基于嵌套自适应克里金方法的复杂系统可靠性分析及计算资源分配

《Reliability Engineering & System Safety》：Nested adaptive Kriging-based reliability analysis and computational resource allocation for complex systems

可靠性分析，嵌套Kriging，系统分解，资源分配，自适应建模

　　

叶克伟|马晓冰|王涵

北京航空航天大学可靠性与系统工程学院，中国北京100191

摘要

由于多个子问题的集成、多学科耦合、高维特性以及资源不兼容性，复杂工程系统的有效可靠性分析面临重大挑战。这些系统通常被分解为多个级联子系统，从而能够进行并发分析以管理这种复杂性。基于替代模型的技术被广泛用于减轻耗时模拟的计算负担。本研究提出了一种基于嵌套自适应克里金（Kriging）的方法，通过将系统分解与自适应替代模型方法相结合，用于复杂系统的可靠性分析。该方法在多层框架内运行，并分为两个阶段：顺序更新阶段和资源分配阶段。在第一阶段，开发了一种高效的基于可靠性的采集函数来指导模型更新，并推导出其封闭形式表达式。在第二阶段，引入了一种考虑模拟成本和建模成本的成本效益策略，以确定每次迭代应更新哪些模型组合。最后，通过两个数学示例和两个实际应用验证了所提出方法优于基准方法和策略。

引言

由于高性能要求和恶劣的任务条件，工程系统通常涉及多个子问题的集成、多学科耦合和多尺度分析[[1], [2], [3]]。对于这些系统，进行物理实验往往具有挑战性且经济上不可行。随着先进计算能力和数字孪生技术的发展，计算机模拟越来越多地作为物理实验的替代手段，以降低开发成本。然而，不同子系统、学科和尺度之间存在不确定性，这对复杂系统的可靠性分析提出了重大挑战。为了进行准确的可靠性分析，计算机模拟的计算成本往往过高。替代模型使用有限的样本构建数学模型，可以显著提高效率，并已被广泛用于解决可靠性问题，包括响应面方法[4,5]、支持向量机[6,7]、神经网络[8,9]、克里金[10], [11], [12]、多项式混沌展开[13], [14], [15]以及多项式混沌-克里金[16,17]。

当输入维度或结构复杂性较高时，传统的基于替代模型的可靠性分析通常会面临效率挑战。已经开发了几种策略，包括筛选、空间缩减、映射和分解来解决这些效率问题[18]。筛选消除了不重要的变量，并保留了重要变量，例如通过主成分分析[19]和局部及全局敏感性分析[16,20,21]识别的变量。空间缩减压缩了设计空间并专注于最具吸引力的区域[22]。映射将相关变量转换为简化集，例如活跃子空间方法[23]和自动编码器[24]。筛选和空间缩减可能会牺牲精度并忽略关键变量或最优区域，而映射可能会遇到发散问题。分解将复杂系统重新表述为多个子系统，并整合这些子系统的分析结果，这被认为是有前景的[25]。主要原因是分解允许并行建模和分析子系统，减少了每个子系统的输入维度而不影响精度，并便于参数研究中的错误定位和模块化[18,25]。

通常，分解后的系统被称为分层（嵌套或多层）系统，其分解原则可以归类为学科领域[26,27]、物理结构[28,29]、尺度大小[2,30,31]和功能属性[32]。近年来，分解在复杂系统的可靠性分析中得到了越来越多的应用。例如，卢等人[1]提出了一种用于低循环疲劳下航空发动机涡轮叶片概率分析的分解协调克里金建模方法。高等人[28,33]通过集成最小绝对收缩和选择算子进一步改进了这种方法。沈等人[34]开发了一种分层贝叶斯支持向量回归模型，用于处理小数据集的可靠性问题。邓等人[35]提出了一种基于克里金的分层协作方法，结合了多维Copula函数，用于高压涡轮冷却叶片的可靠性评估。总体而言，这些方法通过引入分解策略提高了复杂系统可靠性分析的效率。

基于替代模型的可靠性分析通常结合了先进的自适应策略来提高效率。自适应策略的核心是使用基于可靠性的采集函数来查询高质量训练样本。已经开发了许多采集函数，如U函数[36]、预期可行函数（EFF）[37]、H函数[38]、最小改进函数（LIF）[39]、基于可靠性的预期改进函数（REIF）[40]、预期综合误差减少（EIER）函数[41]、信息熵（IE）函数[42]和KO函数[43]。与一次性基于替代模型的方法相比，这些函数可以更有效地和灵活地利用样本信息[44]。然而，这些函数通常仅适用于黑盒系统，而不适用于分解后的分层系统，因此在高维场景中表现不佳。因此，一些研究人员在分层框架内探索了自适应策略。例如，陶等人[45]建立了一个嵌套贝叶斯优化框架，并提出了预期改进（EI）和知识梯度（KG）函数的扩展形式。王等人[46]进一步推导了分层框架内嵌套EI函数的封闭形式表达式。徐等人[47]和刘等人[48]分别提出了均方误差（MSE）函数的嵌套形式和集成MSE函数，用于多级不确定性量化。对于分层可靠性分析，黄等人[49]提出了一种多层替代控制（MSC）函数，用于量化多层替代模型的总熵减少量。然而，该函数汇总了来自不同替代模型的熵减少量，忽略了模型不确定性的不同全局贡献。叶等人[50]首次提出了分层框架下的U函数扩展形式，称为NU函数。不幸的是，NU函数仅适用于上层函数评估成本较低的双层系统。本研究旨在将NU函数扩展为更通用的形式，使其可以应用于分层框架而不会受到计算成本的限制。

在分层框架内的自适应替代建模不可避免地面临资源分配问题，即确定在迭代过程中应更新哪些模型组合。由于独特的功能特性，将均匀的计算资源分配给每个子系统并不是最佳选择。对于不确定性量化，通常使用Sobol指数[31,51]来识别应在多级系统中更新的模型。然而，Sobol指数量化的是子系统细化对减少全局输出方差的贡献，而不是故障概率估计中的误差。此外，由于模拟工具和学科的差异，不同子系统的模拟成本也可能有所不同。因此，有必要将模拟成本纳入资源分配决策。Sankararaman等人[52]在固定总预算下优化了资源分配，以减少多层系统中的不确定性。Lee等人[53]提出了一种新的采样策略，用于自适应梯度增强克里金，以确定是否包含梯度，同时考虑了模拟和建模成本。然而，这些先进策略很少被深入集成到分层系统的自适应替代建模中。

本研究提出了一种基于嵌套自适应克里金（AK）的方法，用于复杂系统的可靠性分析，该方法结合了分解、AK方法和资源分配策略。该方法包括两个阶段：（1）顺序更新和（2）资源分配。假设分层系统中的每个子系统都是黑盒、确定性的并且计算成本较高。主要贡献总结如下：

• •
  为具有分层特性的复杂系统的可靠性分析建立了一个嵌套自适应克里金框架。所提出的框架可扩展到更高层次，并显著提高了分析效率。
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  在分层框架内提出了一种通用的NU函数，用于嵌套克里金模型的顺序更新，并推导出其封闭形式。此外，还开发了一种顺序优化算法来识别候选池中的最优点。
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  通过考虑模拟成本和模型对准确性的贡献，开发了一种成本效益资源分配策略，以确定应更新哪些模型组合。
• •
  进一步改进了该策略，以应对建模成本过高的情况。

本文的其余部分组织如下。第2节阐述了分层系统的可靠性问题。第3节详细介绍了用于可靠性分析的嵌套自适应克里金框架。第4节通过两个数学示例和两个工程应用案例全面展示了所提出方法的性能。第5节提出了结论。

章节片段

背景和问题表述

表现出多种物理现象、多阶段任务流和多尺度特征的复杂系统通常被分解为由多个子系统组成的分层系统。本研究使用两个代表性示例说明了分解过程。第一个示例涉及具有多尺度结构特性的混合碳纤维增强塑料（CFRP）接头的不确定性分析[2]。

提出的方法

在本节中，介绍了所提出的NAK方法，该方法主要包括两个关键阶段：顺序更新和资源分配。首先，介绍了嵌套克里金模型作为基础，并使用数学示例说明了其优越性。接下来，详细介绍了嵌套克里金模型的顺序更新，包括U函数的扩展形式、其封闭形式的推导以及用于查询的顺序优化算法

数值示例

使用几个示例来展示所提出方法的性能。对于所有示例，原始MC结果被视为真实值。第一个示例主要用于说明所提出的GNU函数的优越性。基准函数包括AK方法（EFF函数[37]、U函数[36]、H函数[38]、REIF函数[40]和KO函数[43]）和NAK方法（EFF函数、H函数和MSC函数[49]）。在应用EFF时

结论

涉及多个子系统组装、多学科耦合和高维特性的复杂系统的可靠性分析仍然是结构可靠性工程中的一个主要挑战。因此，本研究提出了一种启发式和实用的算法，该算法结合了分解、先进的基于AK的方法和资源分配，用于复杂系统的可靠性分析。主要结论总结如下。

• (1)
  本研究建立了一个嵌套

资助

这项工作得到了中国国家自然科学基金（项目编号72201019）、可靠性与环境工程实验室科学技术基金（项目编号614200420240301）以及中央高校基本研究经费的支持。

数据可用性

支持本研究发现的数据可在合理请求下从相应作者处获得。

CRediT作者贡献声明

叶克伟：撰写——原始草案、可视化、软件、项目管理、方法论、形式分析、数据管理、概念化。马晓冰：撰写——审阅与编辑、验证、资源获取。王涵：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资源获取、概念化。