利用五次Hermite样条配置方法求解时间分数阶RLW和MRLW方程

《Ain Shams Engineering Journal》：Quintic Hermite Spline Collocation Approach to the Time Fractional RLW and MRLW equations

　　穆拉特·阿里
土耳其卡拉曼省卡拉马诺格鲁·梅赫梅特贝伊大学数学系

摘要
本研究提出了一种基于五次Hermite样条的配置方法，用于求解整数阶和Caputo时间分数阶下的规则化长波（RLW）及改进型RLW方程。据我们所知，这是首次将这种技术应用于这些特定方程。通过使用Legendre和Chebyshev配置点，该方法通过基准问题得到了严格验证。冯·诺伊曼分析确认了线性化方案的无条件稳定性。数值结果表明，与现有方法相比，所提出的方法具有更高的精度，即使在粗糙的空间网格上也能实现高精度。此外，算法的保守性质通过保持质量、动量和能量不变量得到了验证。这些发现确立了该方法作为模拟复杂分数波动力学的稳健高效框架的地位。

1. 引言
分数阶偏微分方程（FPDEs）已成为工程和物理科学中建模各种复杂现象的强大数学工具。这些方程在控制系统、流体动力学、粘弹性以及统计力学等领域得到了广泛应用，因为基于整数阶导数的经典模型往往无法捕捉现实世界系统中的记忆性和遗传特性。近年来，人们对分数阶微分方程的兴趣迅速增长，这得益于它们在描述异常扩散、非局部行为和长程相互作用方面的优越能力。分数阶微分方程的一个关键特点是存在多种分数阶导数的定义，如Caputo、Riemann-Liouville和Grünwald-Letnikov公式。这种多样性为研究人员提供了根据问题性质和所需的物理解释选择最合适的定义的灵活性。因此，与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程为表示各种科学和工程过程提供了更加适应性和精确性的框架。

Adel等人[4]将分数微积分应用于生物系统，实现了变分迭代法（VIM），以推导血液乙醇浓度和捕食者-猎物系统的近似解析解。同样，Aboubakr等人[2]开发了一种使用移位Vieta-Lucas多项式的谱配置方法来近似Rabotnov分数指数核，成功解决了血液乙醇浓度模型。在涉及复杂算子的理论方面，Adel等人[3]研究了具有非瞬时脉冲的Sobolev型非线性Hilfer分数随机微分方程的温和解的存在性和可控性。

谱配置方法（SCM）也被有效地应用于复杂的高维和流行病学分数系统。Adel等人[5]使用基于Appell型Changhee多项式的SCM模拟了九维分数混沌Lorenz系统，并将其结果与四阶Runge-Kutta方法进行了对比。在流行病学背景下，Ibrahim等人[21]使用第三类Chebyshev近似分析了分数阶COVID-19感染模型；这种方法将控制方程转化为一个受限优化问题，成功捕捉了包括有症状和无症状携带者在内的疾病传播动态。

最近，大量研究集中在非线性色散波模型上，无论是经典形式还是分数形式。提出了多种分析方法来获得非线性PDE的孤立波和光学型解，例如分数Boussinesq方程和断裂孤子方程[44]、具有抛物线律非线性的Lakshmanan–Porsezian–Daniel方程[39]、经典可积的Kuralay-IIA系统[38]以及高阶KdV型模型[1]。尽管这些研究主要依赖于基于解析孤子的技术，但它们清楚地表明了对非线性和分数阶波现象的持续兴趣。

在这项工作中，我们研究了以下形式的时间分数阶广义规则化长波（GRLW）方程[41]：
$$
D_t^{\alpha}u + \gamma u_x + \epsilon u^{p(x)} - \mu u_{xx} = 0,
$$
其中Caputo导数的阶数满足 $0 < \alpha \leq 1$，$\gamma \in \mathbb{R}$，$\epsilon$ 和 $\mu$ 是正常数。边界条件要求当 $x \to \pm \infty$ 时 $u \to 0$。当 $\alpha = 1$ 时，设置 $p^=1$ 和 $p^=2$ 分别得到RLW和MRLW的标准形式。

时间分数阶规则化长波及其改进版本方程用于描述海洋中的浅水波现象，其中波的振幅小且波长长。已经有很多关于整数阶规则化长波（RLW）方程的数值研究，B样条和Galerkin方法被证明特别有效。Da?等人[11]采用了二次和三次B样条的分裂技术，而Da?等人[12]通过结合四次B样条的预测-校正方案提高了精度。Saka等人[46]基于Crank–Nicolson公式提出了五次B样条配置方案，Gorgulu等人[20]在Galerkin框架内使用了指数B样条函数。为了进一步提高时间精度，Mei和Chen[35]引入了一种外推技术到线性有限元Galerkin方法中，显著提高了收敛阶数。此外，还关注了改进型（MRLW）和广义（GRLW）方程的变体。Raslan[43]使用二次B样条开发了MRLW方程的算法，而Shallu和Kukreja[48]应用了一种改进的三次B样条技术和具有强稳定性保持的Runge–Kutta（SSP-RK43）方案来求解RLW和MRLW方程。对于GRLW方程，Mohammadi[37]使用了指数B样条配置，而Karako?等人[23]提出了一种结合精确Riccati–Bernoulli方法和六次B样条的数值子域有限元方法的双重方法。此外，无网格方法也受到了关注；Da?和Dereli[13]使用各种径向基函数（RBFs）研究了RLW方程，而Dereli[14]、[15]将这些无网格技术扩展到MRLW方程，证明了无需传统网格化的高效率。

在过去的几年中，研究重点转向了分数阶模型，以捕捉非局部行为。在分析解方面，Maarouf等人[34]使用幂级数展开进行了李对称性分析，Korkmaz等人[27]实施了Sine-Gordon展开方法来构造RLW类中的精确解。在数值方面，Khalil等人[25]比较了经典的残差幂级数方法（RPSM）和最小二乘-RPSM，发现后者在时间分数阶方程中更有利于误差最小化。此外，Balaji和Hariharan[9]开发了一种使用Gegenbauer小波的运算矩阵方法，将非线性分数时间RLW方程转换为具有确定误差界限的代数系统。Khan等人[26]使用三次B样条配置方法和Rubin-Graves线性化有效求解了控制离子声波的时间分数阶RLW方程。

受到整数阶求解器丰富历史的启发以及分数建模的新兴需求，本研究引入了一个统一的数值框架，用于求解RLW和MRLW方程的整数阶和时间分数阶形式。我们提出了一种新的五次Hermite样条配置方法（QHCM）应用。这种方法的一个显著特点是战略性地使用了Legendre和Chebyshev求积点，这显著增强了近似能力并最小化了数值离散。虽然Hermite样条已被证明是整数阶微分方程的强大工具（见[6]、[7]、[8]、[17]、[18]、[19]、[28]、[29]、[31]、[32]、[33]、[36]），但它们在时间分数阶RLW类中的应用仍然很大程度上未被探索。据我们所知，这项工作是首次成功将这种高阶技术扩展到分数域的研究之一，提供了一种不仅在稳定性方面而且在精度上也优于传统配置策略的方法。

本文的结构如下。第2节介绍了Caputo分数导数的定义及其数值近似。第3节介绍了五次Hermite样条配置方法，第4节将其应用于控制方程。第5节研究了所提方案的稳定性分析。随后，第6节展示了不同分数阶$\alpha$的数值结果和图形说明。最后，第7节总结了主要结论。

2. 分数阶导数的初步知识
在本文中，我们将使用广泛接受的Caputo导数定义来表示$u(x,t)$的分数阶导数，并将其构造为近似值并整合到我们将使用的方法中。文献中还有许多其他分数阶导数的定义，如Riemann-Liouville和Grünwald-Letnikov导数[40]、[42]、[47]。

定义1
对于 $0 < \alpha < 1$，$u(x,t)$的Caputo分数导数定义为：
$$
D_t^{\alpha}u(x,t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t \frac{\partial u(x,s)}{\partial s} (t-s)^{\alpha} ds,
$$
其中$\Gamma(\cdot)$表示Gamma函数[10]。对于Caputo分数导数，我们使用Sun和Wu[49]给出的以下近似：
$$
D_t^{\alpha}u(x,t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t \frac{\partial u(x,s)}{\partial s} (t-s)^{\alpha} ds - \alpha \int_0^t \frac{c_n^{k-1} (s-n)^{\alpha-1} v_j^{k-1} v_{j+1}} ds,
$$
其中$c_n = (k+1)^{\alpha-1} - k^{1-\alpha}$，$\nu = \frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(2-\alpha)}$。L1方案的详细截断误差分析可以在[49]中找到。

3. 五次Hermite样条配置
在基于五次Hermite的配置方法中，计算域$[a,b]$根据划分$\pi$进行划分：
$$
a = \xi_1 < \xi_2 < \cdots < \xi_{N+2} = b,
$$
形成间距为$h = \xi_j + 1 - \xi_{j+1}$的均匀网格，节点为$\xi_j$（$j = 1, \cdots, N+2$）。近似解$u_N(\xi,\tau)$使用五次Hermite基函数表示为：
$$
u(\xi,\tau) \approx \sum_{j=1}^{N+2} a_j^{4k-4} H_j(\tau).
$$
系数$a_j(\tau)$是时间的函数，必须获得，$k$表示元素计数，$i$取值从1到4。在每个子区间$[\xi_j, \xi_{j+1}$内，使用四阶Gauss-Legendre点$\xi_j^r$进行配置。选择这些特定点是因为它们倾向于最小化数值误差[24]。

五次Hermite基函数$H_j$满足必要的插值性质，定义如下[6]、[7]、[8]、[33]：
$$
H_{4j-3}(\xi) = 6(\xi - \xi_j - 1)^5 + 5(\xi - \xi_j - 1)^4 + 10(\xi - \xi_j - 1)^3, \quad \xi_j - 1 \leq \xi \leq \xi_j + 1,
$$
$$
H_{4j+1}(\xi) = 6(\xi - \xi_j - 1)^5 - 5(\xi - \xi_j - 1)^4 + 10(\xi - \xi_j - 1)^3, \quad \xi_j \leq \xi_j + 1,
$$
$$
H_{4j-2}(\xi) = 3(\xi - \xi_j - 1)^5 - 7(\xi - \xi_j - 1)^4 + 4(\xi - \xi_j - 1)^3, \quad \xi_j - 1 \leq \xi \leq \xi_j + 1,
$$
$$
H_{4j+2}(\xi) = 3(\xi - \xi_j - 1)^5 - 7(\xi - \xi_j - 1)^4 + 4(\xi - \xi_j - 1)^3, \quad \xi_j \leq \xi_j + 1,
$$
$$
H_{4j-1}(\xi) = 12(\xi - \xi_j - 1)^5 - (\xi - \xi_j - 1)^4 + 12(\xi - \xi_j - 1)^3, \quad \xi_j - 1 \leq \xi \leq \xi_j + 1,
$$
$$
H_{4j}(\xi) = 12(\xi - \xi_j - 1)^5 - (\xi - \xi_j - 1)^4 + 12(\xi - \xi_j - 1)^3, \quad \xi_j \leq x \leq \xi_j + 1.
$$
在这种方法中，离散化后，为每个元素创建一个局部坐标变量$\eta$。该变量由方程$\eta = (\xi - \xi_k)/h$定义。由于这种变换，虽然全局变量$\xi$在每个元素中的变化范围不同（例如$[\xi_k, \xi_{k+1}$），但局部变量$\eta$对所有元素都标准化到标准范围$[0,1]$。最后一步，通过变换$\xi = h\eta + \xi_k$得到后续方程：
$$
\eta_1 = 0.069431844202974, \quad \eta_2 = 0.330009478207572, \quad \eta_3 = 0.669990521792428, \quad \eta_4 = 0.930568155797026, \quad \eta_1C = 0.038060233744357, \quad \eta_2C = 0.308658283817455, \quad \eta_3C = 0.691341716182545, \quad \eta_4C = 0.961939766255643.
$$
五次Hermite基函数$H_j$满足必要的插值性质，定义如下[6]、[7]、[8]、[33]：

在方程(1.1)中，时间分数阶广义规则化长波（GRLW）方程的形式为：
$$
D_t^{\alpha}u + \gamma u_x + \epsilon u^{p(x)} - \mu u_{xx} = 0,
$$
其中Caputo导数的阶数满足$0 < \alpha \leq 1$，$\gamma \in \mathbb{R}$，$\epsilon$和$\mu$是正常数。边界条件要求当$x \to \pm \infty$时$u \to 0$。对于$\alpha = 1$的特殊情况，设置$p^=1$和$p^=2$分别得到RLW和MRLW的标准形式。

时间分数阶规则化长波及其改进版本方程用于描述海洋中的浅水波现象，其中波的振幅小且波长长。已经有很多关于整数阶规则化长波（RLW）方程的数值研究，B样条和Galerkin方法被证明特别有效。Da?等人[11]使用了二次和三次B样条的分裂技术，而Da?等人[12]通过结合四次B样条的预测-校正方案提高了精度。Saka等人[46]基于Crank–Nicolson公式提出了五次B样条配置方案，Gorgulu等人[20]在Galerkin框架内使用了指数B样条函数。为了进一步提高时间精度，Mei和Chen[35]引入了一种外推技术到线性有限元Galerkin方法中，显著提高了收敛阶数。也大量关注了改进型（MRLW）和广义（GRLW）方程的变体。Raslan[43]使用二次B样条开发了MRLW方程的算法，而Shallu和Kukreja[48]应用了一种改进的三次B样条技术和具有强稳定性的Runge–Kutta（SSP-RK43）方案来求解RLW和MRLW方程。对于GRLW方程，Mohammadi[37]使用了指数B样条配置，而Karako?等人[23]提出了一种结合精确Riccati–Bernoulli方法和六次B样条的数值子域有限元方法的双重方法。此外，无网格方法也受到了关注；Da?和Dereli[13]使用各种径向基函数（RBFs）研究了RLW方程，而Dereli[14]、[15]将这些无网格技术扩展到MRLW方程，证明了无需传统网格化的高效率。

在过去的几年中，研究重点转向了分数阶模型，以捕捉非局部行为。在分析解方面，Maarouf等人[34]使用幂级数展开进行了李对称性分析，Korkmaz等人[27]实施了Sine-Gordon展开方法来构造RLW类中的精确解。在数值方面，Khalil等人[25]比较了经典的残差幂级数方法（RPSM）和最小二乘-RPSM，发现后者在时间分数阶方程中更有利于误差最小化。此外，Balaji和Hariharan[9]开发了一种使用Gegenbauer小波的运算矩阵方法，将非线性分数时间RLW方程转换为具有确定误差界限的代数系统。Khan等人[26]使用三次B样条配置方法和Rubin-Graves线性化有效求解了控制离子声波的时间分数阶RLW方程。

受到整数阶求解器丰富历史和分数建模需求的启发，本研究引入了一个统一的数值框架，用于求解RLW和MRLW方程的整数阶和时间分数阶形式。我们提出了一种新的五次Hermite样条配置方法（QHCM）应用。这种方法的一个显著特点是战略性地使用了Legendre和Chebyshev求积点，这显著增强了近似能力并最小化了数值离散。虽然Hermite样条已被证明是整数阶微分方程的强大工具（见[6]、[7]、[8]、[17]、[18]、[19]、[28]、[29]、[31]、[32]、[33]、[36]），但它们在时间分数阶RLW类中的应用仍然很大程度上未被探索。据我们所知，这项工作是首次成功将这种高阶技术扩展到分数域的研究之一，提供了一种不仅新颖而且在稳定性和精度方面都优于传统配置策略的方法。

本文的组织结构如下。第2节介绍了Caputo分数导数的定义及其数值近似。第3节介绍了五次Hermite样条配置方法，第4节将其应用于控制方程。第5节研究了所提方案的稳定性分析。随后，第6节展示了不同分数阶$\alpha$的数值结果和图形说明。最后，第7节总结了主要结论。根据给定的初始条件 u(x,0) 计算初始系数向量 X0。(3) 以 n=0 开始时间步进循环。(4) 在每个时间步长，根据方案要求重新评估或更新矩阵 L、R 和向量 X、S。(5) 解决得到的代数系统：LXn+1=RXn+S，以获得新时间级别的系数。(6) 增加时间步长 (n←n+1) 并重建近似解 uN。重复步骤 4–5，直到达到最终模拟时间 t。(7) 完成后，计算误差范数并生成相应的图形表示。5. 稳定性分析本节介绍了基于冯·诺伊曼方案的离散化 Tf-GRLW 方程的稳定性分析。将表达式 (5.1) ajn=ξneijφ 代入方程 (4.3)，定义 ξmaxj=max0≤i≤j|ξi|，并考虑性质 ∑k=1n(cn?k?cn?k+1)+cn=1，我们得到 (5.2) ξn+1ei(4j?3)φσ1+ξn+1ei(4j?2)φσ2+ξn+1ei(4j?1)φσ3+ξn+1ei(4j)φ(σ4)+ξn+1ei(4j+1)φσ5+ξn+1ei(4j+2)φσ6=ξnei(4j?3)φτ1+ξnei(4j?2)φτ2+ξnei(4j?1)φτ3+ξnei(4j)φτ4+ξnei(4j+1)φτ5+ξnei(4j+2)φτ6，其中 (5.3) σm=νHmi+γ2hAmi+ε2hup^Ami?μΔt.h2Bmi，τm=νHmi?γ2hAmi?ε2hup^Ami?μΔt.h2Bmi，m=1,2,3,4,5,6。执行所需操作后得到 (5.4) ξ=S1?iS2S3?iS4，其中 S1=(τ3+τ5)cos?φ+(τ2+τ6)cos?2φ+τ1cos?3φ+τ4，S2=(τ3?τ5)sin?φ+(τ2?τ6)sin?2φ+τ1sin?3φ+τ4，S3=(σ3+σ5)cos?φ+(σ2+σ6)cos?2φ+σ1cos?3φ+σ4，S4=(σ3?σ5)sin?φ+(σ2?σ6)sin?2φ+σ1sin?3φ+σ4。方程 (5.4) 的模满足条件 |ξ|≤1，表明所提出的数值方案是无条件稳定的。6. 数值示例在本节中，通过已知精确解和守恒定律验证的测试问题来研究所提出方法的数值精度和可靠性。为了评估方法的性能，使用以下公式计算 L2 和 L∞ 误差范数以及近似误差：L2=h∑j=1N|ujexact?ujnum|2，L∞=max1≤j≤N|ujexact?ujnum|，近似误差=|unum(xj,tN+1)?unum(xj,tN)||unum(xj,tN+1)|。此外，收敛率 (ROC) 由关系式确定：ROC=ln?(err?(h1)/err?(h2))ln?(h1/h2)。另外，RLW 和 MRLW 方程分别具有三个守恒量，对应于质量、动量和能量。这些不变量定义如下：C1=∫abudx?h∑j=1Nujn，C2=∫ab[u2+μ2(ux)2]dx?h∑j=1N{(ujn)2+[μ(ux)jn]2}，C3=∫ab[εu3+3u2]dx?h∑j=1N{ε(ujn)3+3(ujn)2}。在整个模拟过程中监控这些量以验证数值算法的守恒性质。所有数值计算都是使用 MATLAB (R2022b) 在配备 Apple M2 芯片和 16 GB 统一内存的 MacBook Air 上进行的。广义正则化长波 (GRLW) 方程允许以下精确孤立波解：u(x,t)=[Δsech2?(κ(x?(1+εd)t?x0))]1/p^，其中参数 Δ=(p^+1)(p^+2)d2，κ=p^2μεd1+εd 分别对应于波幅基和脉冲的逆宽度。孤立波以 1+εd 的速度传播，最大高度为 Δ1/p^，空间浓度由参数 κ 决定。示例 1作为第一个测试问题，我们考虑时间分数阶 RLW 方程，选择参数 γ=ε=p^=μ=1 在方程 (1.1) 中：(6.1) Dtαu+vx+uux?uxxt=0，x∈R，0<α≤1，t>0，其中 u(x,0)=3dsec?h2(12d1+d[x?x0])。方程 (6.1) 的解析解为 u(x,t)=3dsec?h2(12d1+d[x?x0?(1+εc)t)。计算在域 ?40≤x≤60 和 0≤t≤1 上进行，步长 h=1 和 Δt=0.1。设置参数 d=0.1 和 x0=0，表 1 中展示了不同分数阶 α 的结果。表 2 中的数值结果展示了所提出的 QHCM-L 和 QHCM-C 方案在 t=20 时对 Tf-RLW 方程的有效性和准确性。该表提供了分数阶解与标准整数阶极限 (α=1) 之间的全面比较，将所提出的方法与现有文献进行了基准测试。如前几行所示，随着分数参数 α 从 0.75 增加到 1，误差范数显著减小。这种行为与理论预期一致，即随着分数导数接近整数阶，数值解应收敛到经典 RLW 方程的精确解。对于 α=1，该方法实现了高精度，验证了其有效处理分数阶和整数阶动态的能力。表 1. 在 x=0 时，对于不同的分数阶 α，参数 h=1，Δt=0.1，d=0.1，x0=0 的结果比较。tα=0.75 α=0.95 α=1.0 QHCM-L QHCM-C QHCM-L QHCM-C QHCM-C QHCM-C QHCM-C 精确值 0.1 0.299937 0.299889 0.299983 0.299955 0.299988 0.299964 0.299988 0.20.299544 0.299425 0.299807 0.299729 0.299845 0.299774 0.299845 0.30.299544 0.299425 0.299807 0.299729 0.299845 0.299774 0.299537 0.40.297656 0.29739 0.298882 0.298702 0.299065 0.298901 0.299065 0.50.296167 0.295839 0.298134 0.297905 0.298431 0.298220 0.298430 0.60.296167 0.295839 0.298134 0.297905 0.298431 0.298220 0.297634 0.70.294322 0.293929 0.297199 0.296921 0.297635 0.297378 0.296678 0.80.289595 0.289079 0.294776 0.294401 0.295565 0.295219 0.295564 0.90.286732 0.286160 0.293293 0.292873 0.294296 0.293906 0.294295 1.00.283553 0.282926 0.291635 0.291169 0.292875 0.292442 0.292873 方程 (5.4) 的模满足条件 |ξ|≤1，表明所提出的数值方案是无条件稳定的。6. 数值示例在本节中，通过已知精确解和守恒定律验证的测试问题来研究所提出方法的数值精度和可靠性。为了评估方法的性能，使用以下公式计算 L2 和 L∞ 误差范数以及近似误差：L2=h∑j=1N|ujexact?ujnum|2，L∞=max1≤j≤N|ujexact?ujnum|，近似误差=|unum(xj,tN+1)?unum(xj,tN)||unum(xj,tN+1)|。此外，收敛率 (ROC) 由关系式确定：ROC=ln?(err?(h1)/err?(h2))ln?(h1/h2)。另外，RLW 和 MRLW 方程分别具有三个守恒量，对应于质量、动量和能量。这些不变量定义如下：C1=∫abudx?h∑j=1Nujn，C2=∫ab[u2+μ2(ux)2]dx?h∑j=1N{(ujn)2+[μ(ux)jn]2}，C3=∫ab[εu3+3u2]dx?h∑j=1N{ε(ujn)3+3(ujn)2}。在模拟过程中监控这些量以验证数值算法的守恒性质。所有数值计算都是使用 MATLAB (R2022b) 在配备 Apple M2 芯片和 16 GB 统一内存的 MacBook Air 上进行的。广义正则化长波 (GRLW) 方程允许以下精确孤立波解：u(x,t)=[Δsech2?(κ(x?(1+εd)t?x0))]1/p^，其中参数 Δ=(p^+1)(p^+2)d2，κ=p^2μεd1+εd 分别对应于波幅基和脉冲的逆宽度。孤立波以 1+εd 的速度传播，最大高度为 Δ1/p^，空间浓度由参数 κ 决定。示例 1作为第一个测试问题，我们考虑时间分数阶 RLW 方程，选择参数 γ=ε=p^=μ=1 在方程 (1.1) 中：(6.1) Dtαu+vx+uux?uxxt=0，x∈R，0<α≤1，t>0，其中 u(x,0)=3dsec?h2(12d1+d[x?x0])。方程 (6.1) 的解析解为 u(x,t)=3dsec?h2(12d1+d[x?x0?(1+εc)t)。计算在域 ?40≤x≤60 和 0≤t≤1 上进行，步长 h=1 和 Δt=0.1。设置参数 d=0.1 和 x0=0，表 1 中展示了不同分数阶 α 的结果。表 2 中的数值结果展示了所提出的 QHCM-L 和 QHCM-C 方案在 t=20 时对 Tf-RLW 方程的有效性和准确性。该表提供了分数阶解与标准整数阶极限 (α=1) 之间的全面比较，将所提出的方法与现有文献进行了基准测试。如前几行所示，随着分数参数 α 从 0.75 增加到 1，误差范数显著减小。这种行为与理论预期一致，即随着分数导数接近整数阶，数值解应收敛到经典 RLW 方程的精确解。对于 α=1，该方法实现了高精度，验证了其有效处理分数阶和整数阶动态的能力。表 1. 在 x=0 时，对于不同的分数阶 α，参数 h=1，Δt=0.1，d=0.1，x0=0 的结果比较。tα=0.75 α=0.95 α=1.0 QHCM-L QHCM-C QHCM-L QHCM-L QHCM-C QHCM-C QHCM-C 精确值 0.1 0.299937 0.299889 0.299983 0.299955 0.299988 0.299964 0.299988 0.20.299544 0.299425 0.299807 0.299729 0.299845 0.299774 0.299845 0.30.299544 0.299425 0.299807 0.299729 0.299845 0.299774 0.299537 0.40.297656 0.29739 0.298882 0.298702 0.299065 0.298901 0.299065 0.50.296167 0.295839 0.298134 0.297905 0.298431 0.298220 0.298430 0.60.296167 0.295839 0.298134 0.297905 0.298431 0.298220 0.297634 0.70.294322 0.293929 0.297199 0.296921 0.297635 0.297378 0.296678 0.80.289595 0.289079 0.294776 0.294401 0.295565 0.295219 0.295564 0.90.286732 0.286160 0.293293 0.292873 0.294296 0.293906 0.294295 1.00.283553 0.282926 0.291635 0.291169 0.292875 0.292442 0.292873 表 2. 在参数 d=0.1，分数阶 α=0.75，0.90，1，空间域 ?40≤x≤60，最终时间 t=20 的情况下，所提出的 QHCM 方案的误差范数 (L2 和 L∞)、不变量和计算成本的比较。方法 α h Δt L2 误差 L∞ 误差 C1 C2 C3 CPU 时间 (s) QHCM-L 0.75 0.4 0.1 3.398e?02 6.443e?03 3.980 0136 0.794250 922.5254940 47.516 QHCM-C 0.75 0.4 0.1 3.648e?02 6.789e?03 3.980 124 60.793252572.522171649.358 QHCM-L 0.90 0.8 0.1 1.467e?02 2.898e?03 3.980 0088 0.803997442.557670 216.743 QHCM-C 0.90 0.8 0.1 1.463e?02 2.897e?03 3.980 0778 0.80396350 2.557556618.345 QHCM-L1 10.1 4.159e?04 7.804e?05 3.980 0003 0.810462522.5790 07412.174 QHCM-C1 10.1 4.193e?04 7.798e?05 3.980 05110.810462552.5790 07412.820 QHCM-L1 10.01 4.569e?05 1.006e?05 3.980 0004 0.810462532.5790 07471.005 QHCM-C1 10.01 7.113e?05 1.119e?05 3.980 05110.810462562.5790 07571.718 FEGL [16] 10.125 0.15.11e?04 1.98e?04 3.982060.8111642.58133? FD [30] 10.1 0.15.5e?04 2.1e?04 3.979970.8104592.57901? QBCM1 [46] 10.125 0.12.151e?04 8.295e?05 3.97987980.81046252.5790075? QBCM2 [46] 10.125 0.13.566e?04 1.296e?04 3.97988430.81046252.5790074? QBCM3 [46] 10.125 0.12.151e?04 8.295e?05 3.97987980.81046252.5790075? MQ [13] 110.12.083e?04 7.861e?05 3.979960.81047262.579041? TPS [13] 110.12.969e?04 8.511e?05 3.9798230.81041592.578853? IQ [13] 110.12.181e?04 7.604e?05 3.9795820.81045892.578995? 与现有方法的比较揭示了 QHCM 方案的优越性能。值得注意的是，所提出的方法在整数情况下使用了相对粗糙的空间网格尺寸 h=1。尽管空间步长较大，但获得的 L2 和 L∞ 误差范数仍然具有很高的竞争力，在某些情况下甚至优于早期使用更细网格（如 h=0.125 或 h=0.1）的研究结果。这些结果也与 B 样条配置方法和无网格方案相当，处于同一数量级（10?4），同时保持了实现的简单性。此外，当时间步长细化到 Δt=0.01 时，QHCM 方法的准确性显著提高，误差降至 10?5 的水平。这表明该方法具有很强的收敛性能和进行高精度模拟的潜力。不变量 C1、C2 和 C3 在整个模拟过程中对于所有 α 值几乎保持不变。对于整数情况（α=1），计算出的不变量与理论值和文献中报告的值非常吻合。这证实了所提出的 QHCM 方案的守恒性质和无条件稳定性。表 3 和表 4 详细比较了 Khan 等人 [26] 的 CBS 方法和 QHCM 方法在 x=2 时的近似误差和 ROC。表 3. 在 x=2 时，对于 α=0.9，d=0.1，h=0.2，t=0.1 的不同时间间隔，比较了近似误差和 ROC。Δt CBS [26] QHCM-L QHCM-C 误差 ROC 误差 ROC 误差 ROC 0.05 2.08570e?04 ?3.62737e?03 ?3.63825e?03 ?0.001 1.04198e?04 0.17749.62354e?05 0.92789.65372e?05 0.92770.00055.20759e?05 1.00065.06430e?05 0.92625.08038e?05 0.92610.000252.60318e?05 1.00032.66331e?05 0.92712.67186e?05 0.92710.00022.08245e?05 1.00022.16524e?05 0.92782.17221e?05 0.92780.0001251.30143e?05 1.00021.39959e?05 0.92841.40413e?05 0.92830.000011.04112e?05 0.08841.33272e?060.93101.33716e?060.9310 表 4. 在 x=4 时，对于 α=0.9，d=0.1，h=0.2，t=0.1 的不同时间间隔，比较了近似误差和 ROC。Δt CBS [26] QHCM-L QHCM-C 误差 ROC 误差 ROC 误差 ROC 0.05 4.03268e?04 –6.67114e?03 –6.67920e?03 –0.0012.01542e?04 0.17731.84463e?04 0.91721.84698e?04 0.91720.00051.00746e?04 1.00049.75895e?05 0.91859.77169e?05 0.91850.000255.03664e?05 1.00025.15975e?05 0.91945.16662e?05 0.91940.00024.02919e?05 1.00014.20210e?05 0.92014.20773e?05 0.92000.0001252.51814e?05 1.00021.39959e?05 0.92841.40413e?05 0.92830.000011.04112e?05 0.08841.33272e?060.93101.33716e?060.9310 表 4. 在 x=4 时，对于 α=0.9，d=0.1，h=0.2，t=0.1 的不同时间间隔，比较了近似误差和 ROC。Δt CBS [26] QHCM-L QHCM-C 误差 ROC 误差 ROC 误差 ROC 0.05 4.03268e?04 –6.67114e?03 –6.67920e?03 –0.0012.01542e?04 0.17731.84463e?04 0.91721.84698e?04 0.91720.00051.00049.75895e?05 0.91859.77169e?05 0.91850.000255.03664e?05 1.00025.15975e?05 0.91945.16662e?05 0.91940.00024.02919e?05 1.00014.20210e?05 0.92014.20773e?05 0.92000.0001252.51814e?05 1.00021.39959e?05 0.92841.40413e?05 0.92830.000011.04112e?05 0.08841.33272e?060.93101.33716e?060.9310 表 5.1 下图显示了不同 α 值的数值解。图 6.1(a) 展示了分数阶 PDE 的数值解，其中 α=0.5。解决方案表现出明显的变形，表现为不对称性和主波峰后的小幅度振荡。这些效应是分数导数的特征，它们将记忆和阻尼效应引入系统。观察到的尾部和平滑表明了该阶分数算子的色散和耗散性质。下载：下载高分辨率图像（434KB）下载：下载全尺寸图像图 6.1. Quintic Hermite Spline 解的 Tf-RLW 解，其中 a=0.5，b=0.75 和 c=1。示例 2为了进一步评估所提出数值方案的鲁棒性和守恒性质，我们研究了两个正孤立波的相互作用动态。这个问题是孤子理论中的一个基本基准，因为它测试了该方法处理非线性波叠加并在碰撞后保持波完整性的能力。初始条件由两个具有不同振幅和位置的孤立波的线性叠加构成，定义为：(6.2)u(x,0)=∑j=12uj(x,0)，uj(x)=3Ajsech2?(kj(x?x~j))，Aj=4kj21?4kj2。计算域设置为 0≤x≤120，边界条件为 U(0,t)=U(120,t)=0，确保波在模拟时间 t∈[0,30] 内不会到达边界。选择参数以确保在域内完全相互作用。具体来说，我们设置 k1=0.4 和 k2=0.3，初始峰值位置分别为 x~1=15 和 x~2=35.1。这些参数产生一个较大的、较快的波，振幅约为 5.3338，以及一个较小的、较慢的波，振幅约为 1.6860。通过将较大的波放置在较小的波的左侧，我们确保较快的波赶上较慢的波，从而实现非线性相互作用。首先，我们考虑标准整数阶情况。在这种情况下，预计碰撞是弹性的，意味着波在相互作用后应恢复其原始振幅和形状。表 5 展示了 QHCM-L 和 QHCM-C 方案在碰撞前 (t=5)、碰撞中 (t=15) 和碰撞后 (t=30) 阶段的计算不变量 (C1,C2,C3) 和 CPU 时间。如数据所示，质量不变量 (C1) 在整个模拟过程中保持严格恒定。对于动量 (C2) 和能量 (C3) 不变量，在 t=15 时观察到轻微波动，对应于非线性相互作用的峰值。然而，重要的是，这些值在 t=30 时恢复到初始水平。这种定量恢复证实了碰撞的弹性性质，并验证了所提出方法的守恒稳定性。图 6.2 展示了这种相互作用的时间演化。由于 RLW 方程中孤立波的速度与其振幅成正比，因此振幅较大的波传播得更快。如图所示，碰撞发生在 t=15 附近。在相互作用过程中，波合并成一个复杂的结构，然后分离。重要的是，碰撞后两个波都保持其原始形状和速度，分离后没有色散尾部。表 5. 使用 QHCM-L 和 QHCM-C 方案对整数阶情况 (α=1) 的两个孤子相互作用进行比较的不变量和 CPU 时间。方法 t C1 C2 C3 CPU 时间 (s) CHCM-L 5 37.9172397 120.52284660744.07610908.557 CHCM-C 5 37.9172934120.52329997744.07790108.758 CHCM-L1 5 37.9184157120.47270388743.544540518.754 CHCM-C 5 37.9191866120.47309519743.547761920.727 CHCM-C3 037.9192513120.52321738744.081033836.725 CHCM-C3 037.9204343120.52422975744.089232036.113 下载：下载高分辨率图像（332KB）下载：下载全尺寸图像图 6.2. 整数阶 α=1 时两个孤子相互作用的演化。接下来，我们通过设置 α=0.9 来研究分数导数的影响。在这种情况下，Caputo 导数的非局部性质引入了改变碰撞动态的记忆效应。表 6 列出了 α=0.9 时的不变量。虽然质量不变量 C1 保持严格守恒，但在 C2 和 C3 中观察到轻微波动。这些变化在物理上与分数系统一致，因为在分数系统中能量不是严格守恒的，这是由于分数算子的固有耗散/色散。图 6.3 显示了 α=0.9 时的波相互作用。与整数情况不同，碰撞不是完全弹性的。在相互作用后，孤立波后面可以观察到明显的色散尾部。此外，由于波以略微不同的速度传播，还观察到相位移动。所提出的 QHCM 方法成功捕获了这些复杂的物理现象——色散尾部和相位移动——而没有数值爆炸，证明了其在分数建模中的鲁棒性。表 6. 使用 QHCM-L 和 QHCM-C 方案对分数阶情况 (α=0.9) 的两个孤子相互作用进行比较的不变量和 CPU 时间。方法 t C1 C2 C3 CPU 时间 (s) QHCM-L 5 37.9173058119.16066619729.749084211.584 QHCM-C 5 37.9181337119.12112147729.430197011.656 QHCM-L1 5 37.9185628117.15482136710.397698827.317 QHCM-C 5 37.9209630117.10491836709.998500927.501 QHCM-C3 037.4646930111.64831621667.822408550.290 QHCM-C3 037.4714496111.57078828667.382362649.911 下载：下载高分辨率图像（353KB）下载：下载全尺寸图像图 6.3. 分数阶 α=0.9 时两个孤子相互作用的演化。示例 3作为第三个测试问题，我们考虑以下非线性时间分数阶 MRLW 方程，选择参数 γ=μ=1，ε=6 和 p^=2 在方程 (1.1) 中：(6.3)Dtαu+ux+6u2ux?uxxt=0，x∈R，t>0，其中 u(x,0)=6dsech?(b(x?x0))，b=6d(1+6d)。使用参数 d=0.1，x0=0，和 Δt=0.005 在域 ?40≤x≤60 和 0≤t≤1 内，表 7 给出了不同分数阶的结果。在表 8 中，参数 d=0.3 和 x0=40 时，空间区间取为 0≤x≤100，时间区间取为 0≤t≤10，以便与一些先前的研究进行比较。在同一表中，我们还展示了整数阶和一些分数阶的结果。首先，分析了分数导数阶 α 接近整数极限时解的行为。在 t=1 时，随着 α 从 0.95 增加到 0.98，误差范数显著减小；例如，L2 误差显著减小，证实了数值方案的一致性，因为近似解平滑地收敛到经典 MRLW 解。表 7. 在 x=0 时，使用步长 h=1，Δt=0.005 和参数 d=0.1，x0=0 的不同 α 下，Tf-MRLW 方程的数值和精确结果。tα=0.75 α=0.95 α=0.95 α=1.0 QHCM-L QHCM-C QHCM-L QHCM-C QHCM-L QHCM-C 精确值 0.1 0.3154960.3153920.3160910.3160440.3161450.3161080.3161460.20.3128400.3126260.3154750.3153690.3157330.3156460.3157340.30.3082950.3079790.3143660.3142020.3149760.3148410.3149780.40.3019530.3015430.3127720.3125520.3138780.3136940.3138810.50.2939340.2934410.3107050.3104300.3124460.3122140.3124490.60.2843880.2838210.3081790.307850.3082850.30860.3082860.3086120.80.2613970.2607180.3018220.3013940.3062220.3058580.3062280.90.2483190.2476010.2980340.297560.3035420.3031370.3035491.00.2344370.2938710.2933540.3005810.3001360.300588 表 8.Tf-MRLW的误差范数对于两种方法（QHCM-L和QHCM-C）：
方法 | α | ΔttL2 | Error | L∞ | ErrorC1 | ErrorC2 | ErrorC3 | CPU时间（秒）
QHCM-L | 0.95 | 0.20 | 0.11 | 5.945e?02 | 1.387e?02 | 3.554 | 160 | 91.324 | 673 | 160 | 0.147 | 620 | 23.97
QHCM-C | 0.95 | 0.20 | 0.11 | 5.943e?02 | 1.386e?02 | 3.554 | 163 | 0.147 | 620 | 172 | 4.00
QHCM-L | 0.98 | 0.20 | 0.11 | 2.654e?02 | 7.075e?03 | 3.556 | 574 | 91.326 | 309 | 0.148 | 125 | 84.33
QHCM-C | 0.98 | 0.20 | 0.11 | 2.654e?02 | 7.074e?03 | 3.556 | 575 | 21.326 | 307 | 950 | 0.148 | 125 | 44.02
QHCM-L1 | 10.00 | 110 | 1.307e?03 | 3.847e?04 | 3.580 | 758 | 51.344 | 178 | 040 | 0.153 | 453 | 88.64
QHCM-C1 | 10.00 | 110 | 1.300e?03 | 3.834e?04 | 3.580 | 759 | 1.344 | 179 | 510 | 0.153 | 454 | 290 | 0.16
QHCM-L1 | 10.00 | 051 | 102.618e?04 | 7.703e?05 | 3.581 | 724 | 91.344 | 896 | 730 | 0.153 | 669 | 387 | 03.78
QHCM-C1 | 10.00 | 051 | 102.546e?04 | 7.550e?05 | 3.581 | 726 | 31.344 | 898 | 210 | 0.153 | 697 | 820 | 7.95
CBS [22] | 10.10 | 011 | 104.029e?04 | 2.067e?04 | 3.581 | 971 | 1.345 | 080 | 0.153 | 723 | ?
QBS [43] | 10.20 | 011 | 103.379e?04 | 7.672e?04 | 3.582 | 226 | 1.345 | 182 | 0.153 | 890 | 1 |
MQ [14] | 10.20 | 011 | 102.568e?04 | 7.626e?05 | 3.582 | 191 | 1.345 | 110 | 0.153 | 734 | ?
G [14] | 10.20 | 011 | 107.485e?04 | 3.769e?04 | 3.581 | 133 | 1.344 | 590 | 0.153 | 577 | ?
IMQ [14] | 10.20 | 011 | 102.053e?03 | 1.059e?03 | 3.583 | 361 | 1.346 | 670 | 0.154 | 202 | ?
IQ [14] | 10.20 | 011 | 102.889e?03 | 1.579e?03 | 3.578 | 531 | 1.342 | 130 | 0.152 | 841 | ?
EBSC [37] | 10.20 | 011 | 1.337e?04 | 6.125e?04 | 3.581 | 121 | 1.345 | 133 | 0.153 | 834 | 2 |

对于t=10的整数阶情况，所提出的方法表现出显著的效率。QHCM方案在空间离散化方面具有显著优势，该方法使用h=1的粗网格，而文献中的比较方法依赖于更细的网格来达到类似的精度。尽管使用较少的空间点，QHCM方法的结果优于比较研究的结果。在守恒性质方面，计算出的不变量C1、C2和C3与理论预期和文献值非常吻合，在长时间积分过程中保持稳定。虽然获得最高精度需要更小的时间步长，因此需要更高的CPU时间，但该方法在计算成本和精度之间提供了灵活有效的折中。

表9展示了α=0.9时Tf-MRLW的近似误差、计算成本和实验收敛率（ROC）。结果表明，随着时间步长从Δt=0.01细化到Δt=10?5，误差范数一致且单调减小。ROC值表现出显著的稳定性，整个细化过程中稳定在0.93左右。这表明该方法在其收敛性质上非常稳健，在最细的时间步长下能够获得高精度结果（误差在10?6的数量级）。尽管CPU时间随着时间细化而自然增加，对于Δt=10?5大约达到631秒，但精度的显著提高证明了计算工作的合理性。

表9. α=0.9，d=0.1，h=0.2，t=0.1时，x=54在不同时间间隔下的Tf-MRLW的近似误差、ROC值和CPU时间。
Δt | QHCM-L | ROC | CPU时间（秒） | QHCM-C | ROC | CPU时间（秒）
0.01 | 4.9538e?03 | – | 4.42 | 4.9531e?03 | – | 4.52
0.00 | 15.8749e?04 | 0.92 | 615.80 | 5.8747e?04 | 0.92 | 59
6.04 | 0.00 | 053.0888e?04 | 0.92 | 757.95 | 3.0888e?04 | 0.92 | 757.75 | 0.00 | 025 | 1.6232e?04 | 0.92 | 821 | 11.73 | 1.6232e?04 | 0.92 | 82
1.00 | 021.31 | 0.00 | 1.3194e?04 | 0.92 | 871 | 13.53 | 1.3193e?04 | 0.92 | 91 | 13.93 | 0.00 | 012 | 58.52 | 58e?05 | 0.92 | 90 | 19.84 | 8.52 | 57e?05 | 0.92 | 89
2.00 | 0000 | 18.12 | 63e?06 | 0.93 | 076 | 31.80 | 8.12 | 62e?06 | 0.93 | 076 | 31.03 |

表10和表11展示了α=0.7时Tf-MRLW方程在两个不同最终积分时间t=5和t=10的比较性时间收敛分析。这种比较对于理解分数阶导数的非局部性质对数值方案长期稳定性和精度的影响至关重要。

表10. α=0.7，d=0.1，h=0.2，t=5时，x=54在不同时间间隔下的近似误差和ROC值。
Δt | QHCM-L | ROC | CPU时间（秒） | QHCM-C | ROC | CPU时间（秒）
0.05 | 2.6821e?02 | – | 23.01 | 2.6750e?02 | – | 22.93
0.02 | 51.4805e?02 | 0.8573 | 29.60 | 1.4775e?02 | 0.8565 | 29.33
0.01 | 258.18 | 29e?03 | 0.8554 | 44.59 | 8170 | 2e?03 | 0.8547 | 43.22
0.01 | 6.7709e?03 | 0.8487 | 13.44 | 6.7613e?03 | 0.8482 | 13.72 | 0.00 | 85.60 | 81e?03 | 0.8443 | 63.61 | 5.6009e?03 | 0.8438 | 59.33 | 0.00 | 16.24 | 75e?04 | 1.0554 | 178.73 | 6.1778e?04 | 1.0602 | 180.17 |

表11. α=0.7，d=0.1，h=0.2，t=10时，x=54在不同时间间隔下的近似误差、ROC值和CPU时间。
Δt | QHCM-L | ROC | CPU时间（秒） | QHCM-C | ROC | CPU时间（秒）
0.05 | 2.3444e?02 | – | 30.41 | 2.3376e?02 | – | 30.51
0.02 | 51.2904e?02 | 0.8614 | 42.42 | 1.2876e?02 | 0.8603 | 43.98 | 0.01 | 257.18 | 27e?03 | 0.8452 | 72.72 | 7.1708e?03 | 0.8445 | 72.76 | 0.01 | 5.9706e?03 | 0.8282 | 87.75 | 5.9616e?03 | 0.8281 | 124.21 | 0.00 | 84.97 | 27e?03 | 0.8190 | 107.65 | 4.9659e?03 | 0.8182 | 31.24 | 0.00 | 11.09 | 93e?03 | 0.7258 | 555.19 | 1.0858e?03 | 0.73 | 1155.3 |

对于较短的积分周期t=5（表10），该方法表现出稳健的收敛行为。尽管在预渐近区域收敛率（ROC）在0.85左右波动，但随着时间步长细化到Δt=0.001，它恢复到了理论上的第一阶精度（ROC≈1.0）。这表明对于中等持续时间，数值方案能够有效管理分数阶历史项并实现预期的渐近收敛率。然而，将模拟扩展到t=10（表11）揭示了分数阶记忆尾部的累积效应。与t=5的情况不同，t=10时的ROC值没有恢复到1，而是显示出下降趋势，在最细的时间步长下稳定在0.73左右。这种亚线性收敛是α=0.7相关联的严重记忆效应的特征。由于Caputo导数在任何时刻都依赖于解的整个历史，因此在更长的时间间隔（t=10）内离散化误差的累积使得系统更加僵硬，自然地减缓了时间收敛率。尽管在扩展的模拟中收敛阶数有所降低，但两个表中的误差范数都随时间步长的细化而单调减小，方法始终保持严格稳定，没有发散。此外，CPU时间反映了这种记忆效应的计算成本；将模拟时间从t=5增加到t=10大约使计算时间增加了三倍（例如，对于Δt=0.001，从约178秒增加到约555秒），这与处理历史数据的额外负担是一致的。QHCM-L和QHCM-C在所有测试中都产生了几乎相同的结果，证实了线性化的选择不会对求解器的稳健性产生负面影响。

在两种情况下，QHCM-L和QHCM-C算法产生的误差范数和计算时间几乎相同。这证实了线性和非线性迭代方法在解决非线性Tf-MRLW方程方面同样有效且高效。

在图6.4中，给出了不同α值的数值解，观察到的行为与图6.1相似；然而，变形更为明显。在子图(a)和(b)中，都存在不对称性、小幅度振荡以及主波峰后的明显尾部。这些效应反映了分数阶导数引入的记忆和阻尼特性，表明了分散性和耗散性的增加。

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图6.4. Quintic Hermite样条解的Tf-MRLW图，α=0.5，b=0.75和c=1.7。

结论
本研究提出了一种基于Quintic Hermite样条配置方法（QHCM）的高效数值方案，用于求解整数阶和时间分数阶的RLW和MRLW方程。该方法采用五次Hermite样条结合Legendre–Chebyshev配置点进行空间离散化，而Caputo分数阶导数则使用L1方案进行时间近似。理论分析通过Von Neumann分析确认了线性化方案的无条件稳定性。数值结果表明，所提出的方法具有高精度和优越的空间效率，即使在相对粗糙的网格上也能提供可靠的解。该方案保留了质量、动量和能量等关键守恒定律，并且随着分数阶接近1，能够平滑地恢复经典解。尽管具有高精度和计算效率，但所提出的五次Hermite样条配置方法存在一些固有的局限性。由于Caputo分数阶导数的非局部性质，算法需要存储完整的解历史，这可能会增加长时间模拟中的内存使用和计算成本。此外，与大多数基于样条的方法一样，该方案的性能取决于解的规则性，在存在尖锐梯度或高度局部化结构的情况下可能会恶化。

这些局限性为未来的研究指出了几个有希望的方向。通过结合快速卷积或节省内存的技术可以提高分数项的效率，而自适应或非均匀网格策略可以更好地解决局部化现象。将当前框架扩展到更高维度的问题、替代分数阶算子以及涉及实际数据的应用也是进一步研究的宝贵课题。