《INTERNATIONAL JOURNAL OF PRODUCTION ECONOMICS》：The Best Allocation Resource Size (BARS) problem: a bi-objective integer programming model to balance cost and complexity in resource selection
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降低制造系统中输入品种的多样性已被认为具有多项运营优势。简化的物料配置可支持风险池化（risk pooling）、缓解提前期不确定性，并提升物流与生产计划流程的效率。然而，此类简化策略可能增加物料浪费，尤其是在产品品种繁多或转化过程缺乏柔性的情境中，过剩物料无
降低制造系统中输入品种的多样性已被认为具有多项运营优势。简化的物料配置可支持风险池化（risk pooling）、缓解提前期不确定性，并提升物流与生产计划流程的效率。然而，此类简化策略可能增加物料浪费，尤其是在产品品种繁多或转化过程缺乏柔性的情境中，过剩物料无法再利用。本研究引入最佳资源尺寸分配（Best Allocation of Resource Sizes, BARS）问题，它是品种问题（assortment problem）的一个变体，旨在解决资源分配中简化与效率之间的张力。该问题需要选择输入尺寸（以下称为items）的一个子集进行采购、储存与分配，以满足对成品（以下称为formats）的离散且随机需求。目标是最小化系统总成本，涵盖采购、废料、储存、安全库存与准备成本，同时确保所有需求得到完全满足。值得注意的是，该模型不施加事前预算约束；相反，它支持基于成本相关准则对可行解进行战略性筛选的事后分析。与以消费者为中心的品种模型相比，BARS采用生产导向视角。它被构建为双目标非线性整数规划，双重目标为最小化不同输入items的数量与最小化系统总成本。采用ε-约束法（ε-constraint method）的改编版本以推导完整的非支配解集，从而有助于在items简化与运营成本之间进行知情权衡探索。ε-约束法是一种用于处理多目标优化问题的知名且被广泛研究的方法，它通过迭代求解模型，在每次复制中聚焦于一个目标函数并将其他目标约束至适当值。这为在复杂场景中实现最优权衡提供了通用且有效的方法。所提出的公式纳入了标准品种模型中通常缺失的特征，如多维item属性（例如宽度、克重、浓度）、随机且离散的需求以及非线性替代成本。此外，该模型假设单周期规划视野且无稳定的库存模式。为说明其适用性，BARS问题被应用于三个真实工业场景，展示该问题如何允许对跨越不同工业部门、各具特定需求与成本结构的异质性场景与现实条件进行建模。在第一个案例研究（即药品二级纸板）中，挑战在于管理药品所需的各种纸板包装formats。快速换模、精度需求以及减少浪费的需要驱动BARS优化输入品种，同时平衡机器准备成本与采购效率。第二个案例研究（即高级定制皮革）涉及昂贵且稀缺的原材料，采购对质量与可追溯性高度敏感。BARS方法支持选择最优皮革尺寸组合以降低物料浪费与成本，尽管缺乏数量折扣且提前期较长。第三个案例研究（即药品活性成分）是化学密集型部门，具有储存约束、冷藏需求与高质量标准，使高效资源尺寸确定至关重要。BARS帮助确定最佳成分尺寸集合以满足不确定需求，同时管理变质风险并最小化成本。尽管案例研究之间存在明显差异，该问题在所有场景中均被证明是有效且有用的决策支持工具，突显了实现经济优势与权衡的成本效益解。本文其余部分组织如下。第2节概述新问题公式化的背景与动机。第3节介绍BARS问题，第4节介绍所提出的求解方法。第5节呈现三个案例研究并讨论优化结果。最后，第6节总结全文并强调未来研究方向。
研究背景方面，降低制造系统中输入品种的多样性已被认为具有多项运营优势，简化物料配置可支持风险池化（risk pooling）、缓解提前期不确定性并提升物流与生产计划效率。然而此类简化策略可能增加物料浪费，尤其在产品品种繁多或转化过程缺乏柔性的情境中，过剩物料无法再利用，这一权衡带来经济与环境双重挑战。现有品种问题文献中，以零售为导向的公式以消费者为中心，优化资源与品种约束下的顾客选择与满意度；而以库存尺寸选择为代表的公式虽面向生产或运营，却未建模消费者选择行为。当前品种模型难以从生产者视角满足制造系统在技术与经济约束下的运营效率需求。为此，研究人员提出最佳资源尺寸分配（Best Allocation of Resource Sizes, BARS）问题，作为品种问题的一个变体，旨在解决资源分配中简化与效率之间的张力。该研究将BARS构建为双目标非线性整数规划，双重目标为最小化不同输入items数量与最小化系统总成本，并采用ε-约束法（ε-constraint method）的改编版本推导完整非支配解集。研究在三个真实工业场景中验证模型，分别涉及药品二级纸板、高级定制皮革与药品活性成分，论文发表于《INTERNATIONAL JOURNAL OF PRODUCTION ECONOMICS》。研究意义在于，BARS提供了决策支持工具，使管理者能够理解原材料尺寸数量相关的后果，并依据战略优先事项对可行解进行成本分析。
技术方法方面，研究人员将模型构建为双目标非线性整数规划，目标函数为最小化items数量与总成本，成本涵盖采购、废料、储存、安全库存与准备成本；采用改编的ε-约束法迭代求解，聚焦一个目标并将另一目标约束至适当值以推导完整非支配解集，其中安全库存项通过二阶锥（second-order cone, SOC）约束精确处理平方根；模型在Python 3.10中以Gurobi 9.5.1作为混合整数规划（MIP）求解器实现，运行于Intel? Core? i5-6300U四核2.40 GHz处理器；数据来源于与公司员工面对面会议及公司文档分析，并经三角验证，每个案例研究组建专家小组，共花费12小时收集与形式化输入数据。
研究结果方面，案例研究1（药品二级纸板）中，ε-约束算法检测到3个非支配点，采购与准备成本对总成本影响最大，两项时达60.99%，十三项时达46.62%；超过五项后增加items不再经济，因准备成本超过废料成本，管理上需对准备流程进行干预以降低成本。案例研究2（高级定制皮革）中，items数不超过5时产生非支配点，选择6项并最小化总成本导致被支配点；废料成本影响最大，单项时达56.69%，采购与储存成本亦有显著影响；管理上应针对储存、采购或废料成本干预，建议多样化采购items数量并使原材料尺寸尽可能接近产品尺寸以降低废料成本。案例研究3（药品活性成分）中，每个可能的items数量选择均导致非支配点，非支配集由6个点组成；废料成本影响最大，单项时达94%，增加items数量总是降低总成本，因废料成本显著下降，从94%降至79.8%，超过储存成本上升；管理上需主要干预废料成本，但因原材料不可回收且储存条件敏感，干预潜力有限，此处模型主要作为成本分解工具而非权衡分析器。
讨论部分总结，本文应对在无法再利用原材料尺寸与批次需求之间剩余物料的情境下，最小化原材料管理复杂性同时减少废料的工业挑战，并考虑采购、储存、库存、安全库存与机器准备等相关成本因素。研究提出BARS问题作为新颖优化挑战，构建为双目标非线性整数规划并采用改编ε-约束法求解。值得注意的是，在双目标模型中，储存与安全库存成本均随所选items数量减少而下降，因其与品种减少目标同向变动，故从不与之冲突，不产生权衡，不影响帕累托前沿。模型在三个真实案例研究中测试与验证，各场景例证了复杂、随机与多维决策问题，强化了对平衡成本效率与运营灵活性的专用优化问题的需求。模型提供决策支持工具，可对总成本或特定成本项施加限制并分析可行解。跨三个案例研究，最优品种策略取决于主导成本成分：准备成本占优时（二级纸板）宜取少量尺寸，废料成本占优时（高级定制皮革与药品活性成分）宜扩大品种以匹配原材料尺寸与需求。BARS不规定通用答案，而是使各场景的成本结构显性化，让管理者定位最符合其战略优先事项的配置。研究局限在于所包含的特定成本成分及模型假设（如废弃物料不可回收）；未来发展方向包括扩展模型以纳入额外成本项、开展敏感性分析评估不同成本项权重变化的影响，以及由相关公司直接实施该模型。研究结论部分翻译如下：本文应对在无法再利用原材料尺寸与批次需求之间剩余物料的情境下，最小化原材料管理复杂性同时减少废料的工业挑战，同时考虑采购、储存、库存、安全库存与机器准备等相关成本因素，并旨在满足产品实际市场需求。为解决这些问题，研究提出品种问题的一个变体，即最佳资源尺寸分配（BARS）问题，将其作为新颖优化挑战引入。目标是最小化作为过程输入的采购items数量，探索减少原材料尺寸的成本影响。总成本包含不同成分，受原材料数量与尺寸影响各异。该问题被建模为双目标非线性整数规划，同时考虑items数量最小化与所考虑的不同成本成分，并采用改编的ε-约束法求解。值得注意的是，在旨在最小化成本与原材料尺寸数量的双目标模型中，储存与安全库存成本均随所选items数量减少而下降：因其与品种减少目标同向变动，故从不与之冲突，不产生权衡，不影响帕累托前沿。所提出的模型已在三个真实案例研究中测试与验证，分别涉及药品二级纸板、高级定制皮革与药品制造活性成分三个不同工业部门，部门间在供应商数量折扣可得性与各成本成分对总成本影响方面存在差异。这些案例研究共同证明了BARS模型跨多样工业领域的实用相关性与适用性。每个场景例证了复杂、随机与多维决策问题，强化了对平衡成本效率与运营灵活性的专用优化问题的需求。在此情境下，模型提供决策支持工具，使管理层能够理解原材料尺寸数量相关的后果。例如，依据战略目标，可对总成本或特定成本项施加限制，并按可采购items集合分析可行解；仍可理解在可用资源与当前流程下某些成本项如何降低、流程如何更高效。跨三个案例研究，最优品种策略取决于主导成本成分：准备成本占优时（二级纸板）宜取少量尺寸，废料成本占优时（高级定制皮革与药品活性成分）宜扩大品种以匹配原材料尺寸与需求。更广泛的启示是，BARS不规定通用答案，而是使各场景的成本结构显性化，让管理者定位最符合其战略优先事项的配置。研究局限在于分析所包含的特定成本成分，此外模型应用了假设，如废弃物料不可回收或问题中定义的其他假设；然而求解问题所用输入数据真实，结果与所考虑工业情境一致。未来发展方向旨在扩展模型以纳入额外成本项，因双目标模型在此方面灵活；进一步敏感性分析可评估不同成本项权重变化时不同items集合的影响；最后，模型可由相关公司直接实施，因其为可访问且直接的工具，可随时整合入现有流程，为分析不同原材料采购选择对成本及生产方式的影响提供简单有效的解决方案。
