《Borsa Istanbul Review》：The Investment Portfolio Selection with a Hesitant Fuzzy Decision-Making Method based on Aggregation Operators
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本文针对投资组合选择中的不确定性难题，引入区间值Fermatean犹豫模糊集(IVFHFS)和聚合算子(AOs)，构建了多属性决策(MADM)模型。研究通过定义IVFHFS的得分函数和精确度函数，结合S&P 500企业数据分析，验证了该方法在复杂金融指标评估中的优越性。该模型有效整合专家主观偏好与客观数据，为投资决策提供了更灵活、可靠的理论工具，发表于《Borsa Istanbul Review》。
在现代金融市场中，投资组合选择一直是投资者和金融机构面临的核心挑战。传统的投资理论，如Markowitz于1952年提出的均值-方差模型，为投资组合优化奠定了数学基础，旨在通过资产配置实现给定风险水平下的收益最大化。然而，现实金融环境充满不确定性：市场波动、信息不完整、专家判断存在主观差异，以及多重金融指标（如收益率、波动性、债务比率等）的复杂交互作用，使得传统模型难以充分捕捉决策过程中的模糊性和犹豫性。尤其当投资者面对多个备选方案（如S&P 500中的不同股票）时，如何准确评估各方案在多种准则下的综合表现，成为一个典型的多属性决策问题。
为应对这些挑战，模糊集理论及其扩展形式被引入投资分析领域，以处理不精确和不确定信息。从Zadeh于1965年提出的模糊集，到Atanassov的直觉模糊集、Yager的Pythagorean模糊集，再到Senapati和Yager于2020年发展的Fermatean模糊集，这些工具逐步增强了模型表达不确定性的能力。其中，犹豫模糊集由Torra于2010年提出，允许决策者用一个可能值的集合来表示元素的隶属度，从而直接反映人类判断中的犹豫和不确定性。当决策环境进一步复杂化，例如专家意见以区间值形式呈现时，区间值Fermatean犹豫模糊集应运而生。它结合了Fermatean模糊集在隶属度与非隶属度立方和约束上的灵活性，以及犹豫模糊集对多重可能值的包容性，并通过区间值形式更好地刻画数据的不精确性。本研究正是基于IVFHFS这一新兴数学框架，针对投资组合选择问题，开发了一种新的多属性群决策方法。
研究人员首先定义了IVFHFS的基本概念和运算法则，包括其得分函数和精确度函数，用于比较不同区间值Fermatean模糊元素的大小。接着，他们提出了一系列聚合算子，如区间值Fermatean犹豫模糊加权平均算子和几何算子，以及它们的广义形式、有序加权形式和混合形式。这些算子能够有效聚合多位专家针对不同准则给出的区间值犹豫模糊信息。在应用层面，研究以S&P 500指数成分股为分析对象，选取了10个关键金融指标作为评估准则，包括股息收益率、投资资本回报率、净资产收益率、净利率、一般流动性指数、当前流动性指数、企业债务比率（流动债务/EBITDA）、波动性、EV/EBITDA和市值。其中，企业债务比率和波动性被定义为成本型准则，其余为效益型准则。通过邀请三位专家（包括学者和市场从业者）对三个备选资产进行评估，构建了区间值Fermatean犹豫模糊决策矩阵。研究采用广义区间值Fermatean犹豫模糊混合加权平均算子对专家意见进行聚合，并计算各备选方案的得分值，最终完成方案排序。
本研究主要采用了以下关键技术方法：首先是区间值Fermatean犹豫模糊集的理论构建，包括定义其基本运算、得分函数和精确度函数；其次是多种聚合算子的设计与应用，用于集成多位专家在多个准则下的评估信息；第三是Delphi方法用于确定准则权重，本研究基于专家访谈采用了等权重假设；第四是结合S&P 500上市公司真实财务数据（观察期为2021年1月1日至2024年1月1日）进行实证分析；最后是通过与现有方法（如Chen等人的IVHFS、Zhang的IVIHFS、Liu等人的INHFS以及Zhang等人的IVPHFS方法）的比较分析，验证所提模型的优越性。
6. Investment Portfolio Selection
6.1. Performance of IVFHFSs in Financial Application
研究通过对比分析表明，IVFHFS在金融应用中优于直觉模糊集和Pythagorean模糊集。其优势在于能够同时以区间值和多重可能值的形式表示隶属度、非隶属度和犹豫度，从而更灵活、真实地模拟金融决策中的不确定性。例如，在信用风险评估示例中，IVFHFS能够同时容纳不同专家对收入稳定性的区间评估意见，而IFS和PFS只能处理单一值，导致信息损失。
6.2. IVFHFN scenarios description
研究明确了投资组合选择的影响因素，并通过思维导图展示了其结构，主要包括资产波动性、盈利能力、估值和流动性等维度。研究选择S&P 500指数中的443家公司（剔除68家数据异常公司）作为分析对象，确保了数据的代表性和实证基础的可靠性。
6.3. Calculation
通过构建算法流程，应用广义区间值Fermatean犹豫模糊混合加权平均算子对标准化后的决策矩阵进行聚合，计算各备选方案的得分值。结果显示，备选方案的排序为A1> A3> A2，表明方案A1为最优投资组合选择。
7. Discussion
7.1. Comparative Analysis
将所提方法与其他四种现有方法（IVHFS, IVIHFS, INHFS, IVPHFS）进行比较，所有方法均得到一致的排序结果A1> A3> A2，验证了本研究方法的有效性和可靠性。
7.2. Superiority of the New Approach
IVFHFS的主要优势在于其数学结构的丰富性和灵活性。它不仅能处理因信息不完整、数据不精确或专家意见冲突导致的不确定性，而且通过Fermatean条件（隶属度和非隶属度的立方和小于等于1）提供了比IFS和PFS更宽泛的取值空间，特别适用于风险分析、投资组合选择等复杂金融场景中的多准则决策问题。
7.3. Implications
本研究对投资组合管理的理论发展和实践操作均具有重要意义。理论上，它丰富了不确定环境下多属性群决策的方法论。实践上，为投资者、基金经理和决策者提供了一个系统性的框架，能够综合考量多种金融指标和专家意见，做出更平衡、稳健的投资决策。通过对比S&P 500 ETF（SPY）和道琼斯工业平均指数（DJIA）在2021-2023年的风险收益表现（如夏普比率），研究发现模型投资组合的回报模式与市场基准相似，但通过更精细的不确定性管理，有望实现更优的风险调整后收益。
7.4. Limitations
研究也指出了若干局限性。首先，模型依赖于财务数据的准确性和长期稳定性，而实际市场中交易成本、费率等因素会影响最终收益。其次，当准则和备选方案数量庞大时，构建IVFHFS可能变得复杂。此外，模型主要关注风险偏好，对不确定性偏好的刻画尚有深化空间。资源约束等现实条件也未完全纳入模型考量。
综上所述，这项发表于《Borsa Istanbul Review》的研究成功地将区间值Fermatean犹豫模糊集与聚合算子相结合，构建了一个强大的投资组合选择模型。它不仅推进了模糊多属性决策理论的前沿，而且为金融投资实践提供了应对不确定性的创新工具。通过严谨的数学定义、算例验证和对比分析，研究证实了IVFHFS框架在处理复杂、模糊金融信息方面的显著优势，为未来在更广泛的经济管理领域应用此类高级模糊集方法奠定了坚实基础。
