Poisson变换、BGG复形与SU(n+1,1)的离散系列表示

《Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu》：POISSON TRANSFORMS, THE BGG COMPLEX AND DISCRETE SERIES REPRESENTATIONS OF $SU(n+1,1)$

　　

本文旨在构造特定的Poisson变换，将赋予自然CR结构的球面S²ⁿ⁺¹上的微分形式映射为复双曲空间上的形式。这些变换具有余闭调和值，下降至BGG（Rumin）复形，并将该复形中的微分算子与外微分交错。转入Poincaré球模型后，研究人员分析了边界渐近性，证明了在次数≤n时变换的值允许连续延拓至边界。最后，研究人员证明，将外微分与次数n的变换复合，可获得次数n的Rumin算子核与复双曲空间上L²-调和形式的一个稠密子空间之间的同构。这提供了^SU(ⁿ+¹,¹)以平凡无穷小特征在紧流形S²ⁿ⁺¹上微分形式空间中的离散系列表示的实现。这些进展受第三作者证明Baum-Connes猜想某些情形的纲领所驱动。本文第一部分在更为一般的框架下成立；特别地，其与猜想仍为开放的情形相关。

**研究背景与问题**：将Poisson变换推广至微分形式上的操作可追溯至P.-Y. Gaillard的工作，其定义了从球面Sⁿ上微分形式到高一维实双曲空间上微分形式的变换，用以构造余闭调和形式。该变换对^SO₀(ⁿ+¹,¹)的自然作用等变，表示论在构造中起重要作用。对于足够小的次数，变换值可光滑延拓至边界；对于高次数则发散。当n为奇数且形式次数恰为内部双曲空间维数一半时，变换导致L²-调和形式，其子空间实现该群以平凡无穷小特征的两个离散系列表示的直和。J. Lott在此基础上证明这些离散系列表示可等同于边界球面上Sobolev正则性H^?1/2的闭形式空间。将此类方法推广至其他实秩一对称空间（复、四元数双曲空间及八元数双曲平面）的尝试表明实情形过于简单：^SO₀(ⁿ+¹,¹)每个次数本质上只有一个可能的变换，而复情形对应^SU(ⁿ+¹,¹)，微分形式上存在多种Poisson变换选择，并非都产生调和值。调和值问题与球面几何密切相关。复情形下获得S²ⁿ⁺¹及来自嵌入Cⁿ⁺¹的CR结构，可自然解释为复双曲空间（完备K?hler-Einstein流形）的无穷远边界结构。球面上的几何均属于所谓抛物几何类，除实情形外导致de Rham复形的精细化，复情形下即Rumin复形。将球面写为G/P，诱导微分形式丛的P表示不完全可约，但可自然构造完全可约子商，诱导子商丛及自然微分算子（部分为高阶），构成计算de Rham上同调的复形，即BGG复形的特例。Harrach证明微分形式的Poisson变换具有调和值当且仅当其适当下降至BGG复形。基于第二作者论文及?ap-Harrach-Julg的工作，研究人员构造了复情形下下降至BGG复形的Poisson变换。本文第2节利用表示论设计适用于所有实秩一情形的Poisson变换构造，证明所得变换的值不仅调和而且余闭，并分析其与双曲空间外微分及球面上BGG复形算子的相容性。自第3节起专注于复情形G=^SU(ⁿ+¹,¹)，详细研究调和Poisson变换与K?hler结构算子的相容性，证明不同次数的变换可归一化使得从球面BGG复形到复双曲空间de Rham复形获得链映射。利用Poincaré球模型研究边界渐近性，通过对极大紧子群作用的各向同性分量进行细致分析，证明S²ⁿ⁺¹上次数≤n的形式在变换下的值允许连续延拓至边界。进而分析d与次数n变换的复合，证明其值为L²-调和形式，由此得到定理28：该复合将BGG复形次数n部分模去落入该空间的BGG算子像所得的商同构嵌入到内部L²-调和(n+1)-形式空间的稠密子空间，后者已知为^SU(ⁿ+¹,¹)以平凡无穷小特征离散系列表示的直和。

**关键技术方法**：研究人员主要运用了抛物几何与BGG复形理论（包括Kostant余微分与曲率修正Box算子的分解）、表示论方法（通过M等变同态构造调和Poisson变换并利用Frobenius互反与重数1性质）、Poincaré球模型下的极分解与双曲几何分析（利用超几何函数分析边界渐近性）、以及K?hler流形上的Lefschetz分解与Hodge理论。样本队列来源不适用。

**研究结果**：

**2 一般Poisson变换理论**：通过表示论构造适用于实秩一情形的调和Poisson变换，证明其值与BGG复形相容（定理2、定理3），并给出具体变换族（定义2）满足余闭性及与外微分的精确关系（定理6）。

**3 ^SU(ⁿ+¹,¹)的调和Poisson变换**：建立复双曲空间与CR球面的几何设置，证明存在实Poisson变换族构成从BGG复形到de Rham复形的链映射（定理12），其像由本原、余闭、调和形式组成。

**4 Poisson变换的边界渐近性**：利用Poincaré球模型的极分解，证明次数≤n时变换值可连续延拓至边界（定理17），并通过超几何函数精确计算相关积分（命题16）。

**5 各向同性分量上的Poisson变换**：证明重数1性质（命题18），给出变换在各向同性分量上的显式公式（定理22），并证明次数n时d与变换的复合在所有各向同性分量上具有有限L²范数（命题24、定理26）。

**6 Poisson变换与离散系列表示**：证明ker(dΦ_n)=im(D_n)（定理28(i)），建立L²内积的精确公式（定理28(ii)），最终证明dΦ_n将Γ(H_n)/im(D_n)同构映至L²调和(n+1)-形式空间的稠密子空间，实现以平凡无穷小特征的离散系列表示（定理28(iii)）。

**讨论与结论**：本文利用表示论方法系统构造了实秩一对称空间上微分形式的调和Poisson变换，避免了此前工作中大量的显式计算。在复情形下，精确建立了球面BGG复形与复双曲空间de Rham复形之间的链映射，并通过Poincaré球模型的边界渐近分析证明了中间次数变换的L²性质。核心结论（定理28）表明：外微分与次数n的Poisson变换的复合给出了BGG复形次数n部分（模去BGG算子像）与L²-调和(n+1)-形式空间稠密子空间之间的同构，从而在紧流形S²ⁿ⁺¹上的微分形式空间中实现了^SU(ⁿ+¹,¹)以平凡无穷小特征的离散系列表示。公式(27)显式描述了L²内积的拉回，可将离散系列表示的直和等同于Γ(H_n)/im(D_n?1)关于该内积的完备化。这一工作为第三作者关于Baum-Connes猜想的纲领提供了^SU(ⁿ+¹,¹)情形的关键 ingredient，第2节的结果亦为处理^Sp(ⁿ+¹,¹)情形提供了必要工具。