广义J积分：对称表述、与Stroh复势的关系及声子–相位子应力强度因子

《Mathematics》：The Generalized J-Integral: Symmetric Formulation, Relations to Stroh’s Complex Potentials, and Phonon–Phason Stress Intensity Factors

　　

针对各向异性弹性材料与准晶材料，建立了广义Rice–Cherepanov J积分（J-integral）与Stroh复势（Stroh complex potentials）之间统一的解析关系。首先，基于位移与应力函数向量推导了J积分两个分量的对称表述；该表述平等地对待两个分量，并提供了与Stroh复势之间逐分量的直接联系。在此基础上，建立了J积分两个分量与Stroh复势之间的显式关系，将分析拓展到超越单一复构形力（configurational force）量的表述之外。随后，通过将耦合的声子（phonon）场与相位子（phason）场纳入广义Stroh形式体系，将该复表述拓展应用于准晶固体。利用数学切口（mathematical cut）尖端附近复势的渐近行为，推导了J积分两个分量关于广义声子–相位子应力强度因子（stress intensity factors）的显式表达式。除与位移跳跃相关的常规强度因子外，该表述还纳入了与应力跳跃相关的强度因子。这些应力跳跃因子对于描述承受附加约束的不连续体至关重要，例如在准晶裂纹面上相位子位移部分或完全阻塞的情形。J积分第一分量通过Barnett–Lothe张量（Barnett–Lothe tensors）表达，包含来自常规强度因子的正定贡献以及与应力跳跃因子相关联的负定二次贡献。因此，非零的应力跳跃贡献——通常在准晶裂纹面上相位子场部分或完全阻塞时产生——可降低J积分。相位子约束的总体效应还取决于耦合位移跳跃与应力跳跃强度因子的混合项。第二分量通过Stroh矩阵与Barnett–Lothe张量表达，并保留相应的混合项与应力跳跃贡献。所推导的关系将先前针对经典裂纹与一维准晶建立的结果作为极限情形予以恢复。该表述为与裂纹、可变形与刚性夹杂以及具有受约束相位子场的不连续体相关的构形力提供了统一的解析框架。

研究背景与问题提出

J积分（J-integral，表征裂纹扩展能量释放率的路径无关积分）自Rice提出以来，已成为断裂力学的基本工具，并被推广至多种材料模型、加载条件与界面问题。Budiansky与Rice建立了平面各向同性弹性守恒律的复变量形式；Yeh等基于Stroh形式主义（Stroh formalism，处理各向异性弹性二维问题的复变函数方法）建立了各向异性弹性守恒律框架，并将其与Cauchy解析函数定理相联系；Kim等、Choi等及Tafreshi等进一步将J积分及其互积分与各向异性界面裂纹的应力强度因子（stress intensity factors，表征裂纹尖端奇异场强弱的参数）联系起来。然而，现有复表述大多将广义J积分的两个实分量合并为单一复守恒量，第二分量仅隐含于虚部，不能作为独立分量服务于混合模式断裂分析。这一不足在准晶材料中尤为突出：研究表明一维准晶中两个分量均参与裂纹尖端混合模式加载与裂纹偏折分析。此外，相位子（phason，描述准周期结构原子重排的自由度）位移的边界条件不必限于常规无牵引条件，可自由、部分约束或完全阻塞，进而导致不同的广义强度系数；同时J积分还可用于度量刚性线夹杂的增长，其增量为负。因此，亟需建立能同时显式保留两个分量、并适用于不同相位子边界条件的统一解析框架。

研究内容与意义

针对上述问题，研究人员以广义Rice–Cherepanov J积分为出发点，推导了两分量的对称表述，建立了两分量与Stroh复势的逐分量显式关系，并将结果推广至耦合声子–相位子弹性，获得了用广义声子–相位子应力强度因子表达的显式公式。所得关系在常规裂纹与一维准晶极限下恢复既有结论，并为裂纹、可变形与刚性夹杂以及相位子受约束不连续体的构形力（configurational force，度量材料缺陷构型演化的能量力）分析提供了统一框架，也为后续数值分析奠定基础。

关键技术与方法

本文采用纯理论解析方法：以应力函数与位移向量的对称组合导出J积分两分量的对称形式；借助Stroh形式主义的特征值问题、特征向量矩阵及正交性关系，将两分量分别写为复势导数围道积分的实部；将复向量由三分量推广至六分量以纳入声子–相位子耦合场；利用数学切口尖端复势的渐近展开与Cauchy积分公式，将积分化为Barnett–Lothe张量（Barnett–Lothe tensors，由Stroh特征向量构成的实张量组合）与Stroh矩阵的实表达式。本文不涉及实验样本队列；极限情形与经典裂纹、一维准晶及Sulym、Pasternak、Bigoni等的既有结果作对比验证。

主要研究结果

弹性材料中J积分的对称形式：通过引入位移与应力函数分量的全微分并重组被积项，得到式（22）所示的对称表述，两分量地位对等、可由位移与应力函数向量互换得到，且不对弹性常数施加任何限制。

J积分与Stroh复势的关系：基于Stroh特征值问题及正交性关系，推导得两分量分别由复势导数平方围道积分的实部给出，即式（38）与式（40），并统一为式（41），将Yeh等的守恒律框架拓展为两个实分量的显式复势表述。

J积分与广义声子–相位子应力强度因子的关系：将复势导数的尖端渐近式代入并结合Cauchy积分公式，第一分量化为式（51），由位移跳跃强度因子（正定二次贡献）、应力跳跃强度因子（负定二次贡献）及二者混合项构成，其中声子分量退化为常规K_I、K_II、K_III；第二分量由式（64）给出，额外涉及辅助Stroh矩阵，其混合项与应力跳跃贡献的符号在一般各向异性情形下不定。

讨论与结论

当应力跳跃强度因子为零时，式（51）退化为经典直线裂纹扩展能量释放率，并与一维准晶及Sulym和Pasternak的结果一致；相位子场部分或完全阻塞产生非零应力跳跃强度因子，其负定二次贡献可降低J积分，混合项符号不定，二者共同决定约束的总体效应；刚性线夹杂情形可出现负J积分，与"反裂纹"解释相符。研究结论为：建立了广义J积分两分量的对称表述及其与Stroh复势的逐分量关系；将该关系无附加代数修改地推广至耦合声子–相位子弹性；获得了两分量关于两类广义强度因子的显式解析表达式，构成连接Stroh复势、构形力积分与广义尖端场的统一解析框架。