针对受随机退化影响的资产，采用基于时间和条件的维护策略的高级优化与比较评估：一种融合性能鲁棒性指标的Gamma过程方法

《Results in Materials》：Advanced Optimization and Comparative Assessment of Time- and Condition-Based Maintenance Strategies for Assets Subjected to Stochastic Degradation: A Gamma Process Approach Incorporating Performance-Robustness Metrics

　　卡米斯·谢赫（Khamiss Cheikh）| E.L.莫斯塔法·布迪（E.L.Mostapha Boudi）| 拉比·拉比（Rabi Rabi）| 哈姆扎·莫赫利斯（Hamza Mokhliss）
摩洛哥拉巴特穆罕默德五世大学（Mohammed V University）莫哈马迪亚工程学院（Mohammadia School of Engineers）机械与工业系统系（EMISys）能源团队

摘要：本研究开发并严格评估了一种综合分析框架，用于优化和比较评估应用于经历随机退化的资产的时间基础和条件基础维护策略。资产退化使用均匀伽玛过程（homogeneous Gamma process）进行建模，该过程能够准确表示受到内在变异性的影响而呈现单调退化的过程。研究系统地探讨了三种维护政策：块替换（Block Replacement，BR）、定期检查和更换（Periodic Inspection and Replacement，PIR）以及基于分位的检查和更换（Quantile-Based Inspection and Replacement，QIR）。为了在经济效益和成本可预测性之间取得定量平衡，引入了一种新的性能鲁棒性目标函数?，该函数将预期的维护成本率及其变化性整合到一个统一的指标中。广泛的蒙特卡洛模拟表明，QIR通过根据条件可靠性阈值动态调整检查间隔，在各种经济情景下始终能够实现最低的预期维护成本，并更好地控制成本变异性。相比之下，BR显示出显著更高的预期成本和较大的变异性，而PIR通过采用固定间隔检查提供了中等的改进。敏感性分析进一步揭示，最优维护参数必须适应停机成本率的波动，这突显了基于条件的策略的必要性。所提出的方法框架和目标函数为维护实践者提供了一个可靠的决策工具，用于选择能够在确保财务稳定的同时最小化总拥有成本的策略，从而支持在现代工业资产管理中采用自适应、数据驱动的维护实践。

1. 引言
有效维护受到随机退化过程影响的工程资产是实现可靠、安全和经济可持续工业运营的基石[1][2]。维护支出占关键基础设施和生产系统总生命周期成本的重要比例，而意外的设备故障可能会造成严重的经济损失，危及人员安全，并破坏合规性。传统的维护策略，如块替换（Block Replacement，BR），采用固定间隔的干预计划，忽视了资产的实际健康状况。尽管操作简单，但这种基于时间的策略往往会导致次优的结果，要么是通过过早更换而产生过高的预防成本，要么是使资产面临较高的在役故障风险，从而导致高昂的纠正成本[3][4]。

表1. 用于模拟的经济和模型参数
参数值 基本预防成本（C0） 48.00
纠正成本（Cc） 98.00
检查成本（Ci） 5.00
停机成本（Cd） 34.00
故障阈值（L） 29.00
预防阈值（Ms） 14.00
伽玛形状（α） 0.10
伽玛比例（β） 0.10

表2. BR、PIR、QIR的最优决策变量和性能指标
策略 最优变量 C∞σφ
BR 9.70 5.99 4.11 11.74
PIR ΔT =6.19 M=12.84 4.10 9.86
QIR α =0.55 M=18.3 3.83 4.14 9.63

表3. 最优φ对停机成本（Cd）变化的敏感性
停机成本率 Cd 最优目标函数 φBROptimal 最优目标函数 φPIROptimal 最优目标函数 φQIR
10 7.26 6.13 10.58 8.35 0
14 0.01 10.9 0

相比之下，基于条件的维护（Condition-Based Maintenance，CBM）策略因其能够将维护干预与资产的真实退化状态对齐而受到越来越多的关注[5][6]。CBM利用传感技术、数据分析和健康监测的进步，实时检测和量化资产退化，从而使得维护决策更能根据实际故障风险进行校准。然而，CBM策略的设计和优化面临巨大挑战，主要是由于退化演变的固有不确定性和故障时间的随机变异性[7][8]。此外，还需要在平均维护成本与更新周期内的成本变异性之间取得平衡——这种变异性可能会在财务受限的操作环境中显著影响预算的可预测性和风险暴露[9][10]。最近在随机退化建模方面的发展，特别是使用伽玛过程来描述单调和不可逆的磨损现象，为表示资产健康动态提供了严格的数学基础[11][12]。伽玛过程有助于明确推导出故障时间分布，并能够在概率性退化轨迹下定量评估维护策略。虽然先前的研究已经应用这些模型来估计预期维护成本或优化更换阈值，但它们通常忽略了维护支出的分散性——这一遗漏可能导致策略不适合那些成本稳定性与成本最小化同样重要的行业[13][14]。

为了应对这些限制，本研究提出了一个统一的分析和计算框架，用于优化和比较评估经历随机退化的资产的时间基础和条件基础维护策略。具体而言，本研究考察了三种日益复杂的维护策略：块替换（Block Replacement，BR）、定期检查和更换（Periodic Inspection and Replacement，PIR）以及基于分位的检查和更换（Quantile-Based Inspection and Replacement，QIR）[15][16]。QIR策略通过动态调整检查间隔来维持资产的条件可靠性，使其高于指定的阈值，从而提供了一种适应性的调度机制，使干预时机与实时退化风险保持一致。

最近在多标准决策（Multi-Criteria Decision Making，MCDM）和基于TOPSIS的优化方面的研究展示了结构化决策框架在解决涉及多个且常常相互冲突的性能目标的复杂工程问题中的有效性。例如，Ba?ar等人应用了一种混合Taguchi–Entropy–CoCoSo方法来优化Al/B4C/SiC复合材料的钻孔参数，明确平衡了多个质量响应，并展示了基于熵的加权如何增强对不确定性的鲁棒性[17]。同样，Der和Ba?ar使用基于TOPSIS的多响应优化框架来改进增材制造的PLA的CO2激光切割质量，说明了基于距离的决策方法在多个性能标准下对竞争过程配置进行排序的能力[18]。Prasad Chandran等人使用人工神经网络开发了多输入多输出模型，以捕捉过程参数和响应之间的复杂非线性关系，从而为制造系统的决策支持提供了正向和反向预测[19]。

尽管基于伽玛过程的基于条件的维护（CBM）模型在文献中得到了广泛研究，但大多数现有方法依赖于结合可靠性阈值、危险率标准或在离散时间点评估的预期剩余寿命的固定检查计划。这样的公式通常在孤立的时刻调节资产状态，并不能显式控制两次检查之间的故障概率，特别是在高度随机退化动态下。在这方面，本研究提出的基于分位的检查和更换（Quantile-Based Inspection and Replacement，QIR）策略引入了一种根本不同的范式。QIR不是应用静态的可靠性或危险阈值，而是根据观察到的退化状态在整个检查间隔内对条件可靠性施加分位约束，从而动态确定检查时间。这种基于分位的控制直接限制了两次检查之间的故障尾部风险，并实现了完全自适应的检查调度，能够连续响应实际发生的退化轨迹。据作者所知，这种基于分位的条件可靠性框架之前尚未被整合到基于伽玛过程的维护优化中。

本工作的核心贡献在于提出了一个性能鲁棒性目标函数?，该函数将预期的维护成本率C∞及其标准差σ整合到一个单一、易于处理的指标中。这一统一的标准使得策略之间可以进行客观比较，并支持选择同时最小化长期平均成本和限制成本变异性的策略——这在工业环境中至关重要，因为在这些环境中，意外的维护费用可能会破坏预算并削弱运营韧性。通过广泛的蒙特卡洛模拟，本研究系统地量化了每种策略在各种经济情景下的性能，特别关注最优配置对停机成本率变化的敏感性[20][21]。结果提供了严格的实证证据，证明了在随机退化动态下，自适应的基于条件的策略，特别是QIR，在经济上的优越性和增强的鲁棒性。

本文的主要贡献如下：
- 提出了一种基于分位的检查和更换策略，在伽玛过程退化下控制检查间隔间的条件可靠性；
- 从随机退化轨迹内生地导出了一个完全自适应的检查调度机制；
- 将所提出的策略整合到一个考虑预期成本和成本变异性的性能鲁棒性优化框架中；
- 对基于时间的和定期的CBM策略进行了全面的蒙特卡罗基比较评估。

尽管在本研究中退化变量被数学上进行了表述，但所采用的随机过程旨在代表材料工程中常见的物理意义上的损伤累积机制。本工作中采用的均匀伽玛过程特别适用于随时间单调且不可逆退化的现象，这是许多材料失效模式的特征。典型的例子包括循环载荷下金属部件的疲劳裂纹生长、陶瓷和硬复合材料的磨损或侵蚀性磨损，以及聚合物材料的化学或热氧化老化。在这些系统中，损伤逐渐累积而没有自发恢复，使得累积随机过程成为自然的建模选择。

本研究主要是方法论性质的，旨在使用统一的分析和优化框架比较评估随机退化下的维护策略。因此，选择的退化参数和蒙特卡洛模拟代表了一种通用但物理上现实的退化情况，而不是特定的实验数据集。这一选择使得所提出的框架能够广泛应用于不同的材料系统，同时为隔离检查和更换策略的效果提供了一个受控环境。

本文的其余部分结构如下：第2节概述了正在研究的维护策略，即块替换（Block Replacement，BR）、定期检查和更换（Periodic Inspection and Replacement，PIR）以及基于分位的检查和更换（Quantile-Based Inspection and Replacement，QIR）。第3节介绍了方法框架，包括随机退化模型、维护策略和性能指标；第4节描述了基于模拟的优化程序；第5节报告和解释了结果；第6节总结了主要发现并对未来研究方向进行了展望。

2. 维护策略
本研究考虑了三种不同的维护策略，代表了在随机退化下安排干预的基本不同的范式：块替换（Block Replacement，BR）、定期检查和更换（Periodic Inspection and Replacement，PIR）以及基于分位的检查和更换（Quantile-Based Inspection and Replacement，QIR）。这些策略从基于时间的方法到先进的、自适应调度的基础条件维护策略都有涉及。

2.1. 块替换策略（Block Replacement Strategy，BR）
BR策略代表了传统的基于时间的维护（Time-Based Maintenance，TBM）策略，其中维护决策完全由预先建立的日历间隔而不是资产的实际退化状态决定。在这个框架中，资产在固定时间kT进行更换，其中k∈{1,2,…}表示更换周期数，T是更换间隔。维护干预按照以下方式发生[6][22]：
- 如果资产在时间kT仍然可用（即XkT），则执行预防性更换以降低即将发生故障的风险。
- 如果退化在kT之前达到或超过故障阈值L（即XkT≥L），则在故障发生时反应性地触发纠正性更换。
因此，更换周期T作为定义整个调度策略的关键决策变量。虽然BR提供了一个直接、确定性的维护计划，但它本质上缺乏对随机退化进程的响应性，这使得它容易因过早或延迟的干预而产生效率低下（见图1）。

2.2. 定期检查和更换策略（Periodic Inspection and Replacement Strategy，PIR）
PIR策略引入了基于条件的维护（Condition-Based Maintenance，CBM）的基础形式，通过定期检查来评估资产的退化状态。在PIR下，检查在固定间隔δ进行，定义检查时间为Tk=kδ（k=1,2,…）。在每次检查时间Tk，使用传感器测量或诊断指标评估资产的退化程度XTk，并做出以下决策：
- 如果退化程度达到或超过预防阈值M（即XTk≥M），则启动预防性更换（Preventive Replacement，PR），反映了资产接近故障的状态以及继续运行的风险增加。
- 如果退化保持在M以下（即XTk），则允许资产运行到下一次预定的检查。
因此，PIR在维持恒定检查间隔δ的同时，建立了检查结果与维护行动之间的联系。这比BR提供了更明智的决策，因为它利用了定期的条件评估，但其固定的检查计划仍然限制了对资产实时退化动态的响应性（见图2）。

2.3. 基于分位的检查和更换策略（Quantile-Based Inspection and Replacement Strategy，QIR）
QIR策略代表了先进的CBM范式，通过确保条件可靠性始终高于用户指定的分位阈值α来动态调整检查间隔[22]，其中0≤α≤1。具体来说，下一个检查时间Tk+1在下一节3中计算。
需要澄清的是，所提出的QIR策略与文献中报告的经典基于可靠性阈值或危险率的基于条件的维护策略有根本的不同。在大多数使用Gamma过程的现有CBM（条件基于维护）公式中，检查计划要么是预先固定的，要么是使用在离散检查时刻评估的点态可靠性或危险度标准来调整的。这些方法在孤立的时间点调节资产状况，并不显式控制检查之间发生故障的概率。相比之下，QIR（基于分位的检查与更换）通过在整个检查间隔期间对条件可靠性施加分位数约束来确定检查间隔，该约束基于当前检查时观察到的退化状态。通过控制条件退化分布的指定分位数，QIR显式限制了[Tk,Tk+1]期间的故障尾概率，而不是依赖于期望值或瞬时危险度测量。因此，检查时间既不是固定的，也不是通过启发式方法调整的，而是从随机退化过程中内生地产生的，从而形成了一个完全适应性和风险意识的检查调度策略。通过适应性调度检查以保持[Tk,Tk+1]区间内的最小条件可靠性α，QIR直接将维护活动与随机退化过程中固有的瞬时故障风险对齐。这确保了干预措施仅在资产退化进程需要时发生，最小化了不必要的预防性行动，并降低了计划外故障的可能性。这三种策略（从BR的确定性、基于时间的更换，到PIR的周期性条件评估，再到QIR的完全适应性、基于可靠性的调度）构成了后续章节中介绍的模拟和比较评估的基础。它们的数学公式和实施细节为评估不同维护策略之间的经济性能和风险提供了全面的基础（见图（3））。

尽管基于风险的条件维护策略通常使用条件危险率阈值或剩余寿命标准来制定，但本文提出的基于分位的检查与更换（QIR）策略采用了条件可靠性-分位数公式。这种选择的原因在于，条件可靠性直接控制了整个检查间隔期间的存活概率，从而显式限定了检查之间的故障风险。相比之下，基于危险的策略调节给定时间点的瞬时故障强度，这并不一定限制了有限未来区间内的累积故障概率，特别是在像Gamma过程这样高度随机化的退化过程中。对于Gamma过程退化，条件危险率强烈依赖于当前退化状态和经过的时间，并可能表现出非单调行为。因此，强制执行固定的危险阈值可能导致检查计划在局部控制瞬时风险的同时，仍然允许在下次检查之前有不可忽视的故障尾概率。通过强制执行可靠性分位数约束，QIR策略保证整个检查间隔期间的条件故障概率保持在规定的水平以下，提供了更直接和可解释的风险控制机制。

3. 方法论
本节详细介绍了用于模拟资产退化过程、定义维护策略以及在随机操作条件下定量评估其经济性能的严格数学框架。该方法论包括退化的随机建模、适应性调度所需的条件可靠性计算、预防性和纠正性维护成本函数、停机成本公式以及长期性能指标，这些共同为块式更换（BR）、周期性检查与更换（PIR）和基于分位的检查与更换（QIR）策略的比较分析提供了信息。资产退化被表示为一个均匀的Gamma过程，这是一种适合捕捉许多机械和结构组件特征的单调且不可逆退化现象的成熟随机模型。描述退化增量Xs?Xt在区间[t,s]内的概率密度函数（PDF）表示为[22]：

尽管基于风险的条件维护策略通常使用条件危险率阈值或剩余寿命标准来制定，但本文提出的基于分位的检查与更换（QIR）策略采用了条件可靠性-分位数公式。这种选择的原因在于条件可靠性直接控制了整个检查间隔期间的存活概率，从而显式限定了检查之间的故障风险。相比之下，基于危险的策略调节给定时间点的瞬时故障强度，这并不一定限制了有限未来区间内的累积故障概率，特别是在像Gamma过程这样的高度随机化退化过程中。对于Gamma过程退化，条件危险率强烈依赖于当前退化状态和经过的时间，并可能表现出非单调行为。因此，强制执行固定的危险阈值可能导致检查计划在局部控制瞬时风险的同时，仍然允许在下次检查之前有不可忽视的故障尾概率。通过强制执行可靠性分位数约束，QIR策略确保整个检查间隔期间的条件故障概率保持在预定水平以下，提供了更直接和可解释的风险控制机制。

3. 方法论
本节详细介绍了为模拟资产退化过程、定义维护策略以及在随机操作条件下定量评估其经济性能而开发的严格数学框架。该方法论包括退化的随机建模、适应性调度所需的条件可靠性计算、预防性和纠正性维护成本函数、停机成本公式以及长期性能指标，这些共同为块式更换（BR）、周期性检查与更换（PIR）和基于分位的检查与更换（QIR）策略的比较分析提供了信息。资产退化被表示为一个均匀的Gamma过程，这是一个适合捕捉许多机械和结构组件的单调且不可逆退化现象的成熟随机模型。描述区间[t,s]内退化增量Xs?Xt的概率密度函数（PDF）表示为[22]：

资产恶化被表示为一个均匀的Gamma过程，这是一个适合捕捉许多机械和结构组件的单调且不可逆退化现象的成熟随机模型。描述区间[t,s]内退化增量Xs?Xt的概率密度函数（PDF）表示为[22]：

其中α表示控制平均损伤积累率的形状参数，β表示表征退化变异性的尺度参数。对于具有参数α和β的均匀Gamma过程{Xt,t≥0}，其增量是独立且平稳的。对于任何s>t，增量Xs?Xt遵循形状参数为α(s?t)和尺度参数为β的Gamma分布。因此，其累积分布函数明确给出为[22]：

其中Γ(?)表示Gamma函数，Γ(?,?)是上半不完全Gamma函数。这个CDF为计算任何有限时间间隔内的存活率和可靠性概率提供了精确的封闭形式表达式。

退化过程被建模为一个均匀的Gamma过程，在此过程中，非重叠时间区间内的退化增量在给定过程参数的条件下假设是条件独立和平稳的。具体来说，条件于形状参数α和尺度参数β，不相交区间[t,s]内的增量Xs?Xt是独立的随机变量，其分布仅取决于区间的长度。这个假设在基于Gamma过程的退化建模中是标准做法，非常适合单调和不可逆的退化机制。在本研究中，潜在的潜在协变量（如操作载荷、环境条件或使用变化）没有明确建模。相反，它们对退化动态的综合影响是通过Gamma过程参数隐式捕获的，这些参数代表了随时间变化的平均退化强度和变异性。虽然这种均匀公式使得分析上易于处理，并便于维护策略之间的透明比较，但所提出的QIR框架并不限于这种情况。它可以很容易地扩展到非均匀或依赖于协变量的Gamma过程，在这些过程中，退化参数作为可观察或潜在操作条件的函数而演变，这是未来研究的一个重要方向。

由于Gamma过程样本路径几乎肯定是非递减的，故障可以严格定义为达到固定退化阈值L的首次命中时间。因此，故障时间由[23]给出：

这个定义将τL表征为相对于退化过程自然过滤的停止时间，并确保一旦超过阈值，故障就是不可逆的。方程（3）代表了资产的随机寿命。尽管τL的分布没有简单的封闭形式表达式，但其概率密度函数可以明确地写为[4]：

其中ψ(?)是digamma函数。这个表达式是通过对方程关于时间求导得到的，代表了Gamma过程退化模型的故障时间密度的完整分析表征。从物理角度来看，Gamma过程的参数可以直接与材料退化行为相关联。形状参数α控制平均损伤积累率，可以解释为主要退化机制的平均动力学，例如疲劳载荷金属中的裂纹传播率、磨损过程中的材料去除率或化学活性聚合物的老化率。尺度参数β捕获了退化演变的变异性和不确定性，反映了微观结构异质性、环境波动和制造引起的缺陷。这些参数共同使Gamma过程能够表示实际材料退化轨迹中观察到的确定性趋势和随机分散。

尽管本工作中使用的Gamma过程模型没有针对特定的实验数据集进行校准，但它已在文献中被广泛采用，用于表示累积材料退化过程，如疲劳裂纹生长、磨损进展和老化引起的损伤。本研究中生成的模拟退化轨迹表现出与实证测量中常见的趋势一致的单调性和随机变异性，从而与观察到的材料行为提供了合理的定性一致性。

对于QIR策略，条件可靠性是适应性维护规划的关键。它量化了在检查时间Tk时给定当前退化状态XTk=xk的情况下，资产在未来的时间t之前不发生故障的生存概率：

下一个QIR检查间隔是通过确保条件可靠性保持在指定的分位数阈值α以上来最优确定的，该阈值由[6]正式定义：

这允许QIR根据实时退化状态主动调整检查时间，是其优越性能的一个显著特征。方程（6）构成了本研究的方法论贡献之一。与在预定义的检查时间比较可靠性或危险度量的传统CBM公式不同，所提出的基于分位数的公式通过限制即将到来的操作范围内条件存活概率来计算检查间隔。这种方法确保在每个检查间隔期间与故障相关的概率质量始终是有界的，给定当前退化状态。这种基于分位数的条件可靠性控制实现了一个完全依赖于状态的检查过程，能够连续适应实现的退化轨迹。据作者所知，之前尚未有将条件可靠性分位数显式用于确定Gamma过程退化下的检查时间的方法整合到维护优化框架中。

维护策略的经济评估需要量化每个更新周期的维护成本（MCPRC），该成本通过周期持续时间进行标准化，从而允许在不同更新间隔的策略之间进行公平比较[26]：

为了真实反映随着退化接近故障而增加的预防性干预的紧迫性和成本，预防性更换成本使用二次罚项进行建模[26]：

尽管有时使用固定成本来建模预防性更换行动，但方程（10）中采用的二次预防性成本公式旨在捕捉在退化严重阶段进行维护时增加的操作难度和相关间接成本。在许多材料系统中，接近故障时进行的干预涉及额外的劳动力、更长的拆卸时间、增加的安全预防措施以及周围组件的更高损坏风险。这些效应在疲劳关键的金属结构、严重磨损的陶瓷或复合材料以及老化的聚合物系统中尤为重要，其中退化会复杂化访问和处理。因此，二次罚项提供了一种简洁的表示方法，反映了随着退化接近故障阈值而逐渐增加的预防性干预努力。

停机时间被定义为从故障发生的时间τL到下一次维护或检查行动之间的经过时间。由于不同维护策略的调度逻辑不同，因此为每种策略明确地制定了停机时间。对于块式更换（BR）策略，其中更换在固定间隔T进行，只有在计划更换之前发生故障时才会发生停机，停机时间由[12]给出：

对于周期性检查与更换（PIR）策略，检查在时间Sk=kδ进行。如果两次检查之间发生故障，则停机时间对应于下一次检查之前的剩余时间：

对于基于分位的检查与更换（QIR）策略，检查时间Tk根据条件可靠性约束进行适应性确定。因此，停机时间表示为[14]：

在所有三种情况下，指示函数确保只有当故障发生在下一次计划干预之前时才会发生停机时间，从而提供了系统不可用的精确且明确的数学表示。在本研究中，停机时间被定义为资产在发生故障后无法使用的时间段，直到执行下一次维护干预。停机时间仅在故障发生在预定或适应性维护行动之前时发生。因此，方程（12）、（13）、（14）中的停机时间表示在两次连续访问（更换或检查）之间发生故障的条件停机时间。

假设一旦开始维护，修复行动是瞬时的，因此没有单独建模显式的修复时间分布。这个假设与许多基于更新的维护模型一致，允许停机时间主要由后勤和检测延迟决定，即故障发生与下一次计划干预之间的时间。预防性更换（PR）和纠正性更换（CR）假设一旦开始即可立即将系统恢复到如新状态。因此，修复持续时间在PR和CR之间没有区分。相对而言，纠正性行动的经济影响是通过较高的纠正性更换成本和应用于不可用持续时间的停机成本率来捕获的。在这些假设下，方程（12）、（13）、（14）中的停机时间表示在下次访问之前发生故障的条件停机时间，分别适用于BR、PIR和QIR策略。与停机时间相关的成本是通过将停机时间长度乘以一个恒定的停机成本率来获得的，该成本率代表了生产损失、服务中断以及相关的经济处罚。为了进行长期性能评估，通过更新奖励定理计算连续更新周期内的预期维护成本率，如[26]中所示：(17) 在稳态操作下提供每单位时间的平均成本。这一关键指标被综合到性能-鲁棒性目标函数中[26]：(18) 其中权重λ反映了在限制成本变化和最小化预期成本方面的相对重视程度，体现了维护策略需要同时实现经济效率和可预测支出的实际需求。成本变化作为财务风险暴露的衡量标准，由MCPRC的标准差来捕捉[26]：(19) 总体而言，方程(1)、(5)、(10)、(12)、(13)、(14)、(17)、(18)、(19)为建模退化、调度维护干预以及评估BR、PIR和QIR策略的性能奠定了全面而严格的数学基础。这些公式构成了本研究中使用的模拟和优化框架的基础，形成了后续章节中分析和结果的定量核心。

采用统一的协议对所有策略进行一致且严格的评估：
• 使用给定的α和β的Gamma过程模拟多个随机退化轨迹，
• 对相同的轨迹应用BR、PIR和QIR策略，
• 计算检查、预防性和纠正性更换以及停机时间所发生的成本，
• 估计每种策略的性能指标（μ、σ、C∞、φ），
• 通过改变退化动态（α、β）和成本参数（Cp、Cc、Ci、Cd）来进行灵敏度分析，以评估在多样化操作场景下的鲁棒性。

4. 带有输入参数的模拟配置
在模拟研究中使用的退化参数的数值对应于一种通用但物理上现实的退化模式，这种模式被选中是为了反映具有显著随机变异性的中等退化速率，这在工业材料系统中是常见的。所选的参数集旨在为在不确定的退化动态下比较维护策略提供一个代表性的测试案例。这种方法允许所提出的框架广泛应用于不同类别的材料和退化模式，同时保持物理上的合理性。需要强调的是，所提出的维护优化框架不限于状态依赖的预防性成本结构。如果假设一个固定的预防性更换成本，方程(10)将简化为一个与退化水平无关的常数值，后续分析在没有结构修改的情况下仍然有效。在固定成本的假设下，可以同样地应用更新奖励公式、停机时间建模以及BR、PIR和QIR策略的决策变量优化，确保了所提方法的通用性。还需要强调的是，本研究中的蒙特卡洛模拟旨在提供一个受控且可重复的环境，用于比较维护策略，而不是作为针对特定实验数据集的直接验证。其目的是在不确定的退化动态下评估相对性能、鲁棒性和经济权衡，同时保持退化路径的物理合理性。因此，直接的实证基准测试超出了本工作的直接范围。

为了确保对所考虑的维护策略进行严格和全面的评估，实施了大量的蒙特卡洛模拟，以估计长期预期维护成本率C∞和相关的成本变异σ，覆盖了广泛的决策变量配置。模拟框架经过精心设计，以忠实复制第2节中描述的随机退化过程和每种维护策略固有的干预逻辑，从而促进了稳健和无偏的比较。退化轨迹被建模为均质Gamma过程的实现，参数化为α=β=0.1，如方程(1)、(2)、(3)、(4)中所规定。具体来说，退化增量是从概率密度函数中抽样的（见方程(1)）。在细粒度的时间步骤上，从而捕捉到资产恶化的固有单调性和随机变异性。每次模拟试验一直进行到发生维护干预：在预定间隔进行预防性更换（BR）、在退化超过预防阈值时进行的第一次检查（PIR和QIR），或在达到临界阈值L=29时进行纠正性更换。每次干预后，退化过程被重置，开始一个新的更新周期，确保了方程(7)和(17)–(19)中基本的更新奖励框架。预防性更换成本是在每个更新周期中使用方程(10)中规定的二次成本函数计算的，该函数捕捉了随着退化接近故障阈值而增加的预防性维护成本，其中C0=48表示基线预防成本，Cc=98表示纠正成本，Ms=14表示预防阈值，L=29表示故障阈值。

每个更新周期的维护成本（MCPRC）是根据方程(7)计算的，其中C(S)是该周期内发生的总成本，S是相应的更新周期长度。然后使用方程(17)、(19)分别估计长期预期维护成本率和成本变异性，这些随后被结合到性能-鲁棒性目标函数?中，如方程(18)所定义，λ=1.4反映了对于成本变异性的相对厌恶，这符合优先考虑成本效率和预算可预测性的行业实践。停机成本使用方程(12)、(13)、(14)明确纳入周期成本中，这些方程描述了根据故障相对于维护干预的时间来估计每种策略的预期停机时间长度，其中τL是首次达到故障阈值的时间。对于基于分位数的检查和更换（QIR）策略，通过解方程(6)在每个更新周期内动态确定检查时间，以确保资产的条件可靠性保持在目标分位数α以上，其中条件可靠性函数R(t∣XTk)由方程(5)给出，确保QIR根据实时退化状态估计动态调整检查间隔。

经济输入参数在所有模拟场景中统一应用，包括预防性和纠正性成本、检查成本Ci=5以及停机成本率Cd=34，这些参数代表了资产不可用性会导致显著经济处罚的工业资产。每个候选策略配置（BR的更换间隔T、PIR的检查间隔ΔT和预防阈值M，以及QIR的可靠性分位数α和预防阈值M）都使用2500次模拟更新周期进行了评估。这个样本大小是通过初步收敛研究确定的，确保估计的C∞和σ的相对误差保持在1%以下，从而保证了表(2)和图1、图2、图3、图4、图5、图6、图7、图8中呈现的优化结果的统计严谨性。

5. 结果与解释
本节深入分析了三种维护策略BR、PIR和QIR的优化结果。结果包括最优决策变量、关键性能指标、灵敏度分析、详细的数值示例以及基于表(1)至表(3)、图(1)至图(8)和方程(1)、(5)、(10)、(12)、(13)、(14)、(17)、(18)、(19)的全面解释。

5.1. 经济和模型参数背景
如表(1)所示，经济和退化模型参数定义了一个现实且具有挑战性的工业场景，用于评估维护策略的有效性。所选参数反映了在能源生成、石油化工加工和运输基础设施等行业中部署的关键资产，其中过早干预和计划外故障都会造成重大经济处罚的情境。纠正性更换成本（Cc=98）故意设定得远高于基本预防性更换成本（C0=48），模拟了操作现实，即纠正性维护不仅需要备件和劳动力，还需要紧急动员维护团队、加快物流，并且通常会导致生产停机时间延长。Cc和C0之间的显著差异强调了需要能够预先阻止故障的维护策略的重要性，以避免与反应性干预相关的过高成本。检查成本（Ci=5）包括与资产检查直接相关的支出（如技术人员劳动、仪器和消耗品）以及由于检查期间过程暂时放缓或部分设备不可用而产生的间接机会成本。通过赋予Ci一个不可忽视的值，模型适当地惩罚了过高的检查频率，从而在主动条件监控和检查本身的经济负担之间建立了平衡。

停机成本率（Cd=34）量化了资产不可用每时间单位的财务影响。它整合了由于生产输出损失、未能按时履行客户订单、服务中断的合同罚款以及潜在的安全或环境合规违规所带来的成本。模型中Cd的大小代表了高风险的操作情境，在这种情境下，资产停机时间的延长会迅速侵蚀盈利能力并危及组织目标。退化过程被建模为一个均质Gamma过程，由形状参数α=0.1和尺度参数β=0.1定义，符合方程(1)、(2)、(3)、(4)。这个随机过程捕捉了具有中等平均进展率和显著周期间变异性的单调、不可逆的退化轨迹。这种变异性真实地反映了在波动负荷或不同环境条件下运行的资产，其中退化可能会由于瞬态操作模式或外部压力因素而不可预测地加速或减速。关键的退化阈值（L=29）划定了退化变得不可接受的点，表明功能故障并要求立即进行纠正性更换。相比之下，预防阈值（Ms=14）表示超过这个阈值的退化水平，在下一次计划干预之前的故障概率变得足够高，以至于预先更换在经济上变得合理。这些阈值的设定对于定义有效的干预政策至关重要，特别是对于依赖退化状态评估的策略。

总的来说，表(1)中列举的参数建立了一个严格且现实的维护优化问题。预防性维护成本与纠正性维护成本之间的巨大差距、由于停机时间造成的显著罚款，以及资产退化轨迹的随机性，要求采取能够不仅最小化预期维护成本，还能控制成本波动性的策略，以实现可靠的财务预测和稳定的资产运营。这种参数配置代表了一个严格的基准场景，可以客观评估基于时间和基于状态的维护策略的相对性能，确保研究结果在具有退化不确定性和高经济风险的工业环境中仍然具有相关性。

5.2. 最优维护配置
每种评估的维护策略的最优决策变量及其相应的性能指标都在表（2）中全面呈现。这些结果是通过第2节详细描述的广泛蒙特卡洛模拟获得的，揭示了在应用于受随机退化影响的资产时，基于时间和基于状态的维护方法在经济性能和鲁棒性方面的显著差异。
对于BR策略，最优的固定更换间隔被确定为Topt=9.70。在这种配置下，通过方程（17）计算的长期预期维护成本率为C∞=5.99。根据方程（19）量化的相关成本波动性为σ=4.11，由此产生的目标函数值为?=11.74（由方程（18）定义）。这些数字反映了BR的固有脆弱性：尽管其简单，但该策略使操作者面临由于在预定更换之前发生意外故障而带来的巨大经济风险，导致预期成本上升和成本波动加剧。
相比之下，PIR策略由于能够定期评估资产的退化状态并在必要时执行预防性干预而表现出显著改进的性能。最优的PIR配置包括检查间隔ΔTopt=6.19和预防性更换阈值Mopt=12.8。这种配置导致预期维护成本率显著降低至C∞=4.10，成本波动性为σ=4.12，目标函数值为?=9.86。这些结果强调了纳入系统化检查的经济优势：通过及时识别超过预防阈值的退化进展，PIR减少了故障达到临界阈值L的可能性，从而减少了昂贵的纠正性更换的依赖。
QIR策略在所有研究的策略中表现最为优越。利用动态的、基于可靠性的检查政策，QIR根据资产不断变化的退化状态优化调整检查间隔。最优的QIR配置确定了条件可靠性分位数αopt=0.55和预防性阈值Mopt=18.3。这一策略实现了最低的预期维护成本率C∞=3.83，成本波动性保持在σ=4.14，目标函数值为?=9.63。重要的是，QIR的卓越性能是在不产生过度检查成本的情况下实现的，这得益于其适应性调度机制，该机制使检查频率与资产的即时风险状况保持一致。
表（2）中建立的绩效等级清楚地表明，适应性基于状态的策略，特别是QIR，通过同时减少预期维护成本和控制成本波动性，超越了固定间隔策略。这一实证证据有力地说明了从严格的、基于日历的维护方法向动态响应随机退化现象的数据驱动策略转变的关键重要性，从而优化了现代资产管理中的经济和运营结果。
选择二次预防成本函数主要影响预期维护成本率的绝对大小，但不会改变维护策略的基本性能机制。使用固定预防成本进行的初步数值实验（为简洁起见在此未报告）表明，各种策略的相对排名保持不变。特别是，QIR策略的优越性能仍然存在，因为其主要得益于适应性检查调度和对故障风险的改进控制，而不是预防成本的具体函数形式。

5.3. 目标函数动态
目标函数?作为决策变量函数的变化情况在图（4）中展示，是评估所考虑维护策略的关键组成部分。目标函数?在方程（18）中严格定义，通过将长期预期维护成本率C∞（方程（17）和成本波动性σ（方程（19））整合为一个单一标量指标，从而全面反映了经济效率和对抗成本波动的鲁棒性。
图（4）显示，?对决策变量的依赖性在所有策略中都表现出明显的凸性，尽管它们之间的曲率有显著差异。对于BR策略，目标函数曲线非常凸，表明即使是最小的偏离最优更换间隔Topt也会导致?急剧增加。这种明显的敏感性凸显了BR在随机退化情况下的脆弱性：无法根据资产状况调整更换时间会增加不必要的预防性干预或遭受昂贵的计划外故障的风险，从而导致预期成本上升和成本波动加剧。
相比之下，PIR和QIR策略在其各自的目标函数轮廓中表现出明显更平坦的最小值，如图（4）所示。对于PIR，目标函数在最优检查间隔ΔTopt附近表现出中等程度的凸性，而QIR的目标函数曲线在最优可靠性阈值αopt附近特别平坦。这表明这两种基于状态的策略对其各自最优参数的偏差具有相当大的容忍度。具体来说，小的调度不准确或操作限制导致未能严格遵循ΔTopt或αopt对整体性能的影响有限。这种内在的鲁棒性在实际情况中至关重要，因为在实际工业环境中，由于人力限制、备件可用性或意外的生产需求，很难完美执行维护计划。
此外，QIR目标函数在其最优值附近的相对平坦性反映了其根据资产不断变化的退化状态动态调整检查时间的能力。通过保持条件可靠性在指定分位数以上，QIR确保了与随机退化轨迹精确对齐的及时干预，减少了过早维护成本和意外故障的风险。
图（4）中建立的绩效层次结构明确表明，适应性基于状态的策略，尤其是QIR，通过同时降低预期维护成本和控制成本波动性，优于固定间隔策略。这一实证证据有力地说明了从刚性、基于日历的维护方法向能够动态响应随机退化现象的数据驱动策略转变的关键重要性，从而在现代资产管理中优化了经济和运营结果。
选择二次预防成本函数主要影响预期维护成本率的绝对大小，但不会改变维护策略的基本性能机制。使用固定预防成本进行的初步数值实验（为简洁起见未在此报告）表明，各种策略的相对排名保持不变。特别是，QIR策略的优越性能仍然存在，因为它主要是由适应性检查调度和改进的故障风险控制驱动的。

5.4. 预期成本率和波动性的趋势
预期维护成本率C∞和维护成本标准差σ作为主要决策变量函数的同时变化在图（5）中进行了全面说明。这些性能指标是通过方程（17）和（19）严格推导得出的，提供了关于每种维护策略在其操作范围内经济行为的关键定量洞察。
如图（5）所示，对于所有三种策略（BR、PIR和QIR），决策变量（BR中的更换间隔T、PIR中的检查间隔ΔT或QIR中的可靠性阈值α）的初始扩展会导致预期成本率C∞的单调下降。这种减少归因于预防性维护行动的直接减少，因为当干预减少时，平均支出也随之降低。
然而，在每种策略特有的关键点之后，决策变量值的进一步增加会引发明显的逆转：C∞急剧上升。这种变化是因为较长的间隔显著提高了两次干预之间发生计划外故障的概率，导致昂贵的纠正性更换和停机时间的罚款不成比例地增加。这种转变清楚地区分了减少预防性干预的好处与灾难性故障风险增加之间的经济平衡。
同时，标准差σ也表现出类似的动态变化。在接近最优间隔时，σ保持相对稳定或略微下降，反映了持续的、可预测的维护支出。然而，当决策变量超出其最优阈值时，σ急剧上升，表明维护成本的散布增加，这是由于故障的随机发生及其相关的经济后果。这种行为突出了每种策略对偏离最优调度的内在风险敏感性。
值得注意的是，这些趋势的严重程度在策略之间有很大差异。BR策略在C∞和σ方面的最佳后增加最为显著，反映了其完全依赖于没有条件监控能力的固定计划。这一特性使得BR在随机退化波动存在的情况下极易受成本不稳定性的影响。
相比之下，PIR通过定期重新评估资产状况并在退化超过阈值M时及时实施预防性干预，减缓了C∞和σ的加速增加。这一优势提高了对意外故障事件成本影响的抵抗力。
最显著的是，QIR在偏离αopt时的C∞和σ的增加最为可控，显示出其卓越的适应性。通过动态调度检查以保持条件可靠性在指定分位数以上，QIR有效地限制了即使在高度随机退化轨迹下也能实现一致的经济性能。
总体而言，图（4）中显示的凸性趋势证实了先进基于状态的策略，特别是QIR，不仅提供了更好的预期成本性能，还具有更高的参数不确定性抵抗力。这种韧性对于在具有高退化变异性和复杂物流限制的工业系统中实现经济可持续的资产管理至关重要。

5.4. 预期成本率和波动性的趋势
预期维护成本率C∞和维护成本标准差σ作为主要决策变量函数的同时变化在图（5）中得到了全面说明。这些性能指标是通过方程（17）和（19）严格推导得出的，提供了关于每种维护策略在其操作范围内的关键定量洞察。
如图（5）所示，对于所有三种策略（BR、PIR和QIR），决策变量的初始扩展（BR中的更换间隔T、PIR中的检查间隔ΔT或QIR中的可靠性阈值α）会导致预期成本率C∞的单调下降。这种减少是由于干预减少时预防性维护行动的直接减少，从而在没有故障的情况下降低了平均支出。
然而，在每种策略特有的临界点之后，决策变量值的进一步增加会导致明显的反转：C∞急剧上升。这种转变清楚地表明了减少预防性干预的好处与灾难性故障风险增加之间的经济平衡。
同时，标准差σ也表现出类似的动态变化。在接近最优间隔时，σ保持相对稳定或略微下降，反映了持续、可预测的维护支出。然而，当决策变量超过其最优阈值时，σ急剧上升，表明维护成本的分布更加分散，这是由于故障的随机发生及其相关的经济后果。这种行为突出了每种策略对偏离最优调度的固有风险敏感性。
值得注意的是，这些趋势的严重程度在策略之间有很大差异。BR策略在最佳后C∞和σ的增加最为陡峭，反映了其完全依赖于没有条件监控能力的固定计划。这一特征使得BR在随机退化波动存在的情况下极易受到成本不稳定性的影响。
相比之下，PIR通过定期重新评估资产状况并在退化超过阈值M时及时实施预防性干预，减缓了C∞和σ的加速增加。这一优势提高了对意外故障事件成本影响的抵抗力。
最显著的是，QIR在偏离αopt时C∞和σ的增加最为受控，显示出其卓越的适应性。通过动态调度检查以保持条件可靠性在指定分位数以上，QIR即使在高度随机退化的轨迹下也能有效地限制意外故障的发生概率。
总之，图（5）中的实证趋势证实了方程（15）–（18）中的理论预测，强调了基于状态的维护策略，特别是QIR，在同时最小化预期成本和限制成本波动性方面的经济和运营优势。这些发现证实了在具有显著退化不确定性的系统中，能够根据实时退化状态动态调整干预时间的维护策略提供了无与伦比的性能——这两者都是确保可持续、经济优化的资产管理的关键目标。

5.5. 成本分布分析
每种策略的最优配置下每次更新周期维护成本（MCPRC）分布的详细分析在图（6）中呈现。这些分布反映了根据方程（7）标准化的每次更新周期维护成本的实现情况，提供了关于维护支出随机特性的关键洞察——这些洞察超出了单纯的平均成本指标。
如图（6）所示，BR策略产生了一个宽泛的、明显右偏的MCPRC分布。这种分布表明，由于在预定更换间隔之前随机发生故障，不频繁但极其昂贵的更新周期的概率很高。这种极端事件显著增加了维护成本的标准差σ（如表（2）中对BR的记录），表明其面临显著的经济风险。这种脆弱性使得BR策略不适合成本可预测性和预算稳定性至关重要的操作环境。
相比之下，PIR策略展现出更窄且更对称的MCPRC分布。通过定期进行系统化检查，PIR能够及早发现接近临界水平的退化，从而及时进行预防性干预，防止计划外故障。这种机制显著减少了高成本周期的频率和幅度，使维护支出更接近预期值C∞，相对于BR显著提高了财务稳定性。
最值得注意的是，QIR策略在分析的所有策略中展示了最紧凑的MCPRC分布。这种高度集中的分布反映了QIR通过保持条件可靠性在指定分位数以上，根据方程（5）动态调整检查间隔的独特能力。这种适应性调度大大限制了意外故障的概率，同时避免了过多的预防性干预，产生了最低的预期成本率和更一致的维护成本。
图（6）中的比较分布强调了评估不仅中心趋势（例如C∞）而且维护成本分散性的重要性——这是一个具有实际相关性的因素。如BR的宽泛MCPRC分布所示，较高的成本波动性可能会挑战预算规划，削弱管理信心，并扰乱财务预测，特别是在受到严格性能合同或资本分配限制的工业部门。
总体而言，图（6）中揭示的分布轮廓加强了图4、图5以及表（2）和（3）中总结指标所呈现的定量趋势。它们共同提供了有力证据，表明先进的基于状态的策略（特别是QIR）同时实现了降低预期维护成本和最小化成本波动性。这种双重优势对于确保在具有随机退化和高停机时间惩罚的环境中运行的资产的经济可持续性和运营可靠性至关重要。

5.6.对停机成本变化敏感性的分析

为了评估每种维护策略对停机成本率Cd变化的响应能力，进行了全面的敏感性分析。停机成本率是一个非常重要的参数，因为它直接影响资产不可用性的经济影响。该分析的结果在表(3)中进行了定量总结，并在图7和图8中通过图表进行了说明，为策略在变化的经济条件下的稳健性和适应性提供了关键见解。

如表(3)所示，随着Cd从10增加到50，所有策略的最优目标函数值?都有显著的上升，反映了延长停机时间的累积经济负担。值得注意的是，BR策略在Cd增加时表现出最快的增长速度，这揭示了其在计划外故障带来重大惩罚时对成本通胀的明显脆弱性。这一趋势突显了在停机成本占所有权总成本主导的经济环境中，固定间隔更换方法的根本局限性。

相反，PIR和QIR策略在Cd增加时显示出更为受限制的?增长，这凸显了在维护规划中纳入资产状况评估的固有优势。通过能够主动识别退化进展，这些策略有效减少了计划外停机的概率和持续时间，从而减轻了相关的经济后果。

在评估的策略中，QIR显示出明显且一致的优越性，在所有检查的停机成本情景下都保持了最低的?值。这种出色的性能直接归功于QIR的自适应调度框架，该框架动态调整检查间隔，以保持条件可靠性高于指定的阈值，从而根据实际的退化风险优化干预时机。这种适应性使QIR对Cd的变化具有极高的抵抗力，这对于在停机经济惩罚不稳定的环境中运行的资产来说是一个至关重要的属性。

图(7)生动地展示了这些发现，描绘了BR、PIR和QIR的?随Cd增加的轨迹。BR曲线的陡峭斜率与PIR和QIR更为平缓的趋势形成鲜明对比，直观地表明了基于条件的策略对提高的停机成本不利影响的较低敏感性。同时，图(8)展示了相同Cd范围内策略决策变量（BR的Topt、PIR的ΔTopt和QIR的αopt）的最佳演变。在每种情况下，随着Cd的增加，最优决策变量都趋向于更为保守的干预政策（即更短的间隔或更严格的可靠性目标），反映了通过更及时的维护行动来减轻增加的停机风险的必要性。

这些最佳调整证明了自适应维护策略能够根据不断变化的经济优先事项重新调整其操作参数，这是保持动态工业环境中成本效益性能的关键特征。表(3)和图7、图8的综合证据明确表明，具有动态调度能力的策略，特别是QIR，在广泛范围内的停机成本情景下表现出卓越的经济韧性。

5.7. 最佳策略性能的数值示例

为了示例所开发分析框架的实际应用，基于表(2)中确定的每种策略的最优配置，提供了一个代表性的数值示例。该示例演示了核心性能指标的计算，并阐明了在随机退化下选择最佳维护参数的经济和操作意义。

首先考虑BR策略在其最优替换间隔Topt=9.70时的情况，预期的长期维护成本率从方程(17)得到：C∞=5.99，而每个更新周期维护成本的相关标准差σ，反映了方程(19)中定义的成本变异性，计算为：σ=4.11。将这些指标纳入方程(18)中定义的性能稳健性目标函数，得到：?=C∞+λσ=5.99+1.4×4.11=11.74，这与表(2)中报告的BR的最优目标函数值完全一致。

相比之下，在各自的最优配置下，PIR和QIR策略取得了显著更好的结果：
- PIR 的结果为 C∞=4.10, σ=4.12, 和 ?=9.86；
- QIR 的结果为 C∞=3.83, σ=4.14, 和 ?=9.63。

这些定量结果揭示了通过条件监控和自适应调度可实现的改进程度：与BR相比，PIR将预期的维护成本率C∞降低了约31.6%，目标函数值?降低了16%。更重要的是，QIR实现了C∞降低36.1%和?降低18%，这凸显了其在有效管理成本变异性的同时最小化预期成本方面的优越能力。

此外，值得注意的是，成本变异性σ在PIR和QIR之间几乎保持不变，这表明QIR的增强经济性能并非通过增加对成本波动的暴露来实现的。相反，QIR在不牺牲成本稳定性的情况下，同时实现了预期成本和目标函数值的降低——这在需要可预测维护支出的工业环境中是一个重要的考虑因素。

这个数值示例具体说明了所提出的性能稳健性目标函数?作为决策工具的实际效用。通过将预期成本和变异性整合到一个指标中，它有助于识别既能提高经济效率又能确保财务可靠性的维护策略，即使在面对重大退化不确定性时也是如此。这种能力对于维护计划在那些意外成本超支可能危及运营连续性或合同义务的行业中至关重要。

5.8. 策略的比较评估

表(2)和(3)以及图4、图5、图6、图7、图8的综合结果在评估的策略之间建立了明确的层级。MCPRC的数学公式（方程(7)–(9)、(15)–(16)）和目标函数?（方程(18)）为理解这些差异提供了严格的理论基础。BR依赖固定间隔，使其在随机退化的存在下容易受到更高的成本变异性的影响。PIR通过定期检查显著提高了性能，而QIR则通过基于条件可靠性动态调整检查来提供最佳的经济结果和稳健性（方程(5)）。

5.9. 对维护决策的影响

表(2)和(3)以及图4、图5、图6、图7、图8中的广泛分析为工业环境中的维护政策制定和战略性资产管理提供了关键见解。这些发现共同明确表明，结合资产状况信息的维护策略在同时最小化预期维护成本和限制随机退化现象下的成本变异性方面远远优于传统的基于时间的方法。

表(2)中总结的比较性能评估在评估的策略之间建立了清晰的层级。BR策略虽然实施简单，但对于在不确定退化环境中运行的资产来说根本不够适用。BR僵化的基于日历的干预计划未能考虑资产的实际状况，导致过早更换和不计划故障的概率增加，表现为平均维护成本的增加和成本变异性的提高。这种固有的不灵活性使得BR不适合现代工业环境，在这些环境中运营可靠性和成本可预测性至关重要。

PIR策略通过引入定期的资产状况评估，实现了显著的进步，能够检测到接近预防阈值M的退化水平。这一能力减少了与BR相比的意外故障发生率，从而提高了经济性能和成本稳定性。然而，PIR依赖于固定的检查间隔，限制了其与实时退化轨迹的动态适应性，这在退化率变化较大或突然变化的情景中可能会影响其有效性。

相比之下，QIR策略在所有评估的性能指标上始终表现出卓越的性能。通过采用基于保持资产条件可靠性高于指定分位数阈值α的自适应调度，QIR将检查时机与随机退化固有的风险演变完美对齐。这种适应性确保了在真正需要干预时进行干预，减少了不必要的维护，并主动避免代价高昂的故障。实证证据证实，QIR不仅实现了最低的预期维护成本率，而且即使在停机经济惩罚较高的情况下，也保持了与替代策略相当或更好的成本变异性。

此外，表(3)和图7、图8中的敏感性分析显示了最优决策变量对停机成本率Cd增加的明显响应能力。这种响应性强调了维护策略能够根据变化的经济需求、资产的关键性或不断变化的运营约束重新调整干预时机的必要性。根据外部经济驱动因素动态调整的能力是QIR等先进基于条件策略的标志性特征，也是当代工业环境中经济可持续资产管理的先决条件。

本研究的一个关键贡献在于将性能稳健性目标函数?的形式化和应用，该函数在方程(18)中定义，它将预期的维护成本率C∞和成本变异性σ无缝整合到一个单一的定量指标中。这一统一的标准使得维护策略的严格、客观比较成为可能，使从业者能够选择同时优化经济效率和财务可靠性的策略。通过明确考虑维护成本的中心趋势和离散性，?解决了传统以成本为中心的评估的关键局限性，并使维护决策与现代财务风险管理实践保持一致。

从决策分析的角度来看，所提出的性能稳健性目标函数的作用类似于MCDM和TOPSIS基础框架中常用的聚合机制[17]、[18]。虽然传统的MCDM方法根据多个标准对替代方案进行加权距离排名，但本研究将预期维护成本和成本变异性整合到一个针对基于更新的维护系统的统一标量指标中。与通用的MCDM公式不同，该指标直接源自随机退化建模和更新理论，确保与潜在的物理和经济过程保持一致。从这个意义上说，所提出的框架可以被视为多标准决策原则在维护领域的具体实例，补充了最近的TOPSIS-、熵-和数据驱动优化研究[17]、[18]、[19]，同时仍然牢牢基于随机可靠性理论。

这些发现强烈主张采用自适应的、基于条件的维护策略（如QIR）作为先进资产管理框架的基础。这样的策略对于实现总所有权的可持续减少、提高资产可靠性以及在不可预测的退化和严格成本控制要求盛行的工业领域确保稳定的财务绩效至关重要。

基于剩余寿命分位数的维护政策在概念上更接近于所提出的QIR策略；然而，它们通常依赖于在检查时评估的剩余使用寿命的显式分布。这样的公式通常需要数值反演首次通过时间分布，并且对剩余寿命分布尾部行为的不确定性敏感。相比之下，QIR中使用的可靠性分位数公式利用了Gamma过程增量的闭合形式累积分布，从而实现了计算上更稳定和透明的自适应调度规则。

尽管本研究没有引入明确的退化参数认识不确定性模型，但通过广泛的蒙特卡洛模拟捕捉随机退化变异性和经济不确定性，隐含地解决了不确定性问题。性能稳健性目标函数整合了预期的维护成本率及其变异性，针对停机成本率的敏感性分析表明QIR在广泛的不确定操作条件下保持了卓越的性能和稳定性。这种稳健性分析突出了可靠性分位数控制在不确定性下稳定故障风险和经济结果的实用优势。

虽然QIR策略在模拟结果中显示出明显的经济优势，但其实际实施需要额外的计算和传感要求，相比简单的定期检查策略更为复杂。特别是，QIR依赖于条件可靠性函数的评估来动态确定检查时间。对于本研究中考虑的Gamma过程退化模型，这些可靠性计算在分析上是有明确定义的，并且可以使用标准的数值程序或预先计算的查找表高效计算。因此，与现代工业监控和控制系统的能力相比，QIR的计算负担相对较小。

从运营角度来看，QIR的实施需要比PIR策略更详细的状况监控，因为它依赖于对当前退化状态的准确估计。这通常需要连续或半连续的传感、数据采集和基本信号处理。相比之下，PIR可以使用简单的、有计划的检查来实施，所需的传感基础设施较少。然而，传感器技术、数据分析和数字维护平台的进步显著降低了实时状况监控的成本和复杂性，使得基于可靠性的策略在工业实践中变得越来越可行。**结论与展望**

本研究引入并严格验证了一个综合分析框架，用于比较优化基于时间和基于条件的维护策略，这些策略应用于经历随机退化的资产。通过使用均匀伽马过程对退化演变进行建模，并制定了一个性能-鲁棒性目标函数?，该函数结合了预期的维护成本率C∞和成本不确定性σ，从而在维护决策中提供了一个统一的度量标准，以定量平衡经济效率和成本可预测性。文中呈现的大量模拟结果明确表明，结合实时状态监控的策略显著优于固定间隔维护方法，特别是在退化不确定性高和停机成本较大的环境中。具体来说，基于分位数的检查和更换（QIR）策略在所有考察的经济情景中始终实现了最低的预期维护成本和对成本可预测性的最佳鲁棒性。这种卓越的性能源于QIR的独特能力，它可以动态调整检查间隔，以保持资产退化状态在指定的分位数阈值以上，从而确保在退化风险需要时精确执行干预措施，同时有效预防计划外故障。相比之下，虽然块状更换（BR）策略实施起来较为简单，但在随机环境中存在明显局限性，其固定的调度安排导致资产运营商面临更高的平均维护成本和由于无法预测和应对不可预测的退化轨迹而产生的显著成本波动。尽管定期检查和更换（PIR）策略通过引入定期状态评估而比BR有所改进，但其对固定检查间隔的依赖限制了其对退化动态突然变化的响应能力，从而在性能上不如自适应的QIR方法。

本研究的一个核心贡献是目标函数?的开发，该函数全面捕捉了预期维护支出与成本不确定性之间的本质权衡。这一统一的性能度量标准为实践者提供了一个严谨的工具，用于客观评估和选择与经济效率目标和组织财务稳定性要求相匹配的维护策略——在成本不可预测性可能带来严重运营和战略影响的工业环境中这一点尤为关键。

这些发现的意义显而易见：现代维护规划必须超越僵化的基于时间的范式，采用能够适应随机退化的自适应、数据驱动的策略。QIR的卓越表现证实了基于资产状态动态调整干预时机的维护政策的价值，从而大幅降低预期成本并改善成本可预测性（这两点对于可持续、具有成本效益的资产管理至关重要）。

未来的研究应将该分析框架扩展到更复杂的维护环境，包括多组件系统，因为在这些系统中资产之间的相互依赖性可能显著影响最佳干预计划。此外，纳入不完美的检测和测量不确定性将提高模型的现实性，因为它反映了实际状态监控技术中固有的局限性。进一步将操作载荷、环境影响和使用变化等外部因素整合到退化模型中，可以显著提高预测准确性及自适应维护调度的有效性。使用真实的工业数据集对所提出的框架进行实证验证对于确认其适用性并在不同行业中展示其实际价值至关重要。此外，探索在预算、资源和物流约束条件下维护策略的优化将解决工业维护操作中经常遇到的实际问题，进一步缩小理论进展与实际资产管理实践之间的差距。

未来研究的另一个方向是使用材料科学文献中报告的退化数据或从实验和现场研究中获得的退化数据对所提出的框架进行实证校准和验证。代表性的例子包括金属部件中的疲劳裂纹长度测量、陶瓷和复合材料的摩擦学测试中的磨损体积演变，以及聚合物系统中与老化相关的性能退化。这种基于数据的伽马过程参数校准将能够直接将模拟的退化轨迹与实验观察结果进行对比，从而进一步增强所提出的维护优化框架的实际相关性和物理可信度。

实施QIR的成本-效益权衡强烈依赖于资产的关键性以及故障和停机的经济后果。对于高价值、安全性关键或难以访问的材料系统（例如疲劳敏感的结构部件、磨损敏感的陶瓷部件，或在恶劣环境中运行的易老化的聚合物系统），QIR所需的额外传感和计算需求通常可以通过预期维护成本的显著降低和意外停机的减少来得到合理化。相反，对于低关键性的资产或监控能力有限的系统，简单的策略（如PIR）可能在实施复杂性和经济效益之间提供更合适的平衡。

本研究假设用于维护优化的退化过程参数（α, β）与控制资产退化的真实参数一致。实际上，这些参数是根据历史数据或在线数据估算的，可能存在估算误差或时间变化。因此，这项工作的一个重要扩展将是明确分析在参数错误指定情况下所提出策略的鲁棒性，通过模拟使用与决策假设的参数不同的真实参数（αtrue, βtrue）生成的退化轨迹。然后可以通过比较错误指定政策下的成本与完美参数知识下的成本来量化由此产生的性能退化或政策遗憾。这样的分析将提供关于基于可靠性分位数的调度相对于基于时间和定期条件的策略的敏感性的宝贵见解，并进一步增强所提出框架的实际适用性。

尽管本研究采用了通用的退化过程参数化方法以强调方法论的普遍性，但未来的工作将重点使用来自特定材料系统的实验或现场数据来校准伽马过程参数。这样的扩展将使所提出的维护优化框架与特定材料的退化规律（包括疲劳裂纹生长模型、磨损率方程和物理化学老化动力学）直接结合，从而进一步加强维护决策与材料科学之间的整合。

从实际角度来看，所提出框架的灵活性允许实践者选择最能反映其特定材料系统特性的预防成本模型。对于易于访问且具有标准化更换程序的组件，固定成本公式可能是合适的，而基于退化的成本模型则更适合于随着损伤累积而增加干预复杂性的系统。这种适应性增强了所提出方法在广泛材料退化背景下的适用性。

除了维护策略优化之外，所提出的性能-鲁棒性目标函数还为材料工程师在设计阶段提供了有价值的决策支持工具。特别是在选择具有相似平均退化行为但变化程度不同的候选材料时，鲁棒性指标可以明确量化退化不确定性的经济影响。退化方差较低的材料的维护成本可能更可预测，且极端故障事件的暴露风险更低，即使它们的平均退化速率与其他材料相当。通过同时考虑预期生命周期成本和成本不确定性，所提出的指标有助于在耐用性、可靠性和经济风险之间做出明智的权衡，从而在不确定性条件下支持材料选择和系统设计决策。

**作者贡献声明**

- Khamiss Cheikh：撰写 – 审稿和编辑、撰写初稿、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、调查、资金获取、正式分析、数据管理、概念化。
- EL Mostapha Boudi：可视化、验证、监督。
- Rabi Rabi：软件、资源。
- Hamza Mokhliss：可视化。

**利益冲突**

作者未报告任何潜在的利益冲突。

**数据可用性声明**

支持本研究结果的代码可根据请求提供给相应作者。