基于递归法的多因素对动力系统特性识别影响评估

《Mathematics》：Assessment of the Influence of Multiple Factors on Dynamic System Characteristics Identification Using the Recurrence Method

　　

递归分析是一种揭示复杂系统非线性动力学特性以及识别摩擦系统磨损状态的有力工具。为了探究采样长度、信噪比（Signal Noise Ratio, SNR）、邻域半径（ε）以及相空间重构参数等多个因素对递归表征客观性与可靠性的影响，研究人员分析了由Lorenz、R?ssler和Mackey–Glass系统生成的理论混沌信号。系统地考察了各因素及其耦合交互作用对递归图（Recurrence Plot, RP）和递归率（Recurrence Rate, RR）结果的精度与稳定性的影响。结果表明，邻域半径对RP和RR结果的影响最大，其次是采样长度、SNR以及相空间重构参数。一种基于RP信息熵的半径确定方法有效提升了递归分析的稳定性。最优采样长度为4000–6000点，能够在保证计算效率的同时获得可靠的递归特征。此外，采用db4基函数进行小波去噪显著提高了分析精度，而通过伪最近邻（False Nearest Neighbor, FNN）法和饱和延迟法确定的相空间重构参数提供了稳健的嵌入条件。将RR方法应用于理论混沌信号和实验摩擦信号，验证了其客观表征动态行为及识别磨损状态演变的能力。研究结果为优化磨损状态监测与预测中的递归分析提供了一套可靠的多因素参数确定指南和理论基础，提升了摩擦系统诊断的准确性和效率。

论文解读文章

一、研究背景、现存问题与研究意义

摩擦系统的磨损状态监测是机械设备智能化运维的核心环节，广泛应用于涂层磨损、风力发电机齿轮箱、高速列车制动系统及柱塞泵等领域。其监测精度直接影响设备寿命预测与故障预防的可靠性。尽管传统的振动分析、油液检测和温度监测等磨损监测方法在特定场景下有效，但在处理涉及非线性摩擦信号和多源干扰耦合的复杂工况时，常表现出明显局限性。这些方法通常依赖经验阈值和统计特征，难以准确反映不同磨损机制相互作用下摩擦系统的非平稳演化特性。因此，研究能够揭示摩擦系统非线性特性和状态转变规律的动力学表征方法，具有重要的理论与工程意义。

递归方法是刻画动力系统递归特征的有效工具，已被广泛应用于电化学过程表征、轴承故障诊断及脑区局部状态转变等领域，并在摩擦学领域展现出独特优势。然而，递归表征的精度和鲁棒性对参数选择极为敏感，特别是邻域半径（ε）、相空间重构参数（嵌入维度m和时间延迟τ）、采样长度（L）和信噪比（SNR）等影响因素，目前仍缺乏系统性的定量分析。这些因素的单独或耦合效应可能导致递归结果偏离真实系统的动力学特性，从而影响磨损状态识别的可靠性。为此，本研究旨在系统探究上述因素对递归分析精度与灵敏度的影响，并提出相应的参数优化方法，为摩擦系统非线性动力学特性的精确表征和磨损状态识别提供方法论基础。

二、主要关键技术方法

研究人员采用了以下关键技术方法：

1. 1.
   理论混沌信号构造：基于Lorenz系统、R?ssler系统和Mackey–Glass系统这三种具有不同动力学特征的经典混沌基准系统，构建了复合理论信号，用于验证分析方法并建立判据。
2. 2.
   相空间重构方法（Phase-Space Reconstruction Method, PSRM）：通过确定嵌入维度（m）和时间延迟（τ），将单变量时间序列数据重构为高维相空间向量，以揭示系统的完整动力学信息。其中，嵌入维度采用伪最近邻（False Nearest Neighbor, FNN）法确定，时间延迟采用饱和延迟法确定。
3. 3.
   递归图（Recurrence Plot, RP）构建：通过计算相空间中任意两点间的距离，并与设定的邻域半径（ε）比较，生成由黑点和白点组成的二维递归矩阵，直观展示系统的递归现象。
4. 4.
   递归率（Recurrence Rate, RR）计算：对RP中的递归点进行统计分析，定义递归点占所有点的百分比作为RR，用以定量表征系统的稳定性。
5. 5.
   基于RP信息熵的邻域半径确定方法：提出通过计算RP对角长度分布的信息熵及其梯度变化，寻找结构拐点作为最优邻域半径（ε*）。
6. 6.
   小波去噪方法：采用db4小波基对含噪信号进行4层小波分解与重构，以去除噪声并保留真实信号的峰值和突变特征。

三、研究结果

3.1 邻域半径对混沌信号表征的影响

通过改变ε值构建三种理论信号的RP和计算RR发现，随着ε增大，RP中黑点数量增加，Mackey–Glass信号对ε最为敏感，其次为R?ssler和Lorenz信号。Lorenz信号的RR随ε线性增长，R?ssler信号的RR增长幅度更大，而Mackey–Glass信号在ε较小时增长缓慢，ε大于1.5后增速加快，最终在ε为7时收敛。

3.2 相空间重构参数对混沌信号的影响

通过改变m和τ构建RP和计算RR发现，随着m和τ的增加，Lorenz信号的RP黑点逐渐减少，结构趋于单一；R?ssler信号的短线段密度下降；Mackey–Glass信号的短线段和块状区域密度降低。Lorenz信号的RR变化率随m和τ增大而减小，而R?ssler和Mackey–Glass信号的RR则随m增大而增大。

3.3 采样长度L对混沌信号表征的影响

通过划分不同时间窗口长度的信号进行分析发现，随着L增加，三种信号的RP中黑点和短线段数量逐渐增多，空白区域减少，RR值增大且稳定性更好。不同动力学特征的时间序列对应不同的RR阈值，表明RR可用于识别不同动力学特性。

3.4 SNR对混沌信号表征的影响

通过向信号中添加不同SNR的噪声发现，随着SNR降低，Lorenz和R?ssler信号RP主对角线上黑点宽度增加，递归黑点数量增多；Mackey–Glass信号的RP散点减少。Mackey–Glass信号对SNR最敏感，其次为R?ssler信号，Lorenz信号最不敏感。

四、讨论与结论总结

多因素参数影响的权重分析

通过计算各因素对RP和RR的百分比变化并构建雷达图，研究人员量化了各因素的影响权重。结果显示，对于Lorenz信号，敏感性从大到小依次为ε、L、SNR、m、τ；对于R?ssler信号，顺序为ε、L、SNR、τ、m；对于Mackey–Glass信号，顺序为SNR、L、ε、τ、m。总体而言，邻域半径（ε）对RP和RR表征精度的影响最大，其次是采样长度（L）和SNR，而嵌入维度（m）和时间延迟（τ）的影响相对最小。

多因素最优值确定方法

• •
  邻域半径（ε）：提出的基于RP信息熵的方法通过寻找信息熵梯度变化的拐点来确定最优ε，Lorenz、R?ssler和Mackey–Glass信号的最优ε分别为3.1855、1.0685和0.3205。
• •
  相空间重构参数（m和τ）：采用FNN法和饱和延迟法确定了三种信号的最优嵌入维度和时间延迟。
• •
  采样长度（L）：综合考虑RR参数的精度、稳定性和计算时间，当RR的相对变化率稳定在7%以下、平均误差低于3%、计算时间小于10秒时，确定L在4000–6000范围内可获得可靠递归特征并保证计算效率。
• •
  噪声去除：采用db4小波去噪方法能有效去除噪声并保留真实信号的峰值和突变特征。

不同动力学特征的状态演化递归表征分析

通过对原始理论信号和归一化复合信号构建RP和计算RR，研究发现不同混沌系统的RP黑点分布区域和面积存在差异，且RR能有效识别信号幅值相似但动力学特性不同的混沌系统信号，验证了递归方法的客观性和有效性。

摩擦系统磨损状态的表征、识别与分析

将优化后的参数设置应用于实际摩擦实验信号（Test 1：载荷F=480 N，转速v=300 rpm，表面粗糙度Ra=3.1 μm；Test 2：F=580 N，v=400 rpm，Ra=3.1 μm）。结果表明，在磨合阶段，RP主对角线上的黑点分布不均且空白区域较大，对应较小的RR值；进入稳定磨损阶段后，RP黑点结构均匀分布，空白区域缩小，RR值增大；进入剧烈磨损阶段后，递归块状结构集中于主对角线两侧，空白区域扩大，RR值再次减小。RR参数呈现出从小到大的增长、在高值附近稳定、再减小的演化规律，能够有效识别磨损过程中的状态特征和阶段转变。

结论翻译

为了提高磨合过程中状态识别与演化规律表征的可靠性和准确性，本文阐明了邻域半径、相空间重构参数、采样长度和信噪比对递归表征分析精度的影响。主要结论如下：

(1) 基于Lorenz、R?ssler和Mackey–Glass信号，重构了具有不同动力学特征的理论混沌信号Y，并将其归一化得到新混沌信号Y_n。通过改变ε、m、τ、L和SNR构建递归图，结果表明这些因素的单独或多因素耦合效应均会影响递归图结果的精度。

(2) 通过改变ε、m、τ、L和SNR，构建了多因素变化下的RP并计算RR，进而构建了多因素变量的雷达图。结果表明，ε对RP和RR表征精度的影响最大，其次为L、SNR、m和τ。

(3) 提出了基于递归图信息熵的邻域半径取值方法，确定了4000–6000为更合适的采样长度，采用db4方法对噪声信号进行去噪，并利用FNN法确定m、饱和延迟法确定τ来确立相空间重构参数。

(4) 对Y和Y_n构建递归图并计算递归率，结果表明RP和RR能有效识别不同的混沌动力学特征。通过对摩擦信号构建RP并计算RR，结果表明RP和RR能有效识别磨损过程的状态特征和磨损阶段。