基于广义Prandtl–Ishlinskii非线性特性的多变量迟滞Hammerstein系统辨识

《Nonlinear Dynamics》：Identification of multivariable hysteretic Hammerstein systems with generalized Prandtl–Ishlinskii nonlinearities

　　

本文研究通过应用Hammerstein模型对呈现迟滞特性的多变量系统进行辨识的问题。该Hammerstein模型由一个广义Prandtl–Ishlinskii（GPI）迟滞模块后接状态空间形式的线性动态表示构成，且两个组成部分均为多变量。在此框架基础上，研究人员开发了一种新颖的辨识方法，该方法集成了扩展至处理多变量场景的修正粒子群优化（MPSO）算法版本，以及基于多正弦（multisine）信号的子空间算法。所提出的方法在两个数值算例中进行了测试。结果表明，该方法能够辨识有效捕捉耦合、非最小相位多变量系统中非对称迟滞特性的模型，且该系统受白测量噪声污染。

研究背景方面，迟滞是一种存在于电气、机械、生物乃至经济系统中的非线性现象。在工程领域，基于智能材料（如压电陶瓷和磁致伸缩材料）的作动器受迟滞影响最为显著，迟滞是妨碍作动器精度的最不利因素，因此对迟滞进行恰当建模对于减小定位误差至关重要。当非线性位于线性动态之前时，所形成的结构称为Hammerstein模型。经典Hammerstein模型假设非线性为纯静态的，而本文考虑的迟滞Hammerstein结构中非线性模块包含动态（记忆相关）迟滞效应。在各类算子迟滞模型中，Prandtl–Ishlinskii（P–I）模型所需参数较少、辨识过程简便，且具有解析逆，便于补偿与控制策略设计。通过引入两个不同的连续非线性函数分别代替play算子的左右线性包络函数，可得到广义Prandtl–Ishlinskii（GPI）模型，从而产生非对称迟滞环。目前存在的问题是：现有基于P–I族算子的Hammerstein辨识研究大多局限于单输入单输出（SISO）情形；多变量情形虽在Hammerstein框架之外有所涉及（如将经典Bouc–Wen模型扩展至多自由度系统、将经典P–I模型扩展至多变量情形），但均未采用Hammerstein结构，因而无法分别辨识迟滞非线性模块与线性动态模块；已有基于P–I族的Hammerstein辨识方法通常先估计线性动态模型再通过近似求逆重建中间信号，当系统呈现非最小相位行为时该步骤更为困难，且这些方法依赖自回归模型或非参数线性模块，难以自然推广至多变量系统。据作者所知，尚无先前工作涉及非线性模块由GPI模型描述、线性模块由状态空间模型描述的多输入多输出（MIMO）迟滞Hammerstein系统辨识。为此，研究人员提出了一种两步辨识方法。研究得出的结论是：该方法能够有效辨识非对称迟滞、耦合多变量动态及含测量噪声等挑战性场景下的模型；在算例1中，1000次蒙特卡洛运行所得归一化均方根误差（NRMSE）在两个输出上均低于0.07；参数扫描表明该方法应调校至能产生稳定低NRMSE区间的最简配置。其重要意义在于：所提方法先估计非线性模块，避免了对线性动态求逆，即使系统为非最小相位亦不受额外限制；首次为GPI非线性加状态空间线性模块的MIMO迟滞Hammerstein系统提供了辨识框架，状态空间表述便于发展现代控制理论。

在关键技术方法方面，研究人员采用两步辨识策略：第一步通过准静态实验（对各输入依次施加递增递减阶跃信号并采集稳态数据）辨识GPI模型参数，由于迟滞模型非线性且不可微，采用扩展至多变量情形的修正粒子群优化（MPSO）算法进行全局搜索，该算法引入代价函数停滞时的速度变异操作及基于b个粒子加权平均计算最优全局与个体位置；第二步利用多正弦（multisine）持续激励信号，采用多变量输出误差状态空间（MOESP）子空间算法辨识线性状态空间模型矩阵及系统阶次；数值算例中输出叠加了指定信噪比（SNR）的白测量噪声，通过蒙特卡洛仿真评估性能。

研究结果方面：（1）在算例1中，研究人员构建了双输入双输出、含10个play算子、非对称迟滞、耦合状态空间模型且为非最小相位的系统，采样周期_s=0.001 s，输出叠加SNR为21 dB的白噪声。第一步对每个输入施加N_N=20个阶跃信号采集稳态数据，用MPSO辨识GPI模型，1000次蒙特卡洛结果显示估计参数分散且不逼近原始值，但作者指出模型参数常缺乏物理意义，应从输入–输出数据角度评价近似效果。第二步采用多正弦信号激励，经MOESP（h=3）估计状态空间模型，结果显示所有辨识模型的极点聚集于真实极点附近且位于单位圆内，所有模型传输零点的最大模大于1，证实非最小相位特性被一致捕捉。验证阶段以幅值5、频率10 Hz的正弦信号同时作用于所有输入，迟滞坐标与时域验证均表明过程输出始终落在1000个辨识模型形成的包络内；NRMSE分布显示两个输出的值均低于0.07；按迟滞分支分解的条件平均误差在操作范围内变号，未在任一分支 preferential 累积；稳态验证表明瞬态后估计输出收敛并接近过程输出。（2）在算例2中，研究人员采用简化的二阶耦合系统（特征值0.8±0.1j）系统考察N_N、N_P与SNR对NRMSE的影响：随SNR从1 dB增至40 dB，中位NRMSE持续下降，约15 dB以上后趋于稳定，异常值反映MPSO的非确定性；随N_P增大，均值在N_P约4后进入较窄区间，N_P=12附近两输出综合水平最低，N_P过大（约14以上）结果离散度增大，且N_P=4或5的模型即可获得接近N_P=10的中位NRMSE；随N_N增大，N_N=4时误差最大且离散最宽，增至6时均值骤降但此后非单调，N_N≥10后结果稳定于较低范围，继续增大收益有限。

讨论与结论部分，作者在结论中指出：本文提出了一种辨识具有主导迟滞输入非线性多变量系统的两步方法，适用于可由迟滞Hammerstein模型表示、且输入非线性至少可近似由GPI模型描述的系统；与文献中其他工作不同，本文先估计非线性模块??再估计线性动态模块?，从而避免了额外限制，即使待辨识系统为非最小相位；GPI模块通过修正PSO算法捕捉过程的准静态信息，有助于避免陷入局部最优，线性状态空间模块能准确辨识过程特征值；数值算例验证了该方法在非对称迟滞、耦合多变量动态和测量噪声等挑战性场景中的有效性。第二阶段采用多正弦信号而非白噪声或伪随机二进制信号（PRBS）等高频激励，是考虑到迟滞现象的准静态特性，而PRBS输入将需要额外校正步骤。算例2的参数扫描表明，所提方法应调校至能产生稳定低NRMSE区间的最简配置：迟滞模型中play算子过少会限制表示能力，过多则增加优化阶段相关的变异性；准静态实验中增加工作点数量仅在NRMSE达到较低范围前改善迟滞环刻画，此后收益边际递减；关于测量噪声，方法在测试的SNR范围内均保持有效，更高SNR主要减小离散度直至出现饱和效应。这些趋势以简约优于不必要复杂性为原则提供了模型调校的实用指南。未来工作可将该方法扩展至Wiener型结构（其中迟滞算子由线性动态的瞬态响应驱动而非由实测输入驱动），该扩展需要额外假设与专门的实验设计，并要求输出迟滞表示在操作范围内存在逆以重建中间信号；并行组合Hammerstein与Wiener分支的结构会引入进一步复杂性，因为稳态数据仅揭示两分支的组合静态特性，分离其贡献需要动态信息；此外，作为 ongoing 研究工作的一部分，作者计划采用广义率相关Prandtl–Ishlinskii（GRDPI）模型将框架扩展至率相关迟滞，该扩展需要在非线性估计阶段引入动态激励，因为本文所用的准静态实验不足以刻画率相关效应。