基于T-SVD的张量驱动模型降阶新方法及其在多维系统中的应用

《Automatica》：Data-driven model order reduction via T-SVD

本文系统阐述了基于T-乘积的张量动力系统（TPDS）数据驱动模型降阶（MOR）创新框架。通过引入T-平衡截断（T-BT）、T-平衡本征正交分解（T-BPOD）和T-本征系统实现算法（T-ERA）等新型算法，有效解决了传统向量化方法导致的高阶结构信息丢失问题。该研究为图像压缩、生物网络等多维数据处理提供了突破性技术路径，显著提升了计算效率与特征保持能力。

　　

Section snippets

Tensors

作为向量和矩阵的高维推广，张量是通过T-乘积运算实现多维数组代数拓展的基础工具。本文重点研究三维张量，记为 A ∈ R^n×m×s。

Data-driven model order reduction for TPDSs

我们考虑离散时间输入输出T-乘积动力系统（TPDS），其动力学方程为：

X(t+1) = A ? X(t) + ? ? U(t)

Y(t) = C ? X(t)

其中 A ∈ R^n×n×s为状态转移张量，? ∈ R^n×m×s为控制张量，C ∈ R^l×n×s为输出张量。模型降阶的核心目标是通过T-奇异值分解（T-SVD）截断奇异管，在保持系统关键动态特性的前提下实现维度压缩。

Numerical examples

所有实验均基于MATLAB R2021a平台，使用张量计算工具箱（Lu, 2018）在Intel i7-11370H处理器上完成。代码已开源发布于：https://github.com/ShenghanMei/DDMOR-TPDS

Discussion

针对彩色视频数据（Bengua et al., 2017）和高阶网络（Nie et al., 2021）等实际场景，需将框架拓展至高阶TPDS。通过定义高阶张量乘积运算（如基于离散傅里叶变换矩阵的 T ?_FS 操作），可建立更通用的多维系统降阶理论体系。

Conclusion

本文提出的T-BT、T-BPOD与T-ERA系列方法，通过T-SVD特性实现了TPDS的高效降阶，在保持精度的同时显著降低计算复杂度，为多维生物医学信号处理等领域提供了创新工具。