一种用于等离子体模拟的正性保持多尺度方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A positivity-preserving multiscale method for plasma simulation

提出基于改进UGKS的保正性多尺度方法，结合Strang分裂处理Vlasov-BGK-Poisson方程，验证二阶时间、三阶空间精度及保正性、渐近保真性，通过Landau耗散和二流不稳定实验验证。

　　

李颖颖|王毅|谭爽|倪国熙

河南财经学院统计与数学学院，中国郑州

摘要

在本文中，我们提出了一种基于新型时间二阶统一气体动力学方案（UGKS）的等离子体模拟的正性保持多尺度方法。用于模拟等离子体动力学的Vlasov–BGK方程通过Strang分裂技术被分解为两个子步骤：传输-碰撞部分和加速部分。传输-碰撞部分使用所提出的二阶正向保持UGKS进行求解，而加速部分则由其无碰撞对应方案处理，从而确保了整体的二阶时间精度。该框架的核心在于重新构建传输-碰撞方程，并建立时间演化求解器与UGKS之间的等价性，以构建二阶正向保持方案。所提出方法的正向保持和渐近保持特性得到了严格分析，并通过一系列数值实验验证了其准确性、鲁棒性和理论特性。

引言

等离子体被称为物质的第四态，是一种普遍存在且高度复杂的介质，由带电粒子和中性粒子组成，它们的运动与电磁场强烈耦合。等离子体流动特性的表征与Knudsen数密切相关，Knudsen数是一个无量纲参数，用于衡量粒子平均自由程与特征宏观长度尺度的比率。等离子体的演化通常由动力学方程控制，在Knudsen数的倒数阶，库仑碰撞的影响变得显著。在Knudsen数较大的稀薄区域内，等离子体动力学基本上是无碰撞的，可以用Vlasov方程描述。相反，在Knudsen数较小的强碰撞区域内，等离子体接近局部热力学平衡，可以用磁流体动力学（MHD）方程来建模。然而，由于无碰撞区域和碰撞区域的共存，等离子体的多尺度特性给精确建模和数值模拟带来了重大挑战。

许多研究集中在无碰撞情况下，即Vlasov方程。在无碰撞极限下，Vlasov方程通常使用粒子在单元（PIC）方法求解，这些方法沿着电磁场的特征线追踪粒子[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]。通过适当的碰撞模型[8]，[9]，PIC可以处理碰撞等离子体，但统计噪声仍然是一个重要限制。基于网格的方法，如半拉格朗日方案[10]，[11]，[12]，[13]，[14]，[15]，[16]，[17]，[18]，[19]，通过沿特征线向后追踪并从网格值插值来计算分布函数，从而实现高阶精度。其他成功的Vlasov求解器包括间断伽辽金（DG）有限元方法[20]，[21]，[22]，哈密顿分裂方案[23]，自适应张量方法[24]，插值微分算子（IDO）方法[24]和谱方法[25]。

为了捕捉等离子体的多尺度特性，已经开发了渐近保持方案。这些方案旨在随着Knudsen数从大变小，保持从动力学模型到磁流体动力学模型的正确渐近极限[26]。混合方法[27]，[28]将稀薄区域中的Vlasov求解器与密集区域中的磁流体动力学求解器连接起来。基于隐式-显式方法处理刚性碰撞项，已经为动力学方程开发了一系列渐近保持方案，这些方案可以保持无碰撞和欧拉区域[29]或纳维-斯托克斯区域[30]，[31]。统一气体动力学方案（UGKS）[32]，[33]，[34]，[35]，[36]，[37]，[38]是一个广泛应用于各种传输现象的渐近保持数值框架。通过随着Knudsen数从大变小一致地桥接动力学和流体动力学尺度，UGKS实现了从无碰撞粒子传输到连续流体行为的无缝过渡。由于其能够在过渡区域内提供物理上一致的通量，UGKS成为多尺度等离子体模拟的稳健和统一方法。

在等离子体模拟中，正向保持特性至关重要，因为概率分布函数必须保持非负才能维持物理有效性。负的分布函数可能导致不物理的量，如负密度或温度，这可能导致模拟崩溃。已经对正向保持方案进行了彻底研究，以解决双曲系统，确保某些物理值（如质量和温度）非负[39]，[40]，[41]。基于带有正向保持限制器的间断伽辽金（DG）框架，已经开发了几种方案来求解无碰撞Vlasov方程和Vlasov–Boltzmann方程[20]，[22]。对于具有刚性碰撞项的动力学模型，提出了改进的隐式-显式（IMEX）方法，以在保持正向性的同时恢复欧拉极限[30]，[42]。

在本文中，我们提出了一种基于新型时间二阶统一气体动力学方案的等离子体模拟的正向保持多尺度方法。为了简化，我们专注于由静电场控制的等离子体，这可以用Vlasov–BGK–Poisson系统来建模。所提出的框架可以很容易地扩展到更一般的Vlasov–BGK–Maxwell方程。Vlasov–BGK方程使用二阶Strang分裂策略分解为两个子问题：传输-碰撞部分和加速部分。传输-碰撞部分使用正向保持的统一气体动力学方案求解，而加速部分则作为传输-碰撞求解器的特殊无碰撞情况处理。最后，开发了一种时间二阶和空间高阶的正向保持多尺度方法，用于Vlasov–BGK–Poisson方程。该框架的关键组成部分是时间二阶正向保持的统一气体动力学方案。在UGKS中，数值通量是从Vlasov–BGK方程的时间演化解构建的，这本质上将麦克斯韦分布与粒子分布函数耦合起来。耦合系数自动适应局部Knudsen数，使方案能够自然捕捉纳维-斯托克斯极限。然而，这种复杂的耦合在设计相应的正向保持策略时也带来了重大挑战。在我们之前的工作中[43]，我们建立了时间演化求解器与统一气体动力学方案之间的等价性，并利用这种关系构建了一个时间一阶正向保持的UGKS。然而，将此框架扩展到二阶精度并非易事。在这项研究中，我们将传输-碰撞部分重新表述为新的表示形式，并基于这种新表述和已建立的等价性，开发了一个时间二阶的统一气体动力学方案。所提出的方法被严格证明可以保持正向性和渐近保持特性。通过一系列数值实验，包括朗道阻尼和双流不稳定性问题，展示了该方案的准确性、鲁棒性和理论特性。

本文的组织结构如下。第2节简要介绍了碰撞Vlasov–BGK–Poisson模型及其数值表述。第3节介绍了时间二阶统一气体动力学方案，包括基本思想、数值通量的构建以及渐近保持特性的证明。第4节展示了所提出方法的时间二阶和空间高阶精度，以及通过基准问题（包括朗道阻尼和双流不稳定性）验证其正向保持和渐近保持特性。

章节片段

Vlasov–BGK–Poisson模型

为了展示所提出的等离子体模拟的正向保持多尺度方法，我们考虑了一个主要关注电子动力学的简化动力学模型。在这个模型中，由于离子的质量大得多，假设它们保持静止，并且为了简化忽略了磁场。电子-电子库仑碰撞使用BGK型松弛算子进行建模。在这些假设下，具有自洽静电场的等离子体系统是

Vlasov–BGK方程的正向保持多尺度方法

在本节中，我们介绍了所提出的用于碰撞Vlasov方程的正向保持多尺度方法的详细信息。整个算法包括两个主要部分：传输-碰撞部分和加速部分，它们在Strang分裂框架内分别处理。我们介绍了传输-碰撞过程的时间二阶正向保持统一气体动力学方案，随后是对

数值实验

本节介绍了用于验证所提方案的数值测试。使用二维对流问题在高维环境中验证其三阶空间精度，而弱朗道阻尼问题用于在不同条件下确认该方案对于Vlasov–Poisson模型的二阶时间精度和三阶空间精度。还包括强朗道阻尼问题和各种条件下的双流不稳定性测试

结论

提出了一种基于Strang分裂方法和我们的新型正向保持UGKS的等离子体模拟正向保持方法。验证了时间二阶精度和空间三阶精度。通过不同条件下的朗道阻尼和双流不稳定性问题，验证了正向保持特性和渐近保持特性。

CRediT作者贡献声明

李颖颖：撰写 – 原始草稿，软件。王毅：方法论，概念化。谭爽：验证，形式分析。倪国熙：撰写 – 审阅与编辑。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。