基于弯曲机制的自动化运动静力学建模方法

《Mechanism and Machine Theory》：Automated kinetostatic modeling approach for flexure-based mechanisms

自动生成平面柔性机构静力学模型的方法，通过有向图表示和拓扑矩阵（incidence matrix & path matrix）统一构建闭合回路方程与载荷平衡方程，消除虚拟铰链需求，考虑铰链和连杆变形，开发了集成软件验证了位移放大器、微旋转转换器等三种机构的有效性。

　　

吴侯祺|陈桂林

西安交通大学制造系统工程国家重点实验室与智能机器人陕西重点实验室，中国陕西省西安市710049

摘要

对基于柔性机构的运动静力学进行建模对于表征其性能和优化其参数至关重要。然而，运动静力学建模始终是一个非常复杂且容易出错的过程，因为它不仅涉及建立闭环方程，还涉及大量的载荷平衡方程。在这项工作中，我们提出了一种通用方法，可以自动为平面基于柔性机构的系统生成运动静力学模型。所提出的方法使用关联矩阵和路径矩阵来表示基于柔性机构的拓扑结构，基于这些矩阵可以统一建立闭环方程和载荷平衡方程。这些方程同时求解以获得机构的运动静力学行为。所有载荷平衡方程都是在节点而不是连杆上建立的，从而消除了引入虚拟铰链的需要。该自动化方法实现在一个具有图形用户界面的集成软件包中，以便于对各种基于柔性机构的系统进行运动静力学建模。通过三个示例验证了所提出方法的有效性，包括一个基于柔性机构的位移放大器、一个微型旋转转换器、一个平面并联3自由度纳米定位器以及一个双输出机构，展示了其准确性和广泛的应用性。

引言

基于柔性机构的系统利用柔性铰链的弹性变形，实现高精度运动，同时减少磨损、消除润滑需求并降低制造成本。这些特性在许多场景中都非常重要[1]，使它们在精密加工[2]、微创手术[3]、航空航天设备[4]、机器人技术[5]、光学设备[6]、微机电系统[7]和微定位系统[8][9][10]中得到广泛应用。

与刚体机构相比，基于柔性机构的系统设计更为复杂，因为需要仔细处理机构内部的载荷和变形。这些参数的微小误差可能导致完全错误的结果。已经提出了一些建模方法来预测基于柔性机构的系统性能并进一步进行设计优化，例如，Shi等人[11]采用了顺应性矩阵方法来推导柔性微夹具的运动静力学模型，Du等人[12]利用Castigliano第二定理对3D桥式机构的运动静力学进行了建模，Ling等人[13]使用弹性梁理论对桥式柔性机构进行了运动静力学建模，Friedrich等人[14]开发了一种基于有限元的柔性铰链机构建模技术。这些方法大多针对特定的基于柔性机构的系统。

也有一些通用建模方法可用于基于柔性机构的系统。Turkkan等人[15]基于伪刚体（PRB）模型开发了一种通用设计工具。伪刚体（PRB）模型[16]可以将基于柔性机构的系统转换为等效的刚体系统，从而简化运动静力学建模，但由于将柔性铰链近似为关节，建模精度会受到影响。Yuan等人[17]提出了一种图形传递矩阵方法来统一基于柔性机构的系统建模过程，但该方法需要手动识别机构中的典型子结构（例如，并联子链、树枝状结构、闭合回路），以便在建模前为每个子结构选择合适的传递矩阵，这阻碍了建模过程的完全自动化。Li等人[18]引入了一种基于图的方法来生成各种基于柔性机构的系统的运动静力学模型，但这种方法需要在输出端口人为引入虚拟柔性铰链，以确保为输出连杆建立的载荷平衡方程的完整性（需要注意的是，载荷平衡方程是在连杆上建立的），这使得建模过程和方程本身都变得复杂。此外，所有这些建模方法都忽略了连杆的变形。

为了解决这些限制，本文提出了一种通用方法，可以从机构的示意图自动生成平面基于柔性机构的系统运动静力学模型。提出了一种基于有向图的表示方法，并基于此方法提出了自动获取关联矩阵和路径矩阵的搜索算法。通过在节点而不是连杆上建立所有载荷平衡方程，消除了引入虚拟柔性铰链的需要。生成的模型考虑了柔性铰链和连杆的变形，从而更准确地预测了基于柔性机构的系统的运动静力学行为。此外，该方法实现在一个软件包中，实现了无需人工干预的高效且用户友好的基于柔性机构的系统建模。目前的实现仅限于发生小变形的基于柔性机构的系统。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了基于柔性机构的系统的有向图表示以及相应的关联矩阵和路径矩阵。第3节介绍了使用关联矩阵和路径矩阵建立运动静力学模型的方法，并描述了开发的软件包。第4节通过三个基于柔性机构的系统示例展示了所提出方法的应用。第5节得出了结论。

章节摘录

有向图和矩阵表示

本节介绍了基于柔性机构的系统的有向图表示方法。给出了节点、边和端口的定义，并为后续建模建立了关联矩阵和路径矩阵。

运动静力学建模

在本节中，使用桥式差分位移放大器来说明如何通过关联矩阵和路径矩阵建立运动静力学方程。还介绍了该方法在软件包中的实现。

示例

本节提供了案例研究以验证所提出的方法。分析了几种基于柔性机构的系统，并将结果与有限元分析进行了比较，以证明该方法的准确性和效率。

讨论：局限性和前景

目前所提出方法的实现仅限于发生小变形的基于柔性机构的系统，因为生成的运动静力学模型使用了线性顺应性矩阵和梁约束模型。当每个元素的横向变形在其长度的10%以内、角变形在0.1[30][31][32]以内时，该方法是有效的。

所提出的方法具有进一步扩展的巨大潜力。首先，通过替换现有的

结论

为了降低基于柔性机构的系统的建模复杂性，本文提出了一种自动建模方法，该方法可以利用关联矩阵和路径矩阵轻松构建闭环关系、载荷平衡关系和变形公式。同时，根据该方法编写了计算机辅助建模软件。三个不同的示例通过生成的模型得到了正确的评估，证明了该方法的有效性

CRediT作者贡献声明

吴侯祺：撰写——原始草案、软件开发、数据整理。陈桂林：撰写——审阅与编辑、监督、资源获取、资金筹措。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。