受NTRU算法启发的基于块的图像加密方法，该方法利用自逆矩阵来实现加密过程

《Journal of Information Security and Applications》：Block-based image encryption inspired by NTRU using self-invertible matrices

数字图像加密面临计算复杂度高和适用性有限的问题，本文提出基于NTRU的自逆矩阵块加密方法，通过双模数架构（p=256，q大素数）实现高效加密解密，利用自逆矩阵避免 costly矩阵求逆，并通过实验验证其在统计安全性和实时性上的优势。

　　

阿马尔·阿里·尼阿马

伊拉克纳杰夫库法大学计算机科学与数学学院

摘要

在当今的通信系统中，数字图像的安全传输和存储是一个严重的问题，特别是在国防、医疗保健和监控等领域。现有的图像加密方法，如传统的基于多项式的NTRU（N次截断多项式环单元）密码系统，通常存在计算复杂度高或对大规模图像数据适用性有限的问题。为了解决这些限制，我们提出了一种基于块的图像加密方法，该方法受到NTRU密码系统的启发，并适应了矩阵代数以提高效率和安全性。本文的主要贡献是用模环上定义的自逆矩阵替换了传统多项式环中的运算，从而能够以安全的方式对灰度图像进行块级加密。所提出方案的关键生成过程首先在$p=256$q框架下创建一个秘密的自逆矩阵及其对应的逆矩阵。加密过程通过一系列结构化的矩阵运算对每个8×8的图像块进行加密，其中像素域为Z₂₅₆，加密空间为一个大的素数域Z_q。在解密阶段，秘密密钥的自逆性质消除了昂贵的矩阵求逆需求，同时确保了图像的准确恢复。广泛的实验表明，该系统具有强大的统计安全性、高熵、最小的像素相关性以及对已知攻击的出色抵抗力。此外，由于计算效率高和使用了固定大小的块级模运算，该方案非常适合实时图像保护。这项工作提供了一种实用、安全且计算效率高的传统图像加密方法的替代方案，在需要可靠的图像安全性和速度的情况下可能带来显著的好处。

引言

数字通信、多媒体共享和物联网（IoT）的快速发展加剧了对安全高效图像加密的需求。与文本不同，数字图像包含大量的数据冗余、强烈的像素相关性以及较大的文件大小，这可能会降低RSA（Rivest-Shamir-Adleman）[1]、DES（数据加密标准）[2]和AES（高级加密标准）[3]等传统加密算法在某些场景下的有效性[4]、[5]。在远程医疗成像、军事监控和安全视频会议等实时应用中，加密系统必须确保强大的安全性，同时保持极低的计算开销，以避免传输延迟和处理瓶颈。

在过去的十年中，提出了多种图像加密技术，包括基于混沌的算法[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、椭圆曲线密码学（ECC）[12]、[13]、[14]、量子图像加密[15]、[16]、[17]、DNA编码[18]、[19]、动态S-box生成方法[20]、[21]以及基于格的方法（如NTRU）[22]、[23]。基于混沌的方案提供了强大的混淆和扩散特性，但通常需要多次迭代轮次，导致运行时间较长且对大型图像的可扩展性有限。基于ECC的技术提供了强大的密码安全性，但涉及计算成本较高的模运算，限制了它们在低功耗或嵌入式设备中的应用。量子图像加密目前仍主要处于实验阶段，不适用于当前的实时应用。基于脱氧核糖核酸（DNA）的编码方案能够实现高并行性并采用生物启发式操作；然而，它们通常会导致显著的计算开销、由于冗余数据表示而增加的内存使用量，以及当应用固定映射规则时减少的密钥空间，这使得它们不太适合实时或资源受限的环境。动态S-box生成可以增强替换安全性，但可能会引入可扩展性瓶颈和增加的运行时间开销。基于格的密码系统（如NTRU）以其速度和后量子抵抗能力而闻名；然而，它们依赖于多项式卷积和求逆操作，引入了计算复杂性，并不自然地与图像数据的矩阵结构相匹配[23]。

尽管取得了这些进展，但仍需要轻量级的对称加密方案，这些方案结合了强大的统计安全性和低计算开销，用于实时图像保护。特别是，那些利用自逆矩阵进行块级加密的方法尚未得到充分探索，尽管它们可以自然地匹配图像的二维结构，在解密过程中避免昂贵的求逆操作，并支持并行化的块处理。为了满足这一需求，我们提出了一种受NTRU结构方法启发的对称块级图像加密方案，但完全使用模矩阵代数重新进行了表述。该方案采用双模架构，其中$p=256$是灰度图像的像素范围，使用较大的素数q进行密码掩码处理。自逆矩阵降低了处理成本，消除了解密过程中进行求逆的需求。每次加密时随机选择的辅助矩阵提供了额外的混淆和扩散效果，使得密文难以通过统计、暴力或差分攻击破解。所提出的加密方案也适用于实时和嵌入式平台，因为它可以利用固有的并行性并且轻量级。本文的主要贡献包括以下几点：•

一种新颖的NTRU密码系统改编方案，用自逆矩阵替换多项式环，以实现图像块的加密和解密，而无需进行昂贵的逆运算。

•

一种与像素级表示（256级灰度）相匹配的双模加密框架（$p=256$

），并允许使用较大的素数模（p???q）进行密码掩码处理。

•

一种基于模行列式和矩阵伴随矩阵的安全密钥生成方案，生成较大的密钥空间并增强了对暴力攻击的密码抵抗力。

•

通过熵、相关性分析、直方图均匀性、峰值信噪比（PSNR）、结构相似性指数（SSIM）和NIST SP 800-22测试套件（NIST）进行全面的安全性验证，以确保密文的统计稳健性和不可预测性。

•

使用MATLAB在基准灰度图像上验证了实时适用性和实现效果，展示了低计算成本、强大的加密质量和实际应用的可扩展性。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了相关工作概述。第3节概述了必要的预备知识。第4节详细介绍了所提出的图像加密方案，第5节提供了实现示例。第6节进行了安全性分析并展示了实验结果。最后，第7节总结了研究发现。

相关工作

图像加密研究涵盖几个类别，每个类别都有其独特的优点和缺点。最相关的方法包括基于混沌的方法、基于ECC的方案、量子图像加密、基于DNA的编码、基于格和NTRU的方法以及其他混合加密技术。基于混沌的方法利用混沌系统对初始条件的敏感性，实现强大的混淆和扩散效果。Hoang [24]开发了一个基于混沌映射的框架，用于同时加密

预备知识

为了提供我们提出的方案所需的数学概念，本节首先介绍了原始的NTRU密码系统（第3.1节），然后详细介绍了自逆矩阵的理论和特性（第3.3.1节）。

受NTRU启发的基于矩阵的图像加密方案

在本节中，我们通过修改NTRU密码系统的结构来提出一种对称图像加密方案，将其调整为模矩阵代数。该方案旨在通过使用双模框架对块矩阵进行操作来实现灰度图像加密。较小的模$p=256$与像素强度值对齐，而较大的素数模q通过模运算确保了安全的掩码处理。使用自逆矩阵可以加快解密速度并提高效率。

示例

假设两个用户Alice和Bob采用所提出的方法来加密一张灰度图像，具体来说是大小为256×256的Lena图像。他们同意使用矩阵形式的NTRU密码系统，因为其效率高且具有抗量子攻击能力。

首先，Alice将Lena图像的像素值划分为8×8的像素块。然后对这些块进行处理，并将其转换为适合使用基于矩阵的NTRU方案进行加密的矩阵表示。

安全性分析

使用多种标准对所提出的加密方案的效率和可靠性进行了评估。这些指标应用于来自SIPI数据库[38]的标准灰度图像（Airplane、Baboon、Lena、Peppers和Sailboat），以展示该密码系统的性能。所有实验都在一台配备了Intel Core i7-1065G7中央处理单元（CPU）的笔记本电脑上进行，该CPU的运行速度为1.30吉赫兹（GHz），随机访问内存（RAM）为8吉字节（GB）。

结论

这项工作描述了一种基于NTRU非对称密码系统变体的新型图像加密范式，提高了计算效率。所提出的方法使用自逆矩阵代替多项式环技术，使得执行密码计算变得更加容易。此外，以矩阵为中心的结构方法提供了设计灵活性优势，包括密钥求逆、模运算中的并行性以及针对块级设计的可行性。

CRediT作者贡献声明

阿马尔·阿里·尼阿马：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、资源、项目管理、方法论、调查、形式分析、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。