基于混合连续/离散Galerkin方法的等几何流体-结构相互作用分析

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Isogeometric fluid-structure interaction using a mixed continuous/discontinuous Galerkin scheme

　　雷吉斯·迪维尼奥，科特达祖尔大学、Inria、CNRS、LJAD，法国索菲亚安蒂波利斯2004路萤火虫大道06902，2004年。

摘要：本文提出了一种混合连续/离散Galerkin方法，用于在等几何分析框架中模拟流固耦合问题。利用非均匀有理B样条基函数的特性，可实现结构位移向流体域的精确传递，同时在耦合界面两侧采用不同的离散化策略和细化程度。该方法被应用于模拟弹性翼膜周围的可压缩流体流动，以及涉及超弹性杆件绕圆柱体流动的经典流固耦合问题。对于这两种情况，所得结果均与文献中的数值进行比较，以评估该方法的准确性。

引言：在现代工程中，准确模拟流固耦合问题至关重要，这不仅有助于提升效率，还能保障系统的安全性与可靠性。当出现由高度非线性耦合引起的现象时，这一问题更为突出，因为仅通过单独模拟流体和结构无法理解这类现象。这类耦合模拟往往十分困难，因为这两个领域可能受不同的空间和时间尺度支配，其数学本质也存在差异。强耦合或整体式方法[1][2]在这类情况下表现出一定优势，但由于缺乏灵活性，其在工业应用中的实现较为繁琐。因此，弱耦合或分块式方法[3][4]仍被广泛使用，因为它能够基于不同的流体和结构求解器构建高度模块化的框架。在此背景下，耦合界面处的数值处理尤为重要[5][6]，因为在流体和结构子域中共存着不同的几何描述和解场表达方式。因此，许多研究致力于开发高效且稳健的耦合界面处理方法，出现了多种子域间信息交换方案，如最近邻法或灰浆法（详细讨论可见[7][8]）。需要强调的是，几何因素起着关键作用，因为必须控制结构位移场在传递到流体域时的规律性及其精度。否则，流场中可能会出现异常现象，如分离点或重新附着点的变化，进而影响结构的演化。

近年来，T. Hughes等人开发的等几何分析方法，在有限元框架内处理几何问题方面实现了质的飞跃[9]。该方法利用非均匀有理B样条表示法来定义几何形状，从而能够精确描述计算机辅助设计工具生成的几何结构。在许多情况下，这种高规律性的基函数能够提升解的精度[10][11]。自然地，等几何分析方法也被扩展到流固耦合问题中，尤其是通过灰浆法[7][12]、精确匹配法[13]或浸入式框架[14]等手段。在之前的研究中，有人提出了对等几何分析方法的改进，将其应用于更适合模拟可压缩流体的离散Galerkin框架中[15]，这类流体可能包含不连续性。该方法通过变换NURBS计算域，使得在不改变几何形状的情况下使用离散解成为可能。研究表明，该方法还有助于实现自适应网格细化[16]，并且可以轻松扩展到任意拉格朗日-欧拉格式[17]。这些进展促使本文开展研究，旨在通过探索混合连续/离散Galerkin格式的应用，为流固耦合问题提供新的解决方案。

本文结构如下：第一部分介绍等几何分析的背景，特别是NURBS基函数及其重要特性。第二部分详细描述了基于连续Galerkin格式的非线性弹性膜和超弹性杆的结构求解器的等几何离散化过程。接着，探讨了基于离散Galerkin格式的可压缩纳维-斯托克斯方程的等几何离散化方法。最后，提出了耦合算法，重点介绍了几何处理以及耦合界面处的信息传递机制。第六章和第七章分别给出了两个应用案例，分别是膜翼周围的流动问题，以及Turek和Hron提出的经典流固耦合基准问题[18]。

片段摘录：
NURBS基函数：在下文中，我们假设系统的几何形状由一组参数化曲线来描述。非均匀有理B样条曲线现已成为CAD领域的标准表示方法[19][20]，因为它们能够精确表示工程中常见的各类曲线，如圆锥曲线。此外，通过控制点的操作，可以非常直观地定义和修改几何对象。因此，本文选择NURBS曲线作为几何表示方式。

模型：第一个应用案例为一维膜翼，该膜翼由两个相距L的距离的支撑件固定，厚度h远小于L，静止时沿x轴方向延伸，如图7所示。该膜翼处于入射角为α的稳定自由流中。关于支撑件几何形状等详细信息，可参考[23]。用于描述该膜翼的结构模型源自Smith和Shyy在[24]中提出的非线性模型。

为了模拟具有运动几何形状的流体流动问题，我们采用任意拉格朗日-欧拉格式下的可压缩纳维-斯托克斯方程，其计算域以速度vf移动。该方程的散度形式如下：
?w/?t + ?·(fc?fv) ? vf·?w = 0，
其中w为守恒变量向量，fc为对流通量，fv为粘性通量：
w = (ρfρfu1ρfu2ρfe)，
fc,i = (ρfuiρfu1ui + pδ1iρfu2ui + pδ2iρfui(e + pρf))，
fv,i = (0τ1iτ2iukτki ? qi)，
其中ρf为……

耦合算法：计算耦合流固系统需要同时求解描述流体和结构的方程，以及界面处的以下耦合条件：
{xs = xf，τs = τf = (?pI + τ)·n}，
第一个条件体现了流体和结构位移之间的兼容性（运动学条件），而第二个条件则代表了界面的力学平衡状态（动力学条件）。对于膜翼这一特定案例，第二个条件可简化为……

计算设置：第一个测试案例涉及弹性膜翼周围的流动问题，其物理结构如图7所示，与该问题相关的实验研究由Rojratsirikul等人[31]完成，数值模拟则由Gordnier[23]实现。通过将膜翼长度设为1，厚度设为0.001，对几何形状进行了标准化处理。结构和流体的参数选择遵循无量纲气弹系数Ae=100、质量比m★=0.589、自由流雷诺数R∞=……

计算设置：接下来，我们考虑Turek和Hron在[18]中提出的一个经典的流固耦合方法基准问题。该问题的几何结构为一个固定圆形圆柱体，通过一根柔性杆与通道相连，如图8所示。通道的尺寸为H=0.41，L=2.5。圆柱体半径为r=0.05，其中心位于坐标(0.2,0.2)处。柔性杆的长度为l=0.35，厚度为h=0.02。在壁面上施加了无滑移边界条件。

结论：本文提出了一种基于NURBS基函数的流固耦合模拟新方法。该方法结合了用于描述结构和流体的连续和离散Galerkin格式。NURBS基函数能够精确描述几何形状，与CAD方法论相一致。该表示方法的一个重要特性——贝塞尔提取功能——被用来在连续和离散表示之间切换，从而实现耦合界面处的平滑过渡。

致谢：雷吉斯·迪维尼奥：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法论设计、形式分析、概念构思。

利益冲突声明：作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文的研究工作。