《Chinese Journal of Mechanical Engineering》：A Multi-objective Optimization Method for Cantilever Truss Structure Combining Modal Tracking and Dynamic Load Response
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本文针对工程中常见的空心悬臂桁架结构(HCTS)在动态载荷与振动响应耦合作用下的优化难题，提出了一种结合模态追踪(MT)和等效静载法(ESLM)的多目标拓扑优化方法。研究人员通过耦合特定阶次频率最大化和动态刚度最大化目标，构建了包含周期性制造约束的优化模型，并辅以形状优化。结果表明，在保持质量基本不变的前提下，优化结构的一阶和二阶频率分别提升了5.6%和11.6%，静态载荷下最大变形减小了32.3%，有效验证了该方法的工程适用性，为复杂工况下桁架结构的快速优化设计提供了新思路。
在机械工程和土木工程领域，桁架结构因其轻质高强的特点被广泛应用于大型建筑、桥梁和特种设备中。然而，工程中常见的空心悬臂桁架结构（Hollow Cantilever Truss Structure, HCTS）在工作中常常面临一个严峻的挑战：它们不仅需要承受自身和设备的巨大静载荷，还时常受到来自工作环境或操作过程的动态载荷冲击。这两种载荷的耦合作用，会引发结构的振动，如果结构的固有频率与外部激励频率接近，就可能发生共振，轻则影响精度，重则导致结构疲劳损伤甚至破坏。因此，如何设计出既能有效避开共振区间（即拥有较高固有频率），又能保持足够刚度以抵抗变形的HCTS，成为工程师们亟待解决的难题。传统的设计方法往往侧重于静态性能，对动态载荷的考量不足，而复杂的多目标优化模型又难以满足工程应用对快速响应的需求。正是在这样的背景下，一项旨在攻克这一难题的研究成果发表在《Chinese Journal of Mechanical Engineering》上。
为了高效解决HCTS的优化问题，研究人员发展了一套结合拓扑优化和形状优化的综合方法。该方法的核心技术流程包括：首先，通过振动实验获取结构的真实振动特性；其次，基于模态追踪（Mode Tracking, MT）技术锁定特定的结构振型，构建以该阶频率最大化为目标的优化模型；同时，基于等效静载法（Equivalent Static Load Method, ESLM）将给定的动态载荷转化为等效静态载荷，构建以整体刚度最大化为目标的优化模型；接着，对包含周期性制造约束的多目标拓扑优化模型进行归一化处理，将其转化为单目标优化问题求解；最后，根据拓扑优化结果提取主要传力路径，构建梁单元模型，并进一步通过基于图解静力学的形状优化对节点位置进行微调，最终通过有限元仿真验证优化结构的性能。
1. 优化方法
研究人员构建了一个以单元相对密度为设计变量的多目标拓扑优化数学模型。该模型同时追求特定阶次固有频率ωk的最大化和结构在动态载荷下应变能U的最小化（即刚度最大化）。通过引入权重系数，将多目标问题转化为单目标最小化问题Ω。模型中还集成了周期性制造约束，即要求结构由c个完全相同的单元周期性排列而成，这大大降低了制造难度。优化过程的关键在于灵敏度的计算，即目标函数对设计变量的变化率，研究人员给出了频率灵敏度和应变能灵敏度的详细表达式，为优化算法的迭代提供了方向。
2. 实验与建模
研究团队首先对现有的HCTS进行了振动实验，测量了其在激励下的振动响应，并识别出其一阶横向振动频率为1.4 Hz，二阶竖向振动频率为2.6 Hz。通过微分处理振动位移数据，得到了对接过程中的动态载荷历程。随后，建立了HCTS的精细有限元模型，该模型考虑了结构的实际边界条件，如旋转轴的固定约束和钢缆的拉索作用。仿真结果与实验数据吻合良好（质量误差5.0%，频率误差小于3%），验证了模型的准确性，同时也确认了原结构存在固有频率偏低的问题。以此模型为基础，定义了用于拓扑优化的设计域。
3. 结果与讨论
3.1. 耦合动态载荷的影响
比较了仅考虑静态载荷和同时考虑动态载荷（通过ESLM实现）两种条件下的拓扑优化结果。结果表明，引入动态载荷后，优化结果中材料更倾向于向结构前端分布，根部框架尺寸明显加厚，形成了更复杂的交叉支撑路径，这表明考虑动态载荷对于保证结构在振动过程中的前端刚度至关重要。
3.2. 周期性制造约束的影响
分析了单元数量c从2到7变化时对优化结果的影响。发现引入周期性约束后，优化目标值Ω会降低，即结构性能有所牺牲，但当c达到一定数量（如5）后，性能下降趋势趋于稳定。更重要的是，周期性约束使得材料分布更均匀，单元内部构型更规则，交叉节点减少，这显著降低了焊接和连接难度，提高了工程可行性。不同c值下的优化结果在主要传力路径上表现出高度相似性，证明了该约束的有效性。
3.3. 形状优化
在拓扑优化确定的宏观布局基础上，研究人员进一步对每个周期性单元内部的节点位置进行了形状优化。通过计算结构在代表竖向和横向振型的载荷下的虚功W，并分析W随单元内特征节点位置变化的响应面，找到了使结构性能更优的节点布置方案，从而细化了结构的几何形态。
3.4. 优化结果与分析
最终的优化结构在保持质量基本不变（仅增加0.7%）的前提下，性能得到了显著提升：一阶频率从1.44 Hz提高到1.52 Hz（提升5.6%），二阶频率从2.59 Hz提高到2.89 Hz（提升11.6%），有效避开了实验测得的2.6 Hz的激励频率；在静态安装与自重载荷下的最大变形减少了32.3%。此外，在动态载荷下的瞬态位移响应也明显减小，验证了优化结构具有更优的动态刚度。
该研究成功地提出并验证了一种针对空心悬臂桁架结构的多目标优化设计方法。该方法创新性地将模态追踪、等效静载法、周期性约束拓扑优化和形状优化相结合，系统地解决了在动态载荷环境下同时提升结构固有频率和刚度的难题。研究结论表明，通过所提出的方法，能够在控制制造成本（通过周期性约束）和结构重量的前提下，显著改善HCTS的动态性能，使其更能适应复杂的实际工况。这不仅为HCTS提供了一种有效的优化设计途径，其方法框架对于其他类型桁架结构乃至更广泛的工程结构优化也具有重要的借鉴意义，推动了结构优化理论向更贴近工程实际应用的方向发展。
