耦合系统中非线性方程的迭代方法：使用改进的同伦摄动法

《Ain Shams Engineering Journal》：Iterative methods for nonlinear equations in a coupled system: Using modified homotopy perturbation

　　

应用科学各个分支中会出现非线性方程，因为现实世界的问题无法用线性形式精确表述。开发用于估计非线性方程根的数值方法是一项迷人且激动人心的任务。在这项工作中，研究人员使用改进的同伦摄动技术（Modified Homotopy Perturbation Techniques, MHPT）开发了用于估计耦合系统中非线性方程解的新型六阶和七阶迭代方法。对所提出方法的收敛性进行了检验。最近提出的迭代方法得到了数值例子的支持。与文献中一些先前方案的计算机比较证明了这些新方法的有效性。它们还显示出较低的计算成本和更快的收敛速度。研究人员、数学家和工程师广泛使用多项式图像技术（Polynomiography）作为可视化和理解复杂方程行为的工具。研究人员提出的技术生成了复数多项式的多项式图像，这些图像清晰地显示了根。

非线性方程在应用科学的多个分支中广泛出现，因为现实世界的问题难以用线性形式精确建模。传统数值方法如牛顿法（Newton’s method）虽然简单，但收敛阶较低，且在处理复杂非线性系统时计算成本高。现有高阶方法（如Halley法、Householder法）往往需要更高阶导数或额外函数评估，导致效率受限。特别是在耦合系统中，非线性方程求解对收敛速度和计算效率有更高要求。因此，开发平衡高阶收敛与低计算成本的新迭代方法成为数值分析的重要研究方向。本研究旨在通过改进同伦摄动技术（Modified Homotopy Perturbation Technique, MHPT），设计多步迭代算法，以提升求解非线性方程根的效率和精度。论文发表在《Ain Shams Engineering Journal》。

研究人员开展了以下工作：基于改进同伦摄动法，在耦合系统框架下推导了两种新的多步迭代算法（Algorithm 2.2和Algorithm 2.3）。通过泰勒展开和误差方程分析，证明了Algorithm 2.2达到六阶收敛，Algorithm 2.3达到七阶收敛。选取六个测试函数（f₁(y)至f₆(y)），与牛顿法（NM）、Halley法（HM）、Householder法（HHM）、Abbasbandy法（AM）、Chun法（CM2和CM3）以及He法进行数值比较，采用Maple 13软件计算，以迭代次数、函数绝对值|f(y_n)|和计算收敛阶（COC）为评价指标。此外，将算法应用于复数多项式（如ζ³+1=0等），生成多项式图像（Polynomiographs），直观展示根的吸引域。

关键技术方法包括：1）改进同伦摄动法（MHPT），用于非线性算子分解，通过泰勒展开和系数匹配导出迭代格式；2）收敛性分析，采用泰勒展开和误差方程，证明收敛阶；3）数值实验，使用Maple 13软件，选取六个测试函数（f₁至f₆），初始值给定，与多种现有方法比较；4）多项式图像生成，基于复数多项式迭代，展示根的吸引域。

研究结果如下：

在“3. Applications”部分，研究人员通过六个数值例子（如f₁(y)=sin³y-y²+1=0等）进行了比较。结果表明，Algorithm 2.2和Algorithm 2.3在多数情况下迭代次数更少，|f(y_n)|更小，COC接近理论值（6和7）。例如，对于f₁，Algorithm 2.2在5次迭代后|f(y_n)|达到9.33e-43，COC为5.98324；Algorithm 2.3在4次迭代后|f(y_n)|达到2.44e-57，COC为7.00121。而其他方法如牛顿法在5次迭代后|f(y_n)|为9.23e-26，COC为3.01342。类似地，对于f₂、f₃、f₄、f₅和f₆，新算法均表现出更优的性能，且未见发散现象（如He法在f₂、f₄、f₅、f₆中发散）。这些结果验证了所提方法的高阶收敛性和计算效率。

在“4. Polynomiographs”部分，研究人员将算法应用于复数多项式，包括ζ³+1=0、ζ⁴+ζ²-1=0、ζ⁵+2ζ³+ζ+1=0和ζ⁶+ζ³-1=0。通过迭代公式（19）和（20）生成多项式图像，每个图像显示了不同数量的根吸引域（如三个、四个、五个、六个区域）。这些图像直观地展示了根的分布和算法的收敛行为，进一步支持了方法的有效性。

总结讨论部分：论文结论（原文Section 5）指出，研究人员提出了第六阶和第七阶的两个新算法，并给出了详细推导。证明了所提出方法的收敛性。通过数值例子与文献中先前方法的比较，研究人员得出结论，所提出的方法优于其他替代方案。使用所提出方法生成了各种复数多项式的多项式图像，这些图像包含有趣的复数多项式图案，使得复数多项式的根易于观察。基于本文描述的思想和技术，可以提出和评估求解非线性方程和非线性方程组的更高阶多步迭代算法。