结合实用校正技术的能量稳定解耦数值方法：用于两相Darcy渗流体系

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Energy-stable decoupled numerical approximation with practical correction technique for the binary phase field Darcy fluid system

本文综述提出了一种针对Cahn-Hilliard-Darcy (CHD) 两相渗流系统的高效数值格式。该方案采用新型标量辅助变量(SAV) 与投影法相结合的技术，实现了完全解耦、二阶时间精度的线性求解，并保证了能量稳定。其特别适用于受限几何中的不可压缩两相流模拟，并通过校正步骤增强了算法的鲁棒性。

　　

Highlight

在本节中，我们利用两个与时间相关的辅助变量：r和q，将原文方程(1)–(4)转化为一种等价形式。这两个变量的定义如下：

r = E₁(φ) = ∫_ΩF(φ) dx,

q = 1, 且 q_t= 0.

由于r和q都是与时间相关的变量，我们只需给出其初始条件：r⁰= E₁(φ⁰) 和 q⁰= 1。随后，我们可以将原文方程组重铸为如下形式：

(ReDa/ξ) u_t+ α(φ) u = ??p ? (q ε^?1/We) φ ?μ,

?·u = 0,

ξ φ_t+ q ?·(φ u) = (1/Pe) ?μ,

μ = (r / E₁(φ)) F'(φ) ? ε²Δφ,

r_t= ∫_Ω(r / E₁(φ)) F'(φ) φ_tdx,

q_t= ∫_Ωq (?·(u φ) μ + (φ ?μ)·u) dx,

其中，该等价方程组依然满足能量耗散定律。

Numerical scheme

我们基于先前的工作构建了一个二阶精度格式，以高效求解耦合的相场变量、压力和速度。核心是利用SAV方法有效解耦变量并迭代更新相关量。在3.1节，我们将重点详细介绍基于Crank–Nicolson (CN) 格式处理线性项、以及显式Adams–Bashforth (AB) 格式处理非线性项的二阶时间离散方案。在3.2节，我们将讨论该方案的唯一可解性、能量稳定性以及引入的辅助变量校正技术。

Numerical examples

在本节，我们展示一系列二维和三维数值实验，以评估所提出方法的精度、能量稳定性及实际性能。控制方程在空间上采用标准有限差分法进行离散，并运用线性多重网格算法来加速收敛。对于变量φ、μ和p，我们在x方向施加周期性边界条件，而在y和z方向则施加齐次Neumann边界条件。通过这些基准测试（如相分离、粘性指进、界面夹断等），验证了本方法在复杂两相流模拟中的有效性和鲁棒性。

Conclusions

针对CHD系统，我们基于一种改进的SAV方法，提出了一种线性、完全解耦、二阶时间精度且能量稳定的数值格式。我们定义了两个辅助变量r和q，将原系统转化为等价系统。在计算过程中，辅助变量和非线性项均被显式处理，避免了不必要的计算负担。相场变量φ、辅助变量r和q、速度场u以及压力场p在整个逐步计算过程中被完全解耦。我们证明了该方法的唯一可解性和能量耗散特性。广泛的数值实验表明，该方法在二维和三维设置下均能准确、高效地模拟多种两相流动力学过程。此外，所引入的校正技术有效控制了辅助变量的数值漂移，进一步增强了算法的长期稳定性。