在加权且平衡的范数下，弱Galerkin方法对于奇异扰动反应-扩散问题的超收敛性

《Mathematics and Computers in Simulation》：Supercloseness of weak Galerkin methods in a weighted and balanced norm for singularly perturbed reaction–diffusion problems

　　苏阿伊普·托普拉克塞文（Suayip Toprakseven）| 彭竹（Peng Zhu）
土耳其约兹加特博佐克大学（Yozgat Bozok University）科学与艺术学院数学系

**摘要**
在本文中，我们分析了在二维Shishkin网格上使用分段不连续双线性多项式对奇异扰动反应-扩散方程进行弱Galerkin有限元方法（WG-FEM）求解时的误差。为了准确捕捉边界层效应，我们引入了一种比标准能量范数更强的加权平衡范数。与传统方法不同，传统方法依赖于全局或局部L2投影，并在二维环境中面临挑战，而我们的平衡范数是通过权重函数与双线性插值算子共同定义的。通过运用积分恒等式，我们在Shishkin网格上证明了超收敛性结果。数值实验验证了理论分析的准确性。

**引言**
我们考虑使用WG-FEM对以下奇异扰动线性反应-扩散问题进行数值逼近：
$$
\epsilon \sim -\epsilon^2 \Delta u + cu = f \quad \text{在} \Omega := (0,1)^2, \quad u = 0 \quad \text{在} \partial \Omega
$$
其中 $\epsilon_0 < \epsilon \ll 1$ 是一个参数，$c$ 和 $f$ 是足够光滑的函数。我们还假设对于某个正常数 $\zeta$，有
$$
c(x,y) \geq \zeta^2 > 0 \quad \text{对于} (x,y) \in \Omega^\circ
$$
在单位正方形上的奇异扰动反应-扩散问题（如（1.1）存在唯一解 $u \in H^2(\Omega) \cap H^1(\Omega)$，其中 $f \in L^2(\Omega)$。对于小的 $\epsilon$，典型解 $u$ 会表现出形式为 $\epsilon \exp(-\zeta \delta(x,\partial \Omega)/\epsilon$ 的边界层 [1, 定理2.3.4]。这类问题出现在流体动力学、化学动力学等领域，除非使用极细的网格，否则在经典数值方法中会导致非物理振荡 [1], [2], [3]。
为了处理边界层，广泛采用了Bakhvalov [4] 和 Shishkin [5] 等层适应网格。许多研究调查了在层适应网格上对奇异扰动问题的数值逼近的均匀收敛性，包括最近关于分数步长方案、混合单调方法以及具有多个小参数和延迟的奇异扰动对流-扩散和抛物线模型的鲁棒计算技术的研究 [6], [7], [8], [9], [10]。已经在L2范数和能量范数下证明了有限元方法（FEM）在这些网格上的均匀收敛性，包括更高阶的逼近 [11], [12]。在平衡范数下的超收敛性也在 [13] 中得到证明。
当 $\epsilon \to 0$ 时，标准能量范数主要由L2分量主导，不适合奇异扰动反应-扩散问题 [14]。平衡范数中L2和H1分量具有相同的阶数，为误差分析提供了更强的工具。已经为混合FEM [14]、经典FEM和C0内罚方法 [15], [16]、局部不连续Galerkin方法 [17]、hp-FEM [18]、双尺度稀疏网格方法 [19] 以及加权平衡FEM [20] 发展了均匀误差估计。
使用插值算子，已经在Bakhvalov型网格上证明了FEM在平衡范数下的最优均匀收敛性和超收敛性 [21]。这样的超收敛性结果使得L2误差界限更精确 [22]，可以进行逐点估计 [23]，并且不需要昂贵的局部后处理 [22]。
弱Galerkin有限元方法（WG-FEM）[24] 是二阶椭圆PDEs的不连续Galerkin（DG）方法的一种变体。WG-FEM使用弱函数和弱梯度，对解和测试函数都采用分段不连续多项式，并且具有无参数的公式。与DG不同，WG-FEM将解分解为内部和边界分量，引入边界自由度（DOFs），从而得到一个结构化的系统矩阵，而DG则通过数值通量强制元素间的连续性。WG-FEM中对边界自由度的显式处理使得可以直接逼近弱导数，这使其公式和组装与DG方案有所不同 [24], [25]。WG-FEM已被扩展并应用于各种问题，包括椭圆PDEs [26]、抛物线问题 [27]、奇异扰动椭圆问题 [25], [28], [29], [30], [31], [32], [33]。据我们所知，之前没有研究在平衡范数下证明WG-FEM对奇异扰动反应-扩散问题的超收敛性。

**论文结构**
第2节介绍了精确解的分解，并构建了适应问题奇异扰动特征的Shishkin网格。第3节介绍了WG-FEM，包括离散弱导数和相关的有限元空间。第4节对所提出方法的稳定性进行了分析。第5节推导了反应-扩散方程的误差方程，第6节证明了WG在加权平衡范数下的超收敛性，并建立了严格的误差估计。第7节通过数值实验验证了该方法的准确性和效率，证实了理论结果。最后，第8节提供了结论性意见和未来研究的潜在方向。

**符号说明**
设 $U$ 是 $\Omega^\circ$ 的一个可测子集，其边界为 $\partial U$。我们使用标准的Sobolev空间符号 $W^{m,p}(U)$，其范数为 $\| \cdot \|_{m,p}(U)$，半范数为 $| \cdot |_{m,p}(U)$。当 $m=0$ 时，我们写作 $\| \cdot \|_{p}(U)$。当 $p=2$ 时，我们表示为 $W^{m,2}(U)$，其范数为 $\| \cdot \|_{m,2}(U)$。在 $\partial U$ 上迹为零的 $H^1(U)$ 的子空间表示为 $H^0_1(U) := \{ u \in H^1(U) : u|_{\partial U} = 0 \}$，其中 $u|_{\partial U}$ 是在 $\partial U$ 上的迹。此外，$L^2(U) := H^0(U)$。当 $U = \Omega$ 时，在范数和半范数符号中省略了域的表示。此后，$C$ 表示一个与 $N$ 和 $\epsilon$ 无关的通用正常数，但可能在不同行中变化。

**段落摘录**
**解的分解和Shishkin网格**
假设 $f, c \in C^4, \alpha(\Omega)$，满足必要的兼容性条件 [34]，确保存在唯一的解 $u \in C^4, \alpha(\Omega)$ [35, 定理2.2], [19, 引理1.2]。
层适应网格依赖于将解分解为光滑层和边界层，并具有导数界限 [19, 引理1.1–1.2]；另见 [20], [34], [35]。

**引理1 [19]**
假设（1.2），则（1.1）的解可以表示为
$$
u = R + \sum_{j=1}^4 L_j + \sum_{j=1}^4 E_j,
$$
其中 $R$ 是光滑层，$L_j$ 是在 $x=0,1$ 和 $y=0,1$ 处的边界层，$E_j$ 是角层，满足导数界限 $0 \leq i,j \leq 3$。

**反应-扩散问题的WG-FEM**
标准能量范数 $\epsilon \left[ \epsilon^2 \|\nabla u \|^2 + \| u \|^2 \right]^{\frac{1}{2}$ 对于奇异扰动问题是弱的，因为当 $\epsilon \to 0$ 时H1半范数可以忽略不计。为了解决这个问题，引入了一个更强的平衡范数 [14]，其中H1和L2分量都是O(1)阶的。
考虑加权弱形式：寻找 $u \in H^1(\Omega)$ 使得
$$
A_w(u,v) = (f, \psi_v), \quad \forall v \in H^1(\Omega),
$$
其中
$$
\epsilon \epsilon A_w(u,v) = \epsilon^2 (\nabla u, \psi \nabla v) + \epsilon^2 (\nabla u,v \nabla \psi) + (cu, \psi_v),
$$
权重函数为
$$
\psi(x,y) = (1 + 1/\epsilon^\beta \epsilon^\gamma(x))(1 + 1/\epsilon^\beta \epsilon^\gamma(y)), \quad \beta^\epsilon \gamma(z) = e^{-\gamma z/\epsilon} + e^{-\gamma(1-z)/\epsilon}.
$$
权重满足 [20], [37]：$\epsilon \epsilon | \psi | \leq C_{\epsilon^{-1}}, | \nabla \psi | \leq \gamma_{\epsilon \psi}$。

**加权WG-FEM的适定性**
接下来我们证明（3.6）中的双线性形式 $a_R D_w(\cdot,\cdot)$ 是强制性的，并且关于（3.9）中定义的 $|| \cdot ||_W$ 范数是连续的。

**引理4**
假设 $0 < \gamma \leq \zeta$，并且权重函数 $\psi$ 由（3.2）定义。那么存在一个常数 $C > 0$ 使得
$$
a_R D_w(u_N,u_N) \geq C ||u_N||_W^2
$$
对于所有 $u_N \in V_N^0$，其中
$$
C \equiv \min\{1/2, \zeta^2/2\}.
$$
**证明**
对于 $u_N \in V_N^0$，我们有
$$
\epsilon \epsilon \epsilon a_R D_w(u_N,u_N) = \epsilon^2 (\nabla u_N, \nabla u_N)W + \epsilon^2 (\nabla u_N,u_0 \nabla \psi) + s_d W(u_N,u_N) \geq \epsilon^2 \| \nabla u_N \|_W^2 + \epsilon^2 (\nabla u_N,u_0 \nabla \psi) + \| \zeta u_0 \|_W^2 + s_d W(u_N,u_N).
$$
借助（3.3）、柯西-施瓦茨不等式和...

**反应-扩散方程的误差方程**
（1.1）的真实解 $u$ 通常不满足数值方案；也就是说，对于某些 $v_N = \{v_0, v_b\} \in V_N^0$，我们可能有 $a_R D_w(u,v_N) \neq (f,v_0)W$。这会在WG-FEM中引入非一致性误差，因此标准FEM和SDFEM中必需的Galerkin正交性不再成立。为了控制这种误差，我们推导了一组误差方程，这些方程是即将进行的超收敛性分析的核心。

**引理8**
设 $u$ 是（1.1）的解。那么对于 $v_N = \{v_0, v_b\} \in V_N^0$，我们有
$$
\epsilon \epsilon \epsilon^{-\epsilon^2} (\Delta u,v_0)W = \epsilon^2 (\nabla u_I, \nabla w_vN)W + \epsilon^2 (\nabla u_I,v_0 \nabla \psi)
$$

**WG在加权平衡范数下的超收敛性**
本节致力于分析WG-FEM应用于（1.1）反应-扩散方程在平衡范数下的超收敛性。为了在平衡范数 $\| u_I - u_N \|_S$ 下建立均匀误差估计，我们利用引理1在Shishkin网格框架内推导了$ERD(u - u_I,v_N)$的每一项的界限。

**引理10**
在假设1下，存在一个常数 $C > 0$，使得对于所有 $v_N \in V_N^0$，有
$$
\epsilon | \epsilon^2 \nabla u - u_I, \nabla v_0W | \leq C_N^{-\lambda} + N^{-1} \ln N^2 \| v_N \|_S.
$$
**证明**
设 $v_N \in V_N^0$ 是任意测试函数。使用...

**数值实验**
在本节中，我们通过加权WG-FEM（3.8）在Shishkin网格上解决了两个数值示例，以验证理论结果。解是在正方形域 $\Omega = [0,1]^2$ 上计算的。在所有实验中，我们按以下方式估计加权WG-FEM的收敛阶数。在Shishkin网格 $K_N$ 上，让误差（$N$）表示能量范数 $\| \cdot \|_S$ 或L2范数中的误差。收敛率通过以下公式计算：
$$
\text{Order}(N) = \ln(\text{error}(N/2))/\text{error}(N)
$$
其中 $\text{factor} = \ln(2\ln(N/2)/\ln(N))$。

**结论**
我们分析了单位正方形上的奇异扰动反应-扩散问题，证明了WG-FEM解在Shishkin网格上相对于精确解的双线性插值的加权平衡范数下的超收敛性。数值结果证实理论误差估计是精确的，直到对数因子。未来的工作将把这些分析扩展到更高阶的WG-FEM和具有特征边界层的问题。

**作者贡献声明**
苏阿伊普·托普拉克塞文（Suayip Toprakseven）：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、方法论、概念化。
彭竹（Peng Zhu）：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、软件、形式分析。

**资助**
彭竹的研究部分得到了浙江省自然科学基金（LY23A010005）的支持。