《Canadian Mathematical Bulletin》：On boundary behavior of unclosed, open, light mappings in metric measure spaces
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研究若干开、轻且非闭的环映射的边界行为。这些映射在一般度量测度空间上考虑，其结果在拟正则映射类或某类重要的有限伸缩映射类中均为新的。全文在具有可数基且局部连通、局部紧的度量测度空间 (X,μ) 与 (Y,ν) 上展开，记 d 为 X 与 Y 上的距离，Y 为
研究若干开、轻且非闭的环映射的边界行为。这些映射在一般度量测度空间上考虑，其结果在拟正则映射类或某类重要的有限伸缩映射类中均为新的。全文在具有可数基且局部连通、局部紧的度量测度空间 (X,μ) 与 (Y,ν) 上展开，记 d 为 X 与 Y 上的距离，Y 为 Y 的 Alexandrov 紧化，D?X 为一区域。设 A(D) 为 D 中所有路径族之集，对 Γ∈A(D) 定义带权 p-模 Mωp(Γ)，当 ω=1 时即经典 p-模 Mp(Γ)。对 E,F?D，记 Δ(E,F,D) 为连接 E 与 F 且内部含于 D 的路径族；对 x∈?D 及 0
0，使得对任意满足 F∩?U=?、F∩?V=? 的连续统 F?D 均有 Mp(Δ(K,F,D))>δ，则称 D 在 x 处关于 p-模强可达。文中将关于开、离散、非闭环映射的边界延拓定理推广到一般度量测度空间，并证明在 Rn 中相应条件亦更弱；同时给出一个 H?lder 型估计定理。研究背景方面，过去20年间，满足 Poletsky 模不等式的映射 f:D→Y 受到密集研究；当 ω=K 时即得到著名拟正则映射类所满足的通常 Poletsky 模不等式 Mn(f(Γ))≤KMn(Γ)。已有工作分别针对开、离散环映射建立了到边界孤立点或"小"集 E?D 的边界延拓结果，Vuorinen 研究了开、离散、闭映射并证明 C(f,?D)??f(D)，Desyatka 与 Sevost'yanov 则对开、离散、非闭环映射证明了边界延拓定理。然而这些结果多在 Rn 中给出且要求映射离散，对一般度量测度空间及非离散的开、轻映射尚缺乏相应结论，本文正是为填补这一空白而开展研究。
研究人员在具有可数基、局部连通、局部紧的度量测度空间上，考察连续、开、轻映射 f:D→Y 的边界行为，设 G=f(D)、x∈?D、ω∈Lloc1(D)，并假定 f 在 x 处关于 p-模与 α-模为环 ω-映射（p,α>1）且 Mωα(x)=0。取 q>0，令 E=f?1(C(f,B(x,q)∩?D)) 满足 IntE=?，并要求对每个 U∈V(x) 存在 V∈V(x)、V?U，使 V∩D 连通、(V∩D)?E 仅有有限个分支，且 G?C(f,B(x,q)∩?D) 的所有分支关于 p-模强可达。在此条件下证明极限 limy→xf(y)∈Y 存在。研究人员指出，当 X=Y=Rn 时存在开、轻但非离散的映射（其非局部同胚点集 Bf 满足 dimBf≤n?2），故本文定理在拟正则映射类或重要有限伸缩映射类中均为新结果，且在 Rn 中条件较已有定理更弱。此外，在 X 为 Ahlfors n-正则（n≥2）、f:D→Rn 连续开轻、f 在 x0∈?D 处关于 n-模为环 w-映射且 ωx0<∞ 的情形下，证明了一个 H?lder 型估计定理。这些结果的重要意义在于把经典欧氏空间中的边界延拓理论推广到一般度量测度空间，并放宽了对映射离散性的要求。
关键技术方法方面，研究人员主要采用路径族与模论方法：以带权 p-模 Mωp 与经典 p-模 Mp 刻画映射的伸缩性质，通过环 ω-映射的模不等式控制像路径族的模；利用聚值集 C(f,x) 与 C(f,A) 描述边界极限行为；引入关于 p-模的强可达边界概念及相应的拓扑条件（连通性、分支数有限、IntE=?）；并结合 Alexandrov 紧化、局部连通与局部紧性以及 Ahlfors n-正则性进行估计。文中未涉及样本队列来源。
研究结果方面，第一，关于一般度量测度空间中的边界延拓，研究人员在连续、开、轻且为环 ω-映射的设定下，通过模估计与强可达边界条件证明了 f 在边界点 x 处沿 D 内的极限存在且属于 Y，从而把已有关于开、离散、非闭环映射的定理推广到一般度量测度空间，并说明在 Rn 中本文条件弱于已有结果。第二，关于非离散映射的存在性与新颖性，研究人员借助 Wilson 的构造及 Hencl 与 Koskela 关于非局部同胚点集维数的结论，指出存在开、轻而非离散的映射且 dimBf≤n?2，由此说明所得定理不能由离散情形的结果推出。第三，关于 H?lder 型估计，研究人员在 X 为 Ahlfors n-正则、映射关于 n-模为环 w-映射且 ωx0<∞ 的条件下，通过与 Desyatka、Kovba 与 Sevost'yanov 中定理 6.1 相联系，证明了一个 H?lder 型估计定理。
讨论部分指出，本文结果在拟正则映射类或某类重要的有限伸缩映射类中均为新的，且当 X=Y=Rn 时本文条件较已有定理更弱；同时强调开、轻映射一般不必离散，故所得边界延拓结论具有独立价值。研究结论可译为：研究人员研究若干开、轻且非闭的环映射的边界行为，映射在一般度量测度空间上考虑，所得结果在拟正则映射类或某类重要的有限伸缩映射类中均为新的。
