一种基于几何扰动的公差分析方法

《Computer Aided Geometric Design》：A geometric perturbation-based method for tolerance analysis

基于几何扰动的公差分析方法提出，通过参数扰动建模几何偏差，无需显式路径构造，线性化求解提高效率，实验表明对复杂模型精度优于商业软件。

　　

陈辉|沈立勇|胡文凯|林在生|马少强

金航数字科技有限公司，中国北京100028

摘要

CAD模型与实际制造产品之间的公差会显著影响产品的功能性能和生产成本。现有方法通常需要明确构建公差传播路径，这使得公差分析变得复杂。本文提出了一种基于几何扰动的公差分析方法（GPM），以解决传统方法的一些局限性。在GPM中，装配体内的潜在偏差被建模为微小的弯曲运动，这些运动表现为几何约束系统参数的扰动。因此，公差和功能要求被表示为约束方程，并转化为线性系统以高效求解。作为一种纯代数方法，GPM无需构建传播路径，在分析具有串联和并联连接的装配体时表现始终如一。实验结果表明，对于某些复杂模型，GPM比商业软件能获得更准确的结果。

引言

公差指的是理想几何形状与其物理实现之间的潜在几何变化。这些变化源于制造和装配误差，会显著影响产品的功能性能和制造成本。在过去三十年中，提出了多种公差分析方法，这些方法大致可以分为三类：基于尺寸的方法、基于变形的方法和基于运动学的方法。

基于尺寸的方法通过将几何变化简化为单一方向来简化问题。一个典型的例子是沈等人（2003年；2008年）提出的公差图表方法，该方法已被广泛应用于商业工具中。这些方法简化了复杂的几何变化，从而加快了计算过程。然而，它们可能会忽略其他方向上的相互依赖变化，可能导致结果不准确（沈等人，2004年）。

基于变形的方法，如Durakbasa等人（2001年）；Schleich等人（2014年）；Korbi等人（2021年）所描述，通过离散化和随机技术来模拟几何变化。该过程涉及将实体离散为采样点，并使用指定的随机函数在公差范围内分布它们。然而，这种方法的一个显著缺点是在随机仿真中效率和准确性之间存在权衡，尤其是在处理大规模离散模型时。

基于运动学的方法通过在约束条件下对实体施加微小位移来模拟几何变化。这些微小位移可以使用Bourdet（1996年）提出的扭量、Desrochers和Rivière（1997年）提出的矩阵、Chase等人（1995年）；Gao等人（1998年）提出的向量环、Davidson等人（2002年）提出的T-Maps、Mujezinovic等人（2004年）提出的方法，或者Teissandier等人（1999年）；Arroyave-Tobón等人（2017年）提出的多面体来表示。与基于尺寸和基于变形的方法相比，基于运动学的方法具有更广泛的适用性和更高的计算效率。因此，它已成为工程领域的主要技术，并被广泛集成到领先的商业CAD软件中，如Creo、SolidWorks、CATIA V5和NX（Cao等人，2018年）。

尽管现有方法能够解决大多数实际问题，但它们仍然存在一些局限性（Cao等人，2018年；Marziale和Polini（2011a）；2011b）。表1总结了经典基于运动学方法的这些局限性，包括TTRS、矩阵、Jacobian-torsor和向量环方法。下面简要介绍每个方法的特性：

• 1.
  分析方法指的是用于解决装配功能要求的方法；
• 2.
  串联/并联装配指的是处理装配体内串联或并联连接的能力；
• 3.
  敏感性分析指的是评估单个组件的公差对装配功能要求影响的能力；
• 4.
  线性计算指的是方法是否提供线性化策略以加速约束求解过程；
• 5.
  传播独立性指的是方法是否需要明确构建公差传播路径。

总体而言，基于运动学的方法存在两个关键局限性。第一个局限性是要求明确构建公差传播路径。由于传播路径的选择会显著影响计算精度，因此构建过程难以完全自动化，通常需要经验丰富的工程师参与。第二个局限性是难以处理模型中的并联连接。基于矩阵的方法无法处理并联连接，而TTRS和Jacobian-torsor方法仅部分考虑了并联结构，并且仅限于平面和圆柱特征。

为了解决上述局限性，我们提出了一种基于几何扰动的公差分析方法（GPM）。GPM的核心思想是使用弯曲运动来模拟产品尺寸和形状的潜在几何变化，这些运动表现为几何约束系统（GCS）参数的扰动。该算法如图1所示，包括三个步骤：（1）从GCS计算弯曲运动空间，（2）将公差表示为参数扰动，（3）通过线性化求解功能要求。本文的主要贡献可以总结如下：

•

引入了一种新的基于几何扰动的公差分析框架，消除了构建明确传播路径的需要；

•

为建模几何变化提供了线性计算方法的理论证明，确保了算法的可靠性和效率；

•

开发了最坏情况和统计分析模型来计算功能要求，并提供了一种敏感性分析方法，用于评估公差对产品性能的影响。

我们使用三个制造模型评估了所提出的GPM的性能：一个运动学关节模型、一个装配模型和一个行星减速器的齿轮系统。对于前两个模型，将GPM与传统的基于运动学的方法进行了比较。对于第三个模型，将GPM的结果与CATIA的3DCS和Inventor Tolerance Analysis的商业软件的结果进行了比较。实验结果表明，GPM在简单模型上与经典方法的结果一致，而在复杂模型上提供了更高的精度。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍几何扰动和微小运动的基本概念。第3节介绍在特定扰动下分析几何变化的计算方法。第4节讨论了最坏情况和统计公差分析模型。第5节使用三个制造模型进行了比较分析。最后，第6节总结了本文并提出了未来研究的方向。

章节片段

几何扰动和微小运动

零件和装配体通常使用几何约束系统进行建模（Michelucci和Foufou（2006年）；（2009年）；Zou和Feng（2019年）；Chen等人（2024年）。这些系统由代数非线性方程定义，其中$$表示坐标变量集（或几何实体），$$表示控制参数集。图2展示了六面体模型中两个平面的坐标变量和控制参数。为了清晰起见，这里使用了关键符号

计算方法

方程（5）中的几何变化计算与GCS的状态密切相关，根据雅可比矩阵的性质，GCS可以分为三种类型。

引理1

设$$是GCS的约束方程，$$是与变量$$相关的雅可比矩阵。

• •
  如果
  $$是良好约束的，则
• •
  如果
  $$包含过约束的子系统，则
• •
  如果
  $$包含欠约束的子系统，则

这里假设零件或装配体在三维空间中具有六个自由度（DOR）（六个轴向自由度）

公差分析

制造过程中的大多数几何变化可以通过参数扰动有效表示，从而便于使用这种方法进行公差分析。本节提供了两种经典的分析模型：最坏情况分析和统计分析模型。

案例研究

在本节中，我们通过三个案例研究来说明上述方法的应用。前两个案例提供了与TTRS、Jacobian-torsor和向量环方法的比较结果。在第三个案例中，我们将GPM的结果与CATIA的Inventor Tolerance Analysis和3DCS的商业软件的结果进行了比较，研究对象是一个行星齿轮系统。

结论与未来工作

本文介绍了一种基于几何扰动的公差分析方法（GPM），用于分析几何约束系统中的公差。通过研究参数扰动与微小运动之间的关系，我们将弯曲运动表示为线性空间，并有效地利用它们来表征几何变化。在此基础上，我们提出了最坏情况和统计模型用于公差分析。GPM消除了明确构建传播路径的需要

CRediT作者贡献声明

陈辉：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论、概念化。沈立勇：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、资金获取。胡文凯：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论。林在生：撰写——原始草稿、可视化、研究。马少强：可视化、研究。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本工作部分得到了中国国家重点研发计划（项目编号2024YFA1013101）和中国国家自然科学基金（项目编号12371384）的支持。