当量米为单位）。考虑85年降水数据时，得到三路数据结构D（33, 57, 85）；该三维阵列可按像素方式展开为二维展开数据矩阵Daug，行数等于总像素数即纬度数乘以经度数（33 × 57），列数等于年数（85年）；在这种基于像素的策略中，每个空间网格单元被视为一个变量，时间作为所有像素的公共模式，这保留了空间结构并能够提取时间分辨的降水模式。MCR双线性因子分解模型由方程（1）描述，其中Caug,spatial（33 × 57, NC）为沿空间域（图像像素）由纬度和经度定义的解析降水轮廓矩阵，NC为模型考虑的双线性分量数，Caug,temporal（NC, 85）为这些分量的时间轮廓矩阵，Eaug（与Daug同尺寸）为双线性模型未解释方差的残差矩阵。由于降水数据的三路结构（纬度 × 经度 × 时间），可考虑双线性模型的三线性因子分解模型扩展；在主要气候 regime 由于其地理位置和地形而随时间保持稳定空间指纹的假设下，应用三线性因子分解能更好地概括随时间变化的一致降水区；对于相同数量分量，双线性/三线性因子分解模型的充分性可从各自解释方差在描述跨时间一致空间格局时得出。三线性因子分解模型应用于D意味着，每个包含33个纬度测量随时间的数据切片Dk（33, 85）在57个经度之一处分解为方程（2），其中纬度Clat（33, NC）和时间Caug,temporal（NC, 85）因子矩阵对所有57个经度数据切片相同，Dk仅在存储于对角矩阵Zk（NC, NC）值中的每个提取分量的相对量上不同；这些k = 1, …, 57对角矩阵可收集在纵向因子矩阵Clong（NC, 57）的列上。因此，CN,lat和CN,long分别表示每个分量N = 1, …, NC的空间解析纬度和经度轮廓；每个个体分量的二维空间图可通过重塑Caug,spatial因子矩阵的列（双线性模型下）或通过应用三线性约束后解析的纬度和经度轮廓的外积重建，如方程（3）。CN,maps空间图将表征每个考虑分量的降水主要地理趋势，描述时间降水模式；应用三线性约束确保CN,maps中一致的地理结构跨年稳定，符合大尺度降水模式随时间空间平稳的假设，并在Caug,temporal轮廓中单独描述相应时间变化。为求解方程（1）和（2）描述的双线性和三线性模型，使用约束下的交替最小二乘（ALS）优化算法；除因子矩阵非负性及其适当归一化外，在假设三线性模型时，ALS优化过程中CN,lat、CN,long和Caug,temporal迭代更新；双线性MCR-ALS在Caug,spatial（33 × 57, N）中解析的每个个体增广空间轮廓被重塑为单独的单分量CN,spatial（33, 57）空间矩阵；该空间矩阵的第一主成分向量（或第一奇异向量）给出纵向和纬度轮廓CN,long和CN,lat的估计以及相应的单分量滤波映射矩阵CN,map（33, 57）；两个向量轮廓CN,long和CN,lat的Kronecker积提供单分量增广轮廓Caug,spatial（33 × 57, N）的新三线性估计，更新当前ALS双线性估计；应用该三线性约束确保CN,long和CN,lat轮廓的地理形状稳定性，同时允许Caug,temporal中分量强度随时间变化；ALS优化持续至收敛，即数据拟合不再显著改善；MCR-ALS实验数据拟合评估通过根据双线性和三线性模型计算解释数据方差（R2）进行，如方程（4），其中dij为具有实验降水值的数据像素，dij,calc为MCR-ALS使用或不使用三线性约束计算的相应值；有关三线性约束在MCR-ALS中应用的更详细信息，参考Tauler等、de Juan和Tauler以及Tauler；计算使用MCR-ALS算法及其用户友好GUI（可在www.mcrals.info/获取）和MATLAB 2024b版本（The Mathworks Inc., MA, USA）。在MCR-ALS分解期间重建每个分量的地理分布图CN,maps时，观察到结构化伪影，可能归因于数据聚合过程；为克服这一缺陷并更好地洞察时空数据结构，提出最近开发的时空建模框架，使用离散标量场理论类比与MCR-ALS结果耦合；该方法通过傅里叶谱分解以频率/波数项提供对时空常规结构的互补描述，为使用频率/波数滤波的数据处理和解释开辟更丰富视角；具体应用于空间纬度-经度图重建中观察到的伪影，主要与空间波长低于28 km（波数 ≥ 1/28 km?1）引入的噪声相关，即由于空间数据聚合分辨率；该标量场框架的离散矩阵版本与MCR-ALS耦合最近已用于污染源时空建模。与每个解析降水分量轮廓相关的空间标量场可由方程（5）描述，其中CN,lat和CN,long分别为MCR-ALS解析分量N的纬度和经度空间轮廓；方程（5）中分解关注每个分量的地理分布，时间效应因此被排除在此特定分析之外，这等同于上述稳态假设（即大尺度降水模式随时间空间平稳）。描述空间场能量（时间无关）的运动方程矩阵类比由方程（6）给出，其中Llat（33, 33）和Llong（57, 57）分别为纬度和经度空间拉普拉斯矩阵，捕获与纬度和经度地理空间能量梯度项相关的相应双微分空间算子，Caug,spatial描述与局部过程相关的势能，α、β为耦合系数；拉普拉斯矩阵L定义为方程（7），其中B和A分别为度矩阵和邻接矩阵；在本案例研究中，对于空间维度（纬度和经度），假设所有站点连通，使用A的“加权”版本，其中Aij = 1/r2ij（rij：连通站点i和j之间的距离，rij [km] = abs[i ? j]·28）；拉普拉斯矩阵L为实、对称、半正定，所有特征值非负；最低特征值λ1始终为0，其关联特征向量为（1,1,1, … 0.1）T；对于任何向量w（即本工作中纬度CN,lat或经度CN,long分量轮廓），矩阵L的相应Rayleigh商因此有界；值得注意的是，L提供双微分算子的离散版本；相应的拉普拉斯矩阵Llat（33, 33）和Llong（57, 57）分别捕获算子?2/?rlat2和?2/?rlong2，描述地理（空间）变化；此外，考虑方程（6）中出现的经度二次项，如方程（8）；注意Caug,spatial提供?2/?rlong2的离散等价（纬度同样）。通过构造，在约28 km网格采样下，Nyquist准则将最短可分辨波长设为约56 km；谱滤波器因此作用于最高波数拉普拉斯模态，这些模态对应于接近该Nyquist极限的噪声和聚合伪影；将纵向向量Caug,spatial按Llong的归一化特征向量和特征值（分别为u和λ）展开，得到aiN = uiTCaug,spatial，并将其代入方程（9）中的经度能量项，得到以波数ω（等于拉普拉斯特征值的平方根，即ω = λ1/2）表示的傅里叶谱分解；以紧凑矩阵形式，该傅里叶谱分解及其反重建可写为：Caug,spatial = Ua和（左乘U）a = UTCaug,spatial，其中U是列向量为Llong的（正交）特征向量的矩阵（纬度同样）。滤波通过选择特征值和相应特征向量子集并从该子集重建轮廓实现（以经度为例）：设??U为希望滤波保留并用于进一步轮廓重建的nf（nf ≤ 57）个Llong特征向量子集，设? ? a和?2 ? ω2为Llong的相关系数和特征值子集；进一步假设特征值和特征向量按增值ω21 = 0 ≤ ω22 ≤ … ≤ ω257排序；滤波和地图重建过程由方程（10a）和（10b）捕获；向量Caug,spatial,filtered提供所需滤波后的CN,long轮廓用于经度图重建，由前nf个波数模态获得（纬度同样）。

研究结果方面，3.1 来自MCR-ALS分解的降水分量：双线性和三线性MCR-ALS分解均应用于同一增广数据矩阵Daug并解析出相似降水区，三线性模型作为本工作参考分析（原因详见本节末尾）；五个解析分量解释总方差的95.6%。分量1（图3a）解释62%方差，描述法国西南部—西朗格多克过渡降水区，该主导分量捕获法国西南部降水区，主要影响图卢兹-卡尔卡松走廊和西朗格多克地区，并延伸至北比利牛斯；该分量解释的大方差归因于其跨年的系统性贡献，尽管其绝对降水量低于其他地理区域（见图1平均降水图）；空间分布反映由来自西部的大西洋锋面系统驱动的降水，比利牛斯形成天然地形屏障影响该过渡区水分分布；在北部非洲也观察到次要贡献，大西洋锋面系统最南分支在伊比利亚半岛周围分叉后经直布罗陀海峡进入地中海，遇阿特拉斯山产生地形降水；时间轮廓（图3b）在85年期间呈S形模式，近年显著下降，表明影响该区域的Atlantic-driven降水模式长期转变。分量2捕获39%方差，描绘图3c中比利牛斯中部高海拔区，该分量捕获比利牛斯山脉最高中部地区降水区，这些区域通常全年接收丰富降雨和降雪；空间降水分布突出地形增强最显著的核心山区；该区域降水由夏季和冬季影响该区域的大西洋锋面系统驱动，海拔在水分凝结中起关键作用；时间轮廓（图3d）显示S形模式，20世纪70—80年代最大，随后下降，值得注意的是近年陡增，表明高海拔降水近期增强，可能与大气环流型变化或水分可用性增加有关。分量3解释31%方差，识别加利西亚大西洋沿岸（图3e）为连贯降水区，其特征是直接暴露于大西洋锋面系统，最湿像素年降水量达约2000 mm/年（见图1）；空间分布涵盖加利西亚面向大西洋的沿海和内陆地区，西来湿润气团在此首次登陆半岛；该区域降水由大西洋锋面直接进入且地形干扰最小导致；时间轮廓（图3f）在85年期间呈显著平坦趋势，无显著增加或减少，表明该降水区基本未受长期气候变率影响，与大西洋环流型的持续影响一致。分量4解释9%方差，该分量捕获葡萄牙南部、西班牙埃斯特雷马杜拉和安达卢西亚降水模式（图3g）；空间分布覆盖伊比利亚半岛最南端地区，受深入南纬的大西洋锋面系统或局地中尺度对流系统（MCSs）影响，后者主导伊比利亚半岛南部极端降水事件；这些有组织对流系统由复杂地形上的地形抬升和局地大气不稳定触发；当大西洋锋面足够南伸到达这些半干旱区时发生降水事件；图3h时间轮廓显示更多零星峰值而非平滑S形模式，反映深大西洋渗透和MCS发生的不规则性；值得注意的是，最近10—15年降水显著减少，这一发现得到最近十年伊比利亚半岛南部严重干旱条件报告的 support。分量5仅解释3%方差，这一次要但气象意义显著的分量代表伊比利亚半岛中东部地中海沿岸降水区，包括卡斯特利翁、瓦伦西亚和南加泰罗尼亚（图3i）；空间分布集中于暴露于地中海 moisture 源的沿海和近沿海地区；该区域降水由切断低压（COLs）驱动，西班牙语称为DANA（Depresión Aislada en Niveles Altos）现象；这些高空孤立低压系统从主要大气环流脱离并在西班牙上空停留2—3天，其偶发性导致近期报道的地中海降水高年际变率主导长期趋势；COLs被证明是瓦伦西亚地区极端降水的主要产生者，占极端降雨事件的81%，最强事件发生在9—11月，此时温暖地中海海表温度助长强烈对流；这些结果与2024年10月29日该地区发生的洪水事件一致；图3j时间轮廓显示奇异但复发事件，反映这些强烈对流系统的偶发性，尽管频率低，但可在极短时间提供极端降水量，对该区域构成重大危害。双线性和三线性MCR-ALS分解均应用于同一增广数据矩阵Daug，两种模型解析出相似降水区，支持提取分量的稳健性（图S1和S2）；保留三线性模型有三个原因：第一，它提供基本唯一的因子分解（至缩放和置换），从而消除双线性MCR-ALS解固有的旋转模糊性；第二，它将每个分量分解为具有独立物理意义的纬度和经度轮廓；第三，它与第2.3节标量场框架自然整合，其拉普拉斯算子分别作用于两个空间方向；双线性重建更精确地显示局部尺度降水趋势，这些趋势无法由地理空间更严格的三线性模型条件处理；在这些情况下，可尝试双线性-三线性模型条件之间的中间情况，需要进一步研究；然而，三线性重建确实保留数据的可分离纬度 × 经度结构，并揭示与严格可分离结构的微小残差差异；这些差异在分量1东比利牛斯地区和分量4伊比利亚半岛南部最明显；这些差异也可源于ERA5再分析固有的像素级插值和网格聚合效应；第3.3节应用的标量场谱滤波框架抑制不符合三线性模型描述的可分离纬度 × 经度趋势的空间模式；然而，两种模型的解析时间轮廓显示一些差异（图S2）；相应双线性和三线性分量之间的未中心化相关性（配对轮廓向量之间角度的余弦）对于C1–C5分别为0.955、0.963、0.998、0.929和0.791；这些差异出现是因为三线性约束将空间轮廓限制为可分离纬度 × 经度外积，通过ALS迭代传播回与无约束双线性情况相比略有不同的每分量时间轮廓；另一方面，两种模型对于分量1–4的相应低阶多项式拟合（长期趋势）密切一致（C5不应用多项式拟合，其轮廓由近零基线上的稀疏峰值组成，为偶发切断低压事件的典型特征），从而确认三线性约束不扭曲解析降水区的长期时间演变；在数据拟合方面，MCR双线性模型用五个分量解释总方差的99.2%（LOF = 8.6%），而三线性模型在相同条件下解释95.6%（LOF = 20.1%）；仅损失3.6%的解释方差百分比表明降水三路数据阵列被三线性模型相当好地解释，因此作为本工作参考分析。此外，将分析增加到六个分量仅带来拟合的边际改善（R2 = 95.6%，LOF = 20.1%五个分量和R2 = 96.3%，LOF = 19.2%六个分量），而未增加任何气候学可解释降水区（图S4）；相反，减少到四个分量（R2 = 95.4%，LOF = 21.3%）被排除，因为它移除第五分量，该分量专门捕获瓦伦西亚和卡斯特利翁上空的偶发切断低压（DANA）降水区（图S3）；因此采用五分量选择作为拟合质量和可解释性之间的最佳折衷。此外，MCR-ALS解析的五个降水分量与先前使用PCA对西班牙省级数据识别的降水区高度对应；对50个西班牙省份（1961—2018）的PCA分析基于行政边界区分五个降水区；四个区与MCR-ALS分量显示直接地理对应：西南区（PCA PC1，MCR-ALS分量4）、西北省份（PCA PC2，MCR-ALS分量3）、北部比利牛斯区（PCA PC3，MCR-ALS分量2）和中东部地中海沿岸（PCA PC4，MCR-ALS分量5）；分量1通过捕获图卢兹-卡尔卡松走廊的法国-西班牙降水过渡扩展该框架，该过渡未在限于西班牙领土的基于省份的PCA分析中解析；方法之间的一致性支持解析降水模式的稳健性，差异归因于空间分辨率（网格像素 vs. 行政单元）和地理范围（伊比利亚半岛加法国南部 vs. 仅西班牙）；两种方法均确认西北和北部区域的大西洋驱动降水、东部的 security 地中海系统以及伊比利亚半岛南部的西南平流模式。与PCA等正交分解不同，MCR-ALS分量不受相互正交约束，每个分量解释的个体方差重叠；在本分析中，双线性模型下个体方差之和为160.6%，三线性模型下为144.0%，而联合五分量模型分别解释总数据方差的99.2%和95.6%；个体方差之和与联合方差之间的差异（双线性61.4个百分点，三线性48.4个百分点）衡量解析分量之间的高度重叠；双线性模型的较大重叠也是预期的，因为三线性约束强制分量间更紧凑和互补的方差分布；就像它们代表的底层物理过程一样，MCR解析的方差源不是相互正交的并且确实重叠，但它们在物理 terms 上仍然可直接解释。3.2 MCR-ALS重建降水图中的空间伪影：从MCR-ALS分解获得的空间分布图（图3a,c,e,g,i左图）表现出遮蔽底层降水模式的结构化伪影；这些伪影表现为叠加在气候学有意义空间梯度上的条纹状图案和高频噪声；这种畸变归因于两个主要来源：第一，ERA5再分析中的数据聚合过程在网格分辨率尺度（28 km）引入系统空间模式；第二，网格数据集中用于填充缺失观测的插值方法产生空间自相关；这些伪影在分量1（图3a）中尤为明显，其中平行于纬度带的线性条纹叠加在法国西南部和西朗格多克的主要降水梯度上；类似的噪声模式出现在分量2和4（图3c,g）中，高频波动遮蔽地形和区域降水结构；这些畸变可能通过暗示源于数据处理而非实际气候过程的空间特征而误导物理解释。3.3 标量场建模、傅里叶谱滤波和地图重建：三线性空间重建（图3左图）中观察到的明显伪影不仅是数值噪声；其确切来源尚不完全清楚：它们可能部分反映不符合可分离纬度 × 经度结构的空间模式，但也可能源于ERA5再分析固有的像素级插值和网格聚合效应；下述标量场谱处理无论其来源如何均抑制它们，同时保留每个分量的大尺度地理结构。具有图-拉普拉斯谱滤波的标量场描述的适用性由所研究数据的特征和结构充分证明，可简要总结为以下论点：（i）每个网格点的年降水是单一实值非负标量，因此ERA5立方体是连续标量场φ（lat, long）的规则离散采样，方程6中的Klein-Gordon型能量泛函是其二次能量的直接离散化；（ii）由加权邻接Aij = 1/r2ij构建的离散拉普拉斯与连续算子?2/?r2在量纲上一致（没有其他固定标准卷积平滑器提供这一点），其特征值是网格的平方物理波数；（iii）MCR-ALS重建中观察到的空间伪影集中在最高波数特征模态，即ERA5网格最短可分辨波长附近，接近约56 km的Nyquist极限，因此谱滤波器恰好作用于伪影所在位置，同时保留编码物理意义大尺度梯度的较低波数；（iv）图-拉普拉斯算子Llat和Llong独立作用于三线性MCR-ALS解析的两个可分离空间轮廓（CN,lat, CN,long），因此谱处理与三线性约束施加的纬度 × 经度可分离性自洽；总之，这四个方面使离散标量场框架成为该特定数据集和建模策略的适当选择。每个MCR-ALS解析轮廓通过矩阵型标量场Klein-Gordon（K-G）方程描述为离散标量场（方法，方程5）[35, 47]；拉普拉斯算子（扮演K-G方程中出现的双微分角色）捕获空间（梯度）能量变化（即纬度和经度）[45, 46, 59-61]；每个轮廓在两个数据维度上的傅里叶谱分解允许选择性滤波相关频率，随后容易地重建滤波轮廓（方法，方程10a和10b）；傅里叶分析因此提供能量分解为经度57个波数贡献和纬度33个贡献（方程9和图S5）；通过保留低频模态，抑制与最短波长相关的噪声，同时保留大尺度气候梯度；关于滤波选择标准，研究人员按如下进行：首先，仅保留低频模态（波长大于或等于数据分辨率28 km）；该程序导致经度保留57个波数中的前8个，纬度保留33个中的前5个；这使研究人员能够解释经度分量总能量的53.4%至90%，纬度分量的26%至87.6%（见图S5）；由于重建图仍显示一些视觉缺陷（特别是分量4），研究人员略微增加包含的模态数，直到获得的所有分量图视觉上可接受；这种试验程序对纬度和经度均进行，最终选择分别为11和9个模态，覆盖经度分量总能量的77.6%至94.1%和纬度分量的81.3%至94.8%；所得结果如图4和S5所示；所提出方法产生可接受图，有效保留大尺度气候梯度同时去除与网格尺度过程相关的伪影。滤波后重建的空间分布图（图5左图）显示比原始MCR-ALS分解（图5右图）有所改善；平行于坐标轴的条纹状伪影在所有分量中有效抑制；分量1（图5a,b）显示最显著改善，纬向条纹被去除而法国-西班牙边境降水梯度保持完整；分量2（图5c,d）中地形结构变得更清晰，高海拔区与周围低地之间过渡更平滑；分量3、4和5同样显示伪影去除，观察到无网格尺度不连续的连贯区域降水模式；滤波程序成功将物理气候信号与数值伪影分离，产生适合气象分析的可解释空间分布。

讨论与结论部分总结：本工作将基于像素的张量展开与MCR-ALS三线性分解应用于伊比利亚半岛1940—2024年ERA5网格化降水数据；解析出五个降水分量，解释总方差的95.6%，对应于由大西洋锋面系统、地形增强和地中海环流型驱动的不同气象降水区；基于像素的展开策略保留空间结构，而三线性约束确保跨时间地理一致性。解析降水区与先前使用PCA对地面省级数据识别的区显示高度对应，支持该方法稳健性；四个分量直接对应于已建立模式：伊比利亚西南区、西北大西洋区、北部比利牛斯区和地中海沿岸；独立数据集（ERA5网格化再分析 vs. 省级站点聚合）之间的一致性确认基于像素的张量分解可靠提取物理意义降水区；所提出的网格化气候数据基于图像的概念化为更广泛应用 to 温度场、风模式和多变量气候指数提供基础。来自数据聚合和插值的空间伪影通过基于离散标量场理论的谱滤波解决；傅里叶分解能够选择性保留低频模态，同时抑制低于28 km网格分辨率的高频噪声；该方法保留大尺度气候梯度同时消除条纹状图案；然而，年分辨率的时间滤波较不直接，因为需要次年度数据来抑制时间伪影；未来使用月或日数据的应用可能受益于类似时间滤波，尽管这需要进一步研究。总体而言，本工作提出的方法在双线性和三线性混合模型假设下以有限数量贡献建模大地理区域降水变化；偏离这些假设以及像素网格空间分辨率的选择定义了该方法的可能局限；特别地，三线性结构非常适合大到足以让纬度和经度代表独立气候模态的区域；相反，地理对比更弱的小区域描述可能更适合使用双线性模型，而在更大区域（大陆、半球或全球）三线性结构预计变得更易解释。