基于罚函数方法的二维周期性压电结构的扩展多尺度多贴片等几何分析

《Composite Structures》：Extended multiscale multi-patch isogeometric analysis for two-dimensional periodic piezoelectric structures based on penalty function method

针对二维周期性压电结构的高保真分析计算成本过高的问题，本文提出基于惩罚法的扩展多尺度多块异几何分析（EMs-MPIGA）方法，利用NURBS基函数描述微结构几何与力学行为，构建等效刚度、压电耦合及介电矩阵，通过多尺度计算实现高效宏观响应模拟，并通过数值验证验证了方法的准确性、可靠性和鲁棒性。

　　

李浩志|刘兆伟|于天堂|陈蕾蕾

中国南京河海大学工程力学系，211100

摘要

由于复杂的机电耦合和周期性微观结构异质性，对周期性压电结构进行高保真分析在计算上具有挑战性。使用单块建模的等几何分析（IGA）无法有效处理蜂窝状或晶格结构等复杂拓扑。为了克服这些挑战，本文提出了一种基于惩罚方法的扩展多尺度多块等几何分析（EMs-MPIGA），用于二维周期性压电结构。采用非均匀有理B样条（NURBS）基函数对单元格进行几何描述和力学模拟，以获得压电问题的数值异质性基函数。利用计算得到的异质性基函数构建单元格的等效矩阵，包括刚度、压电耦合和介电系统矩阵。此外，还应用降尺度计算来获得单元格的位移、电势和冯·米塞斯应力。通过多次多尺度模拟验证了所提出方法的准确性、可靠性和鲁棒性。

引言

智能材料在先进工业制造中发挥着关键作用，这主要归功于它们能够有效响应温度、压力以及电场和磁场等各种外部刺激[1]、[2]。这种独特的能力使它们能够满足多功能结构和组件的多样化需求。由于压电材料具有出色的机电性能，因此被广泛应用于传感器、执行器和换能器等功能性设备中[3]、[4]、[5]。高效准确地评估这些性能对于指导压电结构的设计、优化和制造至关重要。然而，这项任务面临重大挑战，因为宏观压电结构的力学特性不仅受微观结构的材料属性（如弹性、压电常数和介电常数）的影响，还受微观结构的几何形状（包括尺寸和轮廓）的影响[6]、[7]、[8]。因此，采用高效的方法来准确捕捉压电结构的力学特性至关重要。

有限元方法（FEM）作为连续介质力学中的主要数值技术，可以准确推导出宏观有效性能和微观应力及应变结果。然而，为了获得精确结果，必须使用比结构尺寸更小的细元素，这导致了对计算内存和时间的巨大需求。因此，开发准确高效的多尺度分析方法来模拟压电材料和结构的宏观和微观尺度响应至关重要。目前存在多种多尺度分析方法，其中由Babuska等人最初提出的多尺度有限元方法（EMs-FEM）最近受到了广泛关注[10]、[11]。该方法的核心思想是利用单元格的微观细节来构建宏观元素的基础函数，从而将原始的细网格问题转化为粗网格宏观问题，有效降低了计算成本。随后，张等人[12]引入了一种用于非均匀多孔介质的扩展多尺度有限元方法（EMs-FEM），该方法考虑了多维矢量的完整耦合效应，并能精确预测周期性结构的力学特性。EMs-FEM已成功应用于弹性[13]、[14]、弹塑性[15]、断裂力学[16]、非线性问题[17]、[18]和多物理场问题[19]、[20]等多种工程领域。

为了解决FEM的固有局限性，Hughes等人提出了等几何分析（IGA）[21]。该方法采用计算机辅助设计（CAD）基函数（如非均匀有理B样条（NURBS）作为FEM的形状函数[22]、[23]、[24]，并直接基于CAD模型进行数值分析[25]。IGA具有许多优点，如精确的几何描述、高阶连续性和简单的网格细化，这些优点共同减少了对外部复杂网格的依赖性，同时保持了几何精度[26]、[27]、[28]。自引入以来，IGA已迅速扩展到解决许多压电相关问题。例如，Bui[29]使用扩展IGA研究了压电材料中的二维动态和静态断裂问题。基于简单的一阶剪切变形理论，刘等人[30]在IGA框架内研究了两种智能压电功能梯度板的几何非线性固有频率、非线性静态弯曲和瞬态动态响应。徐等人[31]采用基于蒙特卡洛的IGA方案来研究压电结构振动分析中的不确定性量化。刘等人[32]引入了一种基于Catmull–Clark细分表面的等几何Galerkin方法来研究压电壳体的自由振动。

实际工程应用通常涉及复杂的几何结构。在IGA中，对复杂几何结构的建模需要使用多块技术，这会在耦合界面引入连续性问题。这就需要各种约束方法，如惩罚方法[33]、拉格朗日乘数方法[34]和Nitsche方法[35]。Mortar方法通过在耦合界面上引入拉格朗日乘数空间来施加界面约束，使得不匹配的离散化能够在一致的变分框架内耦合。与这些方法相比，惩罚方法通过在线性代数方程系统中添加惩罚项来施加界面连续性，而不会引入额外的自由度，因此实现起来更为直接。在本工作中，由于实施简单性，采用了惩罚方法，并通过适当的参数选择仔细检验了其数值稳定性。该方法已在多物理场问题中得到应用，特别是在压电和柔性电问题中[36]、[37]。

最近，夏等人[38]提出了一种扩展的多尺度IGA（EMs-IGA）方法，该方法利用NURBS基函数对细尺度单元格进行几何表示和力学模拟，以获得数值异质性基函数。通过利用这种基于NURBS的IGA框架，EMs-IGA在保持几何精度的同时提高了计算效率。本研究扩展了EMs-IGA，使其能够对二维周期性压电结构进行多尺度分析。主要贡献如下：

• •
  该方法将IGA与EMs-FEM方法结合，有效分析了复杂的周期性压电结构。
• •
  采用惩罚函数方法来确保单元格耦合边缘上的位移和电势的连续性。
• •
  使用计算得到的数值异质性基函数构建单元格的等效刚度、压电耦合和介电系统矩阵。
• •
  该方法通过结合宏观响应的放大计算和微观场变量的降尺度计算，实现了高效准确的多尺度压电分析。

本文的后续部分安排如下：第2节介绍了用于压电问题的多尺度多块等几何分析方法。第3节给出了放大和降尺度计算公式。第4节通过几个数值示例展示了所提出方法的准确性和有效性，第5节给出了结论。

节选

单元格的数值异质性基函数

对于多尺度分析而言，构建单元格的数值异质性基函数至关重要[39]。与基于FEM的多尺度方法不同，所提出的方法使用IGA框架对压电单元格进行表征，在给定边界条件下求解本构方程以获得数值异质性基函数。EMs-MPIGA方法通常用于线性和周期性边界条件。

放大计算

计算出数值异质性基函数后，下一步是使用这些计算得到的数值异质性基函数来获得单元格在微观尺度上的等效刚度矩阵。这个等效的全局矩阵对于使用EMs-MPIGA方法解决多尺度问题至关重要。等效全局矩阵的表达式为：

${\stackrel{?}{A}}_a={\left(N^{f_{}}\right)}^T{\stackrel{?}{A}}_f{N}^{f_a}$${\stackrel{?}{A}}_f$其中${\stackrel{?}{A}}_f$是一个块矩阵，包含了全局刚度矩阵以及直接和

数值示例

本节通过四个数值示例展示了所提出的EMs-MPIGA方法在二维周期性压电结构中的有效性。第4.1节和4.4节采用了2 × 2高斯求积规则，而第4.2节和4.3节在每个元素中采用了3 × 3高斯求积规则来积分弱形式。所有计算均使用MATLAB R2023b在配备AMD Ryzen 7 5800X（8核，3.8 GHz）处理器和64 GB RAM的台式机上完成。

结论

开发了一种用于二维周期性压电问题的扩展多尺度多块等几何分析（EMs-MPIGA）方法。该方法采用NURBS基函数进行几何表示和微观尺度单元格的空间离散化，并引入惩罚方法来确保不同块之间位移和电势的连续性。从微观尺度单元格获得的数值异质性基函数有效地传递了局部

CRediT作者贡献声明

李浩志：撰写——原始草案、可视化、验证、软件、方法论、研究、形式分析、数据整理。刘兆伟：撰写——审阅与编辑、验证。于天堂：撰写——审阅与编辑、验证、监督、概念化。陈蕾蕾：撰写——审阅与编辑、验证。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本工作得到了国家自然科学基金（项目编号：12502228）和中央高校基本科研业务费（项目编号：B240201184）的支持。对此表示衷心的感谢。