一种基于增强物理信息的神经网络方法，该方法具有可训练的缩放功能，适用于非线性动态分析

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：An augmented physics-informed neural network approach with trainable scaling for nonlinear dynamic analysis

本文提出非线性振动递进PINN（NVS-PINN）方法，通过引入时间段内可训练缩放参数和双曲正切硬约束，有效解决强非线性、阻尼及时空耦合的动态系统问题。在三个验证案例中，该方法显著降低最大相对误差（达82.6%），且时间间隔越小预测越准。

　　

杨志成|赖秀凯|陈兆林|傅继阳

中国广东省广州市中 Kai 农业与工程大学城乡建设学院，邮编 510225

摘要

非线性动态问题在工程应用中无处不在，准确求解其控制方程对于理解系统行为至关重要。物理信息神经网络（PINNs）作为一种新的计算范式，已被用于求解偏微分方程。然而，传统的 PINNs 在预测受强非线性、阻尼和时空耦合影响的动态系统的精确解方面存在困难。为了解决这一挑战，本文提出了一种非线性振动步进 PINN（NVS-PINN）方法，用于分析动态系统的复杂非线性行为。该方法在每个时间段引入一个可训练的缩放参数，以自适应地调整网络输出。此外，采用双曲正切函数作为硬约束，以确保网络输出始终满足非线性动态系统的初始和/或狄利克雷边界条件。通过三个示例进行验证，包括单自由度参数化杜芬振子、双自由度非线性阻尼振动系统和受风荷载作用的非线性弹性圆拱。数值结果表明，NVS-PINN 方法能够准确预测长时间的非线性振动响应，包括复杂的多稳态极限环、逃逸运动和风诱导振动。对于杜芬振子，NVS-PINN 方法的平均相对误差为 $5.3444\times {10}^{?3}$；对于具有阻尼的强非线性系统，平均相对误差为 $4.9573\times {10}^{?4}$。对于受风荷载作用的弹性拱，NVS-PINN 中引入的可训练缩放参数将最大相对误差降低了约 82.6%。此外，使用更小的时间间隔可以提高网络精度。

引言

随着计算机技术的快速发展，机器学习技术已在科学和工程研究中得到广泛应用（Shehadeh 等人，2024；Shehadeh 和 Alshboul，2025；Cong 等人，2025）。在科学计算中，人工神经网络和深度学习方法已成为求解偏微分方程（PDEs）的有效工具，这种方法通常被称为物理信息神经网络（PINNs）（Raissi 等人，2019；Karniadakis 等人，2021；Huang 等人，2025）。PINNs 将物理信息（包括 PDEs、边界条件和初始条件）作为正则化项整合到损失函数中。通过严格的训练过程，PINNs 确保物理约束得到近似满足，从而使网络能够学习从时空域到 PDEs 解的映射。

迄今为止，PINNs 已广泛应用于各个工程领域（Bai 等人，2023；Costabal 等人，2024；Zhang 等人，2022, 2025；Jeong 等人，2023, 2025；Sun 等人，2023；Wang 等人，2022；Li 和 Lee，2021；Batuwatta-Gamage 等人，2022；Hu 等人，2023；Lu 等人，2025）。Mao 等人（2020）研究了使用 PINNs 近似欧拉方程来建模高速空气动力学流动的有效性，并在一维和二维域中解决了正向和逆向问题。Haghighat 等人（2021）将动量平衡和本构关系纳入 PINNs，用于固体力学中的反演和替代建模。Liu 等人（2020）开发了一种基于 PINN 的通用本构模型，用于分析软生物组织。Chen 等人（2020）将 PINNs 应用于光子超材料和纳米光学技术中的逆散射问题求解。Niaki 等人（2021）利用 PINNs 研究了在高压釜中固化过程中复合材料的热化学演变。此外，Yan 等人（2022）提出了一种结合 PINNs 和极端学习机的方法，用于解决涉及板和壳结构的线性弹性问题。Sarma 等人（2024）提出了一种基于 PINN 的新框架，用于模拟具有不连续系数的椭圆界面问题。

关于 PINNs 在结构动力学中的应用，作者（Chen 等人，2024, 2025）最近引入了先进的时间推进方法（即 AT-PINN 和 AT-PINN-HC），用于分析结构线性振动，这些方法可以有效求解长时间模拟中的时变线性 PDEs。他们的框架在神经网络中使用了正弦激活函数，因为线性振动解具有周期性。然而，当应用于结构非线性振动时，这种方法会遇到挑战，因为非线性振动可能表现出复杂的周期性、伪周期性、分叉和突变现象。正弦函数及其导数具有固有的周期性，不足以捕捉这些非线性行为。此外，AT-PINN 和 AT-PINN-HC 中使用的迁移学习技术不适合分析结构非线性振动，因为相邻时间段之间的非线性振动响应可能存在显著差异。这种显著的变化限制了迁移学习在改进此类系统训练过程中的有效性。

为了增强 PINNs 的能力，Liang 等人（2024）提出了一种结合傅里叶变换的新的物理信息深度学习方法，用于在频域求解 PDEs，从而缓解了神经网络在模拟多频函数时的谱偏差问题。Bai 和 Song（2023）建立了一个基于 PINNs 的机器学习框架，用于评估首次通过可靠性。Tan 等人（2024）设计了一种基于 PINN 的方法，用于预测单变量边缘板的动态响应，包括线性、非线性振动和拍动现象。Xiao 等人（2025）引入了一种无网格 Runge?Kutta PINN 方法用于结构分析，该方法可以离散化时间域以降低输入维度。Daw 等人（2022）还提出了一种新的进化采样算法，在基准 PDEs 上表现出更好的性能、更快的收敛速度和更高的样本效率。Farkane 等人（2025）提出了一种基于 PINN 的自适应观测器（APINN-Obs），用于非线性系统中的精确状态估计。

此外，Su 等人（2024）提出了一种基于显式时域方法的 PINN，用于预测非线性系统的动态响应。在这种深度学习框架中，训练了一个轻量级的长短期记忆模块来学习恢复力的非线性演化机制，同时使用单个卷积层模块来反映主结构的线性演化机制。Hao 等人（2024）还引入了一种保持结构的 PINN，用于求解具有周期性边界的时间依赖性 PDEs，这使得可以将周期性条件作为自然神经网络输出，并提高训练精度。Li 等人（2024）使用四种高精度 PINN 策略解决了与摩擦引起的振动相关的非光滑动态问题，即单 PINN、双 PINN、高级单 PINN 和高级双 PINN。尽管上述研究对 PINNs 在解决结构动力学问题方面做出了重要贡献，但在处理具有强非线性的高阶 PDEs 时仍存在局限性。

为了提高 PINNs 的预测精度，实施了各种增强策略，其中硬约束技术受到了广泛关注。使用标准 PINN 方法时，将 PDEs、边界条件和初始条件的残差结合为损失函数，这被称为软约束。与软约束不同，提出了一些硬约束，以使网络输出满足边界和初始条件（Deng 等人，2024；Lu 等人，2021）。Sukumar 和 Srivastava（2022）生成了近似距离函数（ADF），以在复杂几何形状上强制施加非均匀狄利克雷、诺伊曼和罗宾边界条件。这种方法可以通过消除与边界条件相关的建模错误来简化网络训练。Wang 等人（2023）开发了一个具有精确位移边界条件和张量分解的 PINN 框架，用于分析固体力学问题。他们还采用了最小功原理来制定损失函数，可以显著减少训练时间。

尽管 PINNs 在求解 PDEs 时表现出显著的效率，但在分析涉及复杂多阶导数、强非线性和阻尼效应的非线性动态问题时，PINNs 仍然面临挑战。据作者所知，关于使用 PINNs 解决高阶、强非线性 PDEs 的研究非常有限。一个值得注意的例子是 Linka 等人（2022）的工作，他们开发了一种基于贝叶斯的 PINN 方法来分析 COVID 爆发的非线性动态。为了克服标准 PINN 方法在结构非线性动力学方面的局限性，本研究旨在提出一种 PINN 增强方法，用于研究各种非线性振动系统的动态行为。示例包括单自由度杜芬振子、双自由度非线性阻尼振动系统和非线性弹性圆拱系统。还全面讨论了时间步进技术、硬约束和可训练缩放参数如何有助于提高预测结果的准确性。

标准 PINN 与硬约束

PINNs 的基本原理（Raissi 等人，2019；Karniadakis 等人，2021）基于我们研究中的先验知识，其主要框架在图 1 中简要介绍。在该图中，$D(s,?$ 表示神经网络的输出，$?$ 是网络的一组可训练参数。$D(s,?$ 是一个连续可微函数，其关于变量 s 的导数可以通过自动微分技术获得。

在标准 PINN 中

数值实验

在本节中，应用 NVS-PINN 方法求解各种非线性系统的控制方程，即（i）单自由度杜芬系统，（ii）双自由度非线性系统，以及（iii）连续弹性拱结构。在后续分析中，除非另有说明，否则使用前馈全连接神经网络。选择双曲正切函数作为神经网络中的激活函数，这是一个合适的激活函数

结论

本文提出了一种新的 PINN 增强方法，通过在每个时间段引入一个可训练的缩放参数来自动调整网络输出，从而求解非线性动态问题。该方法适用于单自由度和多自由度非线性系统，例如强非线性杜芬振子、双自由度非线性振动系统和受风荷载作用的连续弹性拱。采用双曲正切函数作为硬约束

CRediT 作者贡献声明

杨志成：撰写——原始草案、软件、方法论、研究、概念化。赖秀凯：撰写——审稿与编辑、监督、方法论、研究、概念化。陈兆林：撰写——审稿与编辑、验证、方法论、研究、概念化。傅继阳：撰写——审稿与编辑、方法论。

写作过程中生成式 AI 和 AI 辅助技术的声明

在准备本工作时，作者使用了 ChatGPT 来提高手稿的可读性和语言表达。使用该工具后，作者根据需要审查和编辑了内容，并对出版物的内容负全责。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本工作得到了 国家自然科学基金（项目编号：52408165、12372024 和 12302228）以及 香港研究资助委员会的主题研究计划（项目编号：T22-501/23-R）的支持。同时，也感谢 中国农业农村部岭南特色食品绿色加工与智能制造重点实验室的财政支持。