通过并行顶点搜索方法对复杂动态系统的实际灵活性进行评估

《Chemical Engineering Research and Design》：Toward Practical Flexibility Assessment of Complex Dynamic Systems via Parallel Vertex Search

动态柔性指数计算框架及并行遗传算法优化研究。提出一种结合并行遗传算法（PGA）的动态柔性指数计算框架，通过分布式计算解决高维化学系统大规模顶点搜索问题，在保证精度前提下显著降低计算时间，并成功应用于ODE和PDE系统案例。

　　

徐伟轩|文森提乌斯·苏里亚·库尔尼亚·阿迪|张翠婷

国立成功大学化学工程系，台湾台南70101

摘要

现代工艺设计必须确保在不确定性条件下仍能稳健运行，而不仅仅是降低成本。动态灵活性指数（${\mathrm{FI}}_d$）用于量化由常微分方程（ODEs）或偏微分方程（PDEs）控制的系统在时变干扰下是否能够满足给定约束。然而，计算该指数在计算上具有挑战性：将传统的稳态顶点方法扩展到动态情况需要时间和空间离散化，这会导致随着不确定参数数量和离散化区间数量的增加，顶点枚举的计算时间呈指数级增长。这种组合爆炸问题使得在需要及时决策的实际研究中进行常规灵活性分析变得不切实际。本文开发了一种并行遗传算法（PGA），通过将适应度评估分布在多核处理器上来加速顶点搜索，同时保留了原始的优化结构。所提出的框架利用控制输入的分段常数参数化，并将外部GA与内部确定性求解器相结合。在所有案例研究中，这种方法获得的动态灵活性指数（${\mathrm{FI}}_d$）与串行GA计算的结果相同，同时大幅减少了计算时间。此外，研究表明提高控制粒度可以有效提升可实现的灵活性。上述PGA为高维化学系统的动态灵活性评估提供了一条可扩展、准确且实用的方法。

引言

化学工程中的工艺设计传统上优先考虑经济性能，总年成本（TAC）是主要的评估标准。然而，实际应用中往往存在由于外部干扰或工艺知识不完整而产生的不确定模型参数。这些不确定性可能会严重影响系统的实际运行能力。具体来说，在名义条件下最优的设计在面临此类变化时可能变得不可行或无法运行。因此，任何现代工艺设计不仅要解决成本问题，还要确保在估计的不确定性范围内具有稳健的运行能力。最近的综述总结了如何将可行性/灵活性概念嵌入设计和工作流程中，强调了在流程图级决策中明确处理不确定性问题时的计算权衡（Tian等人，2024年）。

为了量化这种稳健性，灵活性分析已成为过程系统工程中的重要工具。Swaney和Grossmann在1985年提出的稳态灵活性指数用于量化系统在不确定条件下的可行范围。通常，该指数是在两阶段优化框架下计算的，广泛采用的顶点搜索方法会沿不确定性超立方体的极端方向彻底评估可行性。另一种方法是活动集方法（Grossmann和Floudas，1987年），该方法利用KKT逻辑来识别活动约束并解决一系列混合整数问题。尽管这两种方法已广泛应用于稳态系统，但本研究专注于将基于顶点的策略扩展到动态灵活性分析，活动集方法则留待未来研究。当代关于运行能力的讨论越来越多地强调将这些可行性概念与不确定性下的系统级决策联系起来（Tian等人，2024年；Ferreira等人，2025年）。

动态过程通常用常微分方程（ODEs）或偏微分方程（PDEs）进行建模，在评估相应的灵活性指数之前需要对其进行时间和/或空间离散化。Dimitriadis和Pistikopoulos（1995年）将稳态框架扩展到动态情况，以计算动态灵活性指数（${\mathrm{FI}}_d$），从而能够系统地评估在不确定性下的运行能力。后续研究将范围扩展到安全考虑（Dimitriadis等人，1997年）、控制结构交互（Malcolm等人，2007年）、与模型预测控制的集成（Sanchez-Sanchez和Ricardez-Sandoval，2013年）以及实际应用，如蒸馏塔（Di Pretoro等人，2019年）、换热器网络（Gu等人，2023年）和基于李雅普诺夫的可行性方法（Tang和Daoutidis，2019年）。此外，动态运行能力还被开发为一个框架，用于筛选设计并测试其在时变环境中的抗干扰能力，这进一步强调了在引入时间和空间离散化后进行可扩展评估的必要性（Dinh和Lima，2023年）。

尽管取得了这些进展，但计算动态灵活性指数（${\mathrm{FI}}_d$）仍然非常耗费计算资源。随着不确定参数数量和离散化节点数量的增加，顶点评估的数量呈指数级增长。对于一个具有$n_{\theta }$$2^{n_{\theta }M}$个不确定参数和$M?1$个离散化区间的集总动态系统，需要评估$2^{n_{\theta }M}$个顶点方向——使得实际问题中的穷举搜索变得不可行。

为了克服这一障碍，Ali等人（2021年）提出了一种遗传算法（GA）方法，在两阶段优化框架中加速顶点搜索，结合MATLAB?进行算法开发，使用GAMS?进行数值优化。后续应用在几个代表性的动态系统中证明了其可行性（Ali等人，2022a；Ali等人，2022b）。然而，尽管GA提高了可处理性，但所得到的搜索策略在解决大型或高度非线性系统时仍可能遇到困难。

为了克服上述数值难题，本研究引入了一种并行遗传算法（PGA）框架，以显著加速动态灵活性计算的顶点搜索过程。利用遗传操作的重复结构和现代多核计算能力，PGA将染色体级别的优化任务分布在大量处理器上，从而在不影响准确性的情况下实现更快的收敛。该算法通过集成的MATLAB?–GAMS?平台实现，并设计为适用于集总参数系统和分布式参数系统。关于PGA的通用调查（Harada和Alba，2020年）进一步支持了本研究中采用的架构选择。

除了传统的灵活性和运行能力分析之外，最近的研究将估计不确定性下的运行能力提升为主要目标，并系统化了基于可行性/灵活性的工作流程，将设计、控制和不确定性量化结合起来（Tian等人，2024年）。动态运行能力指数可以作为观察时变控制系统性能的补充视角（Dinh和Lima，2023年）。从流程图的角度来看，它还可以用于在不确定性下分析从可用输入到可实现输出的运行能力（Ferreira等人，2025年）。另一方面，如今出现了基于搜索/学习的加速器，以解决由于时间和空间离散化导致的组合增长问题，例如，将可行集学习与回归/分类网络结合以加快灵活性评估（Zhang等人，2024年）。

本研究的主要贡献是开发并验证了一种基于PGA的顶点搜索方法，用于计算复杂动态过程的动态灵活性指数（${\mathrm{FI}}_d$）。通过四个代表性案例研究（包括基于ODE和PDE的系统），所提出的框架显著减少了计算时间，并实现了大规模化学过程的实用运行能力分析。

部分摘录

使用基于顶点的方法进行灵活性分析

为了说明所提出的动态灵活性框架的用途，本节首先回顾了用于稳态灵活性分析的基于顶点的方法。尽管这种计算策略之前已有描述（例如，Swaney和Grossmann，1985a；Swaney和Grossmann，1985b），但在这里包含其相关元素，以建立坚实的基础，以便将相同的理念扩展到开发高效的动态灵活性评估方法，并便于与其他方法进行比较。

GA增强型顶点搜索的另一个应用

如前所述，示例1中的双罐缓冲系统主要用作概念性基准，以说明所提出的GA加速顶点搜索策略的可行性。然而，该系统相对简单，可能无法充分展示该方法解决更复杂、更具工业相关性的问题的潜力。为了突出所提出方法的实际适用性和计算可扩展性，下面提供了一个涉及

由并行遗传算法（PGA）驱动的顶点搜索

如前所述，本工作中使用分段常数控制变量来评估动态灵活性指数（${\mathrm{FI}}_d$）。对于固定数量的控制段$N_{}$，每个染色体编码一个候选的顶点切换计划以及控制调整时间。给定一个染色体后，首先通过GAMS?/CONOPT中的多次内部最大化运行进行适应度评估，产生多个（第1阶段），然后使用MATLAB进行选择操作，挑选最小的作为动态

扩展到基于PDE的系统

为了数值评估由偏微分方程（PDEs）控制的非线性系统的动态灵活性指数，必须将时间和空间域离散化为有限区间。在本研究中，时间离散化方案与之前用于常微分方程（ODE）系统的方法相同——即梯形规则（见第2.2节）。因此，其实现细节在此省略。

为了清晰说明，当前讨论

结论与未来工作

本研究提出了一个可扩展且计算效率高的框架，用于评估由常微分方程和偏微分方程描述的复杂化学过程系统的动态灵活性指数（${\mathrm{FI}}_d$）。通过将PGA集成到传统的基于顶点的搜索策略中，我们在不牺牲灵活性评估准确性的情况下显著减少了计算时间。PGA框架有效地将计算负载分布在多核处理器上，实现了

CRediT作者贡献声明

文森提乌斯·苏里亚·库尔尼亚·阿迪：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、形式分析。徐伟轩：撰写——审阅与编辑、原始草稿撰写、可视化、验证、方法论、调查、形式分析、数据整理、概念化。张翠婷：撰写——审阅与编辑、原始草稿撰写、可视化、验证、监督、软件开发、资源管理、项目管理、方法论、调查、资金获取、形式分析，

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。