对偶四元数矩阵方程组(AX, XC, EXF)=(B, D, G)的通用解及其应用

《Symmetry》：The General Solution of a System of Dual Quaternion Matrix Equations with Applications

　　

研究人员通过Moore–Penrose逆（Moore–Penrose inverse）与秩等式（rank equalities）推导了对偶四元数矩阵方程组（dual quaternion matrix equations）(AX, XC, EXF) = (B, D, G) 可解性的充要条件（necessary and sufficient conditions）及其通解表达式（general solution expressions）。随后，研究人员通过数值算例（numerical example）验证了该研究的主要结论，并研究了此类方程组在图像加密（image encryption）与解密（decryption）中的应用。

四元数（quaternions）作为四维实向量空间的元素，自1843年由Hamilton提出以来，已被广泛应用于量子物理（quantum physics）、信号处理（signal processing）及彩色图像处理（color image processing）等领域。1873年，Clifford进一步提出对偶数（dual numbers）与对偶四元数（dual quaternions），二者现已成为机器人学（robotics）、三维运动建模（3D motion modeling）、计算机图形学（computer graphics）以及安全控制（secure control）和多智能体编队控制（multi-agent formation control）等工程问题的重要数学工具。尽管近年来学者们在四元数与对偶四元数矩阵方程领域取得了丰富成果，例如Chen等探讨了特定对偶四元数矩阵方程，Hong等研究了单位对偶四元数方程的子空间约束最小二乘解，Xie等与Yang等分别在对偶四元数代数和对偶分裂四元数张量代数下对经典矩阵方程组进行了拓展，然而，据研究人员所知，利用矩阵Moore–Penrose逆（Moore–Penrose inverse）与秩（rank）作为工具，为该类型对偶四元数矩阵方程组提供精确解的相关研究仍较为有限。因此，开展此项研究旨在完善对偶四元数矩阵方程组的理论体系，并为其在信息安全与图像处理中的应用提供新的方法支撑。

研究人员围绕对偶四元数矩阵方程组(AX, XC, EXF) = (B, D, G)展开系统研究，通过严格的代数推导，建立了该方程组可解的充要条件，并给出了其显式通解表达式。研究结论表明，该方程组的可解性等价于一系列由系数矩阵构成的秩等式以及Moore–Penrose逆关系式的成立，且在可解情形下通解可由任意参数矩阵显式构造。本研究的重要意义在于：一方面，将经典矩阵方程组(AX=C, XB=D)的求解框架成功推广至包含三个约束的更一般对偶四元数情形，显著丰富了对偶四元数矩阵代数的方程理论；另一方面，将该理论直接应用于彩色图像的加密与解密过程，为对偶四元数矩阵理论在工程实践中的落地提供了具体范例。

研究人员主要采用以下关键技术方法：首先，基于对偶四元数矩阵可表示为A=A₁+εA₂的代数结构，利用对偶单位ε满足ε²=0的性质，将方程组等价转化为实四元数矩阵方程组；其次，引入Moore–Penrose逆（Moore–Penrose inverse）与正交投影子（orthogonal projectors），结合秩等式（rank equalities）建立可解性代数判据；再次，借助Marsaglia-Styan秩等式，将条件等价转化为仅由系数矩阵构成的秩等式组；最后，构造性推导通解表达式并基于MATLAB数值验证。在图像应用中，利用RGB像素与四元数的对应关系，将彩色图像编码为四元数矩阵，再以实部（real part）与部分（dual part）表示两幅原始图像，通过方程组分量实现加密，并利用通解理论完成解密。

*2. Preliminaries*
研究人员在对偶四元数与对偶四元数矩阵的代数框架下，给出了加法与乘法运算规则，引入了Moore–Penrose逆（Moore–Penrose inverse）的Penrose方程定义，以及正交投影子（orthogonal projectors）的基本性质；同时，给出了关于四元数矩阵方程AXB=C以及经典对偶四元数矩阵方程组(AX=C, XB=D)可解性的三个基本引理，包括通解的显式表达形式和Marsaglia-Styan秩等式的直接扩展形式，为后续定理的证明提供了必要的代数工具与理论支撑。

*3. The Solution of Equation (1)*
研究人员建立了系统的理论框架，在定理1中证明了该对偶四元数矩阵方程组可解性的13个等价命题，涵盖方程组的相容性、涉及Moore–Penrose逆的广义逆等式以及一组仅由系数矩阵构成的秩等式。定理同时给出了方程组的显式通解，其中解由若干任意参数矩阵线性表示。当系数矩阵E、F、G为零矩阵时，所得结论自然退化为已知的经典结果，验证了一般化结论的相容性与正确性。

*4. Numerical Example*
研究人员在Intel Core i5-12400H CPU与32 GB RAM的硬件环境下，使用MATLAB 2023a构造了一组所有系数矩阵均为秩亏矩阵的数值算例。计算结果表明，定理1给出的等价条件与秩等式条件均严格成立，由此判定方程组可解。进一步求得数值解后，以Frobenius范数（Frobenius norm）度量残差，结果显示误差极小，从而证实了所推导通解在数值计算中的有效性与高精度。

*5. Applications*
研究人员利用对偶四元数矩阵实部（real part）与部分（dual part）可分别承载独立图像信息的数学特性，设计了完整的彩色图像加密与解密方案。加密阶段，将两幅原始RGB图像分别作为待求矩阵X的实部与部分，依据方程组的分量方程生成六个加密图像矩阵；解密阶段，将加密图像与密钥系数矩阵代入定理1的通解公式，恢复原始图像。实验采用PSNR（Peak Signal-to-Noise Ratio）、SSIM（Structural Similarity Index Measure）和FSIM（Feature Similarity Index Measure）进行性能评估，结果显示两幅图像的SSIM与FSIM值均为1，PSNR值高于50，表明解密图像与原始图像具有高度一致性，该方法具备强可行性与高保真度。

*6. Conclusions*
研究人员运用Moore–Penrose逆（Moore–Penrose inverse）与秩等式（rank equalities），系统建立了一类对偶四元数矩阵方程组的可解性条件与通解理论。数值例子验证了理论推导的准确性，并成功展示了该理论在彩色图像处理中的具体应用。未来研究将聚焦于图像加密方案的安全性分析、更高效的算法设计，以及将上述结果推广至对偶四元数张量系统。

本文研究结论可总结如下：研究人员通过Moore–Penrose逆（Moore–Penrose inverse）与秩等式（rank equalities），严格给出对偶四元数矩阵方程组(AX, XC, EXF) = (B, D, G)可解的充分必要条件，并构造性地获得了其通解表达式。数值算例表明，即使在系数矩阵秩亏的情形下，理论推导的等价条件与数值计算完全一致，解的误差处于极小量级，证明了方法的可靠性。在应用层面，基于该方程组实现的彩色图像加密与解密方案在PSNR、SSIM和FSIM指标下均表现出优异的重建质量，验证了该理论的工程实用价值。后续研究将关注安全性提升与算法效率优化，并探索对偶四元数张量环境下的推广。