一种用于快速机械参数识别的深度神经网络替代方法，该方法基于环状拉伸试验

《Materials & Design》：A deep neural network surrogate for fast mechanical parameter identification using the ring tensile test

　　安德烈斯·乌特雷拉（Andrés Utrera）|阿尔瓦罗·纳瓦雷特（álvaro Navarrete）|亚历杭德罗·贝兹马利诺维奇（Alejandro Bezmalinovic）|克里斯托瓦尔·贝尔托利奥（Cristóbal Bertoglio）|迭戈·J·塞伦塔诺（Diego J. Celentano）|克劳迪奥·加西亚-埃雷拉（Claudio García-Herrera）
智利圣地亚哥大学机械工程系，智利圣地亚哥

**摘要**
本研究介绍了一种深度神经网络（DNN）替代模型，旨在利用环状拉伸试验加速机械参数的识别。该替代模型基于使用各向异性本构模型的环状拉伸试验的有限元模拟进行训练，作为正向问题的有效近似。其主要应用是对小尺寸主动脉组织样本进行批量表征，因为在这些情况下，样本的可用性和计算成本限制了传统的逆向分析方法。通过对Wistar大鼠胸主动脉样本的实验数据进行验证，显示出该模型具有很强的预测能力，所有识别参数的初始相关系数均达到0.73或更高。DNN替代模型提供了准确的初始估计值，这些估计值可以通过基于有限元的逆向分析进一步细化，从而考虑血管力学中的残余应力效应。尽管训练过程需要大量的计算资源，但该框架能够实现快速、高通量的表征，并可推广到涉及复杂应力-应变状态的其他非标准机械试验中。

**1. 引言**
在生理条件下，软组织的力学行为表现为各向异性且不可压缩，并且它们也可能发生较大变形[16]、[37]、[51]。特别是动脉壁属于这类材料，由于其作为心血管疾病和血管老化评估生物标志物的关键作用，已有许多研究者对其进行了生物力学表征[12]、[14]、[27]。在材料建模方面，软组织通常被归类为超弹性材料，这类非线性模型用于描述经历显著应变的材料的弹性行为[4]。由于动脉壁的纤维结构，各向异性超弹性模型常被用来表征其力学特性[10]、[15]。为了捕捉动脉的被动力学响应，传统上会进行多种体外实验测试，包括单轴拉伸[5]、[7]、[29]、[35]、双轴拉伸[1]、[9]、[21]、充气[44]、[50]、环状扩张[39]、[52]、纳米压痕[41]、原子力显微镜（AFM）[43]和压力肌电图（PM）[30]。在单轴测试中，通常使用平面[8]或环形[36]样本。

从实验角度来看，机械测试的一个重要限制因素是样本的大小。小型动物的小血管（如大鼠[26]、[52]、小鼠[12]、兔子[25]和豚鼠[3]）已被研究过。大型动物的小动脉（如颈动脉[13]、脑动脉[32]和肺动脉[42]也在之前的研究中有所涉及。环状拉伸试验特别适合用于研究小动脉。然而，在使用这种测试时必须解决两个主要问题以确保材料的准确表征：一方面，尽管有多种分析方法可以计算环状拉伸试验期间的应力-应变行为[2]、[28]、[35]、[53]，但这些方法使用了简化的应变测量、各向同性本构建模或均匀应变假设。这些假设与实际的测试力学条件不符，因为弯曲应力和单轴应力都有重要影响，再加上内部金属丝施加的接触应力（见图1(a)），会导致样本中的应力和应变分布严重不均匀。另一方面，动脉在其管状结构中存在残余应力，这些应力必须纳入表征中，以准确反映组织在复杂载荷条件下的整体响应[11]。

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**图1. 实验装置。**

为了克服这些限制，使用有限元方法（FEM）进行数值模拟可以确定应力和应变场[33]，并施加适当的边界条件以促进实验的准确分析。校准特定的本构模型需要解决一个优化问题，以确定一组机械参数。需要确定的机械参数应最小化某个特征结果（例如，模型响应与实验数据之间的平方误差之和）。在复杂的力学问题中，使用FEM有助于在校准过程中确定本构模型的响应。然而，根据用于优化问题的模拟复杂性，主要限制之一是解决问题所需的时间和计算资源。此外，优化算法需要参数的初始猜测，而这仅凭实验测量数据可能难以实现。为了解决上述困难，一些研究者使用了用有限元数据训练的DNN模型，作为数值模拟的快速替代方案，以加速不同材料的表征或数值评估。

**2. 材料与方法**
智利大学医学院伦理委员会批准了所有实验程序（协议22,549-MED-UCH）。动物实验按照美国国立卫生研究院（NIH）发布的《实验室动物护理和使用指南》（出版物编号85-23，1996年修订版）进行，并遵循美国生理学会的《动物护理和使用指导原则》以及ARRIVE指南[24]。

**2.1. 动物**
所测试的动脉组织样本来自六只六个月大的Wistar大鼠。关于安乐死和解剖协议的更多细节可以在之前的报告中找到[52]。

**2.2. 机械测试**
为了使用各向异性本构模型表征动脉组织，必须在至少两个不同方向上进行实验测试。对于小血管来说，这项任务尤其困难，因为它们的尺寸较小，尤其是在周向方向上。在这种情况下，单轴环状拉伸试验被用来评估小动脉在周向方向的力学行为[26]、[53]。平面单轴拉伸试验可用于捕捉沿纵向方向的力学响应，这已在小血管中得到验证[52]。

以下描述的机械测试是在从动物体内取出腹主动脉后进行的，如图1所示。环状和纵向拉伸试验是在BioTester 5000双轴机器（CellScale，加拿大）上进行的，该机器配备了精度为2.5 N的负载传感器。所有测试都在体外条件下进行，将测试样本浸入38°C的无Ca Krebs缓冲液中[38]、[52]，以模拟生理条件。以下部分将分别描述平面单轴拉伸试验和环状单轴拉伸试验。

**2.2.1. 环状单轴拉伸试验**
根据图1(a)，从研究对象中提取了一段约2毫米长的圆柱形样本。然后记录每个样本的厚度和内径。接着，使用由两个金属丝肌电图夹具（Danish Myo Technology，丹麦）组成的系统将样本安装在测试机上。两根直径为0.2毫米的钢丝插入管状样本中，并用螺栓固定金属丝的两端。夹具的位移速率设置为1.5毫米/分钟。通过此过程记录瞬时力和夹具的位移。

**2.2.2. 平面单轴拉伸试验**
与环状单轴拉伸试验不同，该实验使用的是平面样本，沿血管的纵向方向进行拉伸（见图1(b)）。从动脉中切下一段约10毫米长的圆柱形部分，然后将其打开并压平。接着测量每个样本的宽度和厚度。使用夹具在两端固定动脉样本，并通过对夹具施加位移来沿纵向方向拉伸样本。与环状单轴拉伸试验相同的位移速率也被采用。与环状单轴拉伸试验类似，记录了瞬时力和夹具的位移。根据这些信息，可以使用相关公式计算纵向拉伸率。此外，在假设不可压缩性的前提下，还计算了沿纵向方向的柯西应力（通常适用于软组织[23]）。

**2.2.3. 环状扩张试验**
环状扩张试验是一种常用的方法，包括对无外部载荷的环形样本进行径向切割（见图1(c)）。切割后的动脉因残余应力释放而发生形状变化，这种变化可以通过扩张角度来量化。利用环状扩张试验获得的实验信息，可以通过数值方法确定残余应力，具体方法详见第2.4节。

**2.2.3. 本构模型**
在本研究中，使用Gasser-Holzapfel-Ogden（GHO）[10]超弹性本构模型来表示动脉组织的各向异性弹性行为。该模型假设胶原纤维以螺旋状排列在动脉组织中[40]。由于通常假设软生物组织是不可压缩的[19]，模型的应变能量密度被分解为偏应变分量和体积分量，后者用于确保满足不可压缩性条件[47](1)，其中表示柯西-格林应变张量的偏应变部分，表示变形梯度张量的行列式。GHO模型的函数表示为：
(2)(3)
其中、和是GHO模型的材料参数，对应于柯西-格林应变张量的第一不变量。特别是，是与模型中考虑的两组纤维相关的伪不变量，这些纤维的平均方向位于由血管的纵向和周向方向生成的平面上。参数定义了纤维的分布，用于仅考虑处于拉伸状态下的纤维。

**2.4. 有限元模拟**
所有模拟均使用FEBio软件版本4.7[33]进行。环状拉伸试验的数值模拟包括分析内径为、厚度为、长度为的环状样本，对应表面施加了对称边界条件，如图2(a)所示。环状几何体的有限元离散化产生了24,000个六面体单元，这些单元集中在变形最严重的区域，如图2(b)所示的典型（最终）变形配置中。采用了一种三场公式（位移、压力和偏应力）来模拟非耦合本构模型的准不可压缩行为[48]。位移场使用三线性基函数离散化，并采用了完全高斯积分（每个元素2x2x2个点）。此外，在模拟中使用了由2700个四边形元素组成的刚性壳网格作为拉伸丝。下载：下载高分辨率图像（854KB）下载：下载全尺寸图像图2. 数值模拟方案。a) 环形拉伸试验模拟中应用的边界条件。b) 环形拉伸试验的变形配置（图像显示了利用环形几何体的三重对称性）。c) 环形闭合模拟边界条件[20]。在FEBio中实现的预应变算法用于将残余应力纳入容器[34]。该算法需要一个初始预应变梯度张量（），以产生相应的预应力状态。为了消除引入的预应力与参考几何体和边界条件之间的不兼容性，引入的预应变会进行迭代更新，以便下一次迭代中的新预应变梯度为，其中是第次迭代时的总变形梯度张量，由问题的正向解得出。当满足收敛条件时，收敛终止，容差设置为。环形拉伸模拟的初始变形梯度场是通过使用简化网格（1000个线性六面体元素）模拟环形闭合过程得到的，该过程考虑了平面应力条件。此过程从无应力的开环几何体（如图1(c)所示）开始作为参考配置。然后，在容器的一端施加具有刚体运动学约束的预定位移（见图2(c)），以形成闭环配置。达到机械平衡后，提取变形梯度张量场，并进一步将其作为环形拉伸试验模拟的初始条件。对闭合模拟的简要敏感性测试表明，将材料刚度提高20%（均匀缩放所有GHO参数：、、、和）只会使变形梯度范数变化3.96（平均值）和6.09（最大值）对于+20%的情况，以及4.57（平均值）和5.41（最大值）对于20%的情况，这支持了预应变场对材料参数依赖性较弱的假设。从环形闭合模拟获得变形梯度场后，将其映射到用于环形拉伸试验的网格上。这种映射是使用pyvista包[49]中的数据插值器完成的，将闭合模拟网格的变形梯度插值到环形拉伸试验网格上。假设变形梯度沿容器的轴向保持不变。初始平衡在20步内实现。变形梯度值从第一步的零线性增加到第20步的满值。在对容器进行预应力处理后，壳网格沿方向（见图2(a)）位移以开始拉伸加载。使用FEBio求解器[58]中提供的滑动弹性公式，在壳表面和容器内表面之间建立接触相互作用。接触通过增广拉格朗日方案强制执行，最大间隙容忍度为毫米，自动惩罚计算和非对称刚度公式。为了保持可识别性和数值稳定性，忽略了丝与容器之间的摩擦：根据当前力-位移数据，摩擦系数无法唯一确定，而摩擦接触会降低试验运行的收敛性。这个假设被认为是当前模型的一个限制。使用Broyden拟牛顿方案来解决非线性FEM问题，在重新形成刚度张量之前最多进行15次更新。采用自动时间步进方法来避免收敛问题，总步数在200到500步之间。最终使用FEBio的xplt输出文件（可扩展的绘图文件格式）的自定义Python二进制读取器获得力-位移曲线。2.5. 环形拉伸试验模拟的深度神经网络模型通过数值模拟校准非线性本构模型以捕捉复杂机械系统（如环形拉伸试验）的行为是一个计算密集型任务。这个过程通常涉及找到一组参数的值，这些参数可以最小化量化本构模型预测的响应与一组实验数据之间差异的目标函数[55]。某些优化算法，如BFGS[56]和Levenberg-Marquardt[46]算法，需要计算目标函数相对于模型参数的梯度。尽管通过有限差分（FD）进行数值微分是一种可行的近似这些导数的方法，但它可能需要大量的模拟才能完成单次迭代，从而增加了计算成本。此外，众所周知，参数的初始猜测显著影响解决逆问题所需的计算时间。这对于仅在最小值附近局部凸的非线性参数拟合问题尤为重要。因此，获得一个计算效率高且可靠的初始猜测是非常有吸引力的。鉴于上述挑战，我们在这项工作中提出使用深度神经网络（DNN）模型作为环形拉伸试验数值模拟的替代模型，以便根据材料和几何参数获得组织的力响应。该模型将作为寻找与动脉材料相关的本构模型参数的初始猜测的有效工具，从而通过FEM技术实现更高效和更具成本效益的逆向拟合过程。用于生成训练DNN模型所需数据集的参数空间在表1中呈现。这些参数对应于GHO模型的五个机械参数（、、、和），以及环形样本的几何形状（和）。参数范围是根据之前的实验和分析定义的。假设样本的长度（）在数值模拟中固定为2毫米。表1. 用于训练DNN模型的参数集。参数范围[kPa][5, 50] [kPa][10, 200] [-][0.2, 2.2] [-][0.05, 0.31] [deg][30.0, 60.0] [mm][0.15, 0.30] [mm][0.75, 1.3]参数数据和每次模拟的结果都使用SQL数据库进行组织。数据集表为每组生成的参数分配了唯一的ID。然后，在每次模拟完成后，将模拟的位移和力数组存储在带有相应参数集ID的表中。每次模拟的执行由SLURM（Simple Linux Utility for Resource Management）[57]的一个实例管理。该服务处理了四个计算节点（两个Threadripper 5965WX和两个Intel i9-9920X计算机，所有节点都配备了128Gb的RAM）的资源。每个模拟都在单独的核心上运行。生成了10,000个参数集的数据库，每个参数在定义的范围内随机均匀分布。由于某些模拟由于材料行为或接触分析的数值不稳定性而未收敛，因此从模拟中得到的最终数据集包含8800条力-位移曲线。数据集的分配为75%用于训练，15%用于验证，10%用于测试。输入参数使用训练集范围进行了最小-最大缩放，而力输出在PCA投影之前保持物理单位。在训练之前，每条力-位移曲线被重新采样到200个等距点，并使用训练集计算出的PCA（20个分量）减少了输出维度。因此，DNN被训练来预测PCA系数，之后使用PCA基础重建力曲线。如果表示力矩阵，表示保留的PCA基础，则训练目标是，重建是。这里，是DNN预测的PCA表示，是在原始输出空间中的重建力矩阵。完成所有FEM计算后，使用Python Tensorflow Keras生成了一个DNN模型。使用Keras-Tuner Hyperband[31]探索超参数，以PCA目标的验证均方误差为目标，和减少因子为4；搜索运行了500个周期。在选择最佳候选者后，最终模型在训练/验证数据上使用Adam（学习率）进行训练，批量大小为1200，最多100,000个周期，使用提前停止（耐心1000）和模型检查点来保留最佳验证性能的权重。这个Hyperband步骤是在最终模型训练之前的候选者筛选的一次性预训练阶段；相比之下，框架的主要计算成本是FEM模拟阶段（数据集生成）。2.6. 参数识别提出了一种拟合策略，通过校准GHO本构模型来确定控制动脉组织机械行为的材料属性。该方法如图4所示，涉及使用训练有素的DNN模型提供本构模型参数的初始估计，然后通过基于FEM的校准来细化这些参数并提高与实验数据的拟合度。这两种方法都旨在最小化模型响应与实验测量值之间的差异。为此，定义了以下成本函数：(5)(6)(7)其中要确定的GHO参数由表示，J是总成本函数，它是环形拉伸试验（）和纵向拉伸试验（）的成本函数之和。引入了两个权重（和）来平衡每种测试的不同性质和不同的测量数据点（N和M），定义如下：(8)(9)需要注意的是，环形和纵向测试的成本函数用于DNN阶段和FEM阶段，使用成本函数中的相应模型。这种拟合策略的两个主要阶段如下：2.6.1. 第1阶段：初始猜测使用全局优化算法（差分进化，LMFit Python库）来解决这一阶段的优化问题。优化算法在每次迭代中不断寻找更好的参数集候选者（），其中最优解最小化成本函数。使用无导数优化方法的一个优点是，它可以直接惩罚各向异性本构模型在单轴拉伸中的材料不稳定性（即非物理行为），在这种情况下，一个横向拉伸（或）随着主要主拉伸（）的增加而增加，类似于泊松比负的材料[45]。这种机械行为与非辅助材料的实验观察结果不符[18]。为了避免GHO模型的这个问题，如果在相应的迭代中横向拉伸不是单调递减的（即或），则返回较大的成本（），其中导数是使用前向差分计算的。这一阶段的输出旨在确定一个接近最优的初始机械参数集，该参数集将作为下一阶段（第2阶段）的输入。2.6.2. 第2阶段：基于FEM的校准第二阶段旨在通过FEM解决优化问题，以确定最终的参数集，同时考虑DNN模型可能存在的偏差，还包括模型中残余应力的影响。首先，通过模拟环形闭合过程[20]来确定动脉壁中的残余应变场，使用每个环形样本的测量开口角度（第2.2.3节）。由于确定的应变值几乎不依赖于材料参数，因此在整个过程中只进行一次此模拟，使用第2阶段的初始材料常数。将残余应变积分到环形拉伸试验模拟中后，使用Python的LMFit库中的BFGS算法对本构模型参数进行优化。梯度是通过算法使用有限差分计算得出的。为了在使用基于导数的优化算法时考虑参数的不同维度和大小，参数被重新参数化如下：(10)其中 是本构模型参数， 是参数的初始猜测值， 是重新参数化的基础（已确定为 ），而 是要优化的新参数。由于第一阶段已经为参数集建立了接近最优的值，因此第二阶段进行的迭代过程比从头开始基于FEM的本构模型校准要便宜。当满足收敛标准时，BFGS算法将停止，该标准定义为连续迭代之间参数的差异小于1%，如果已经获得了较高的确定系数（）。3. 结果为了更好地理解所展示的结果，它们被分为两个部分：第一部分涉及DNN模型训练过程的特点（第3.1节），第二部分与本构模型校准程序相关（第3.2节）。3.1. DNN训练DNN模型的实现首先涉及优化其架构的参数，这已在图3中示意。为此，表2显示了模型架构考虑的五个超参数（层数、层单元数、激活函数、L2正则化因子和丢弃设置）。这种搜索是在预训练阶段进行的，每个候选方案最多运行25个周期，在最终模型训练之前执行一次。这些可能的值范围及其在预训练过程中优化后的对应值详细列在上述表格中。下载：下载高分辨率图像（240KB）下载：下载全尺寸图像图3. 深度神经网络架构。输入层对应于机械和几何参数。输出层预测20个PCA系数，这些系数用于重建力-位移响应，其长度固定为200点，位移范围在0到2.5毫米之间。下载：下载高分辨率图像（469KB）下载：下载全尺寸图像图4. 曲线拟合过程的示意图。表2. 超参数调整。超参数范围优化后的值层数[2, 20]5层单元数[300–1000]（步长20）900激活函数elu, gelu, relu, selureluL2正则化因子[1E-8, 1E-2]1E-6丢弃层[True, False]False在图5中可以观察到在训练、验证和测试数据集中评估的DNN训练模型的表现。模型的性能通过FEM模拟计算出的力（真实值）与模型预测的力之间的关系来表示。曲线表示DNN模型的完美预测。可以看出FEM模型和DNN模型之间存在近乎线性的响应，其中训练和验证数据集的平均平方误差（MSE）分别为0.0114和0.0451。下载：下载高分辨率图像（460KB）下载：下载全尺寸图像图5. 训练后的DNN模型结果。3.2. 曲线拟合程序表3为每个研究的样本提供了优化过程不同阶段的详细值总结，包括超弹性模型的参数和拟合优度值。表3. 拟合算法结果总结表。A面板：使用DNN模型使用DNN模型优化的参数样本 [kPa] [kPa] [deg]RMSEInit128.34556.6151.3240.21762.4760.9940.9510.132227.797243.0941.8840.23875.5770.9990.7280.076322.803254.1432.8880.23265.7550.9830.9360.115444.36280.3892.3170.22952.5790.9930.9790.053526.884223.2592.2850.22860.4180.9980.8780.129621.210178.4140.6280.21766.1790.9830.8920.129B面板：使用FEM进行最终拟合的结果使用FEM优化的参数样本 [kPa] [kPa] [kPa] [deg]RMSEFEMEvalsIters128.60957.1381.2920.20662.5500.9810.9940.074304229.407327.6972.1130.21775.0020.9970.9860.034385324.237295.7813.5440.22366.8750.9980.9900.043406444.19380.0122.2880.21452.0470.9970.9950.032365527.005233.8332.4130.20158.6060.9780.9930.035436621.329196.8370.6570.19864.5610.9950.9900.055345C面板：提出方法的第一步和第二步之间的相对变化百分比样本10.930.92?2.44?5.050.1225.7934.8012.14?8.73?0.7636.2916.3822.71?4.001.704?0.38?0.47?1.26?6.17?1.0150.454.745.62?12.01?3.0060.5610.334.69?8.67?2.44一方面，表3（A面板）显示了应用第一阶段后的参数集，其中拟合优度由R平方值确定， 和 ，分别与环状拉伸试验和平面拉伸试验的力-位移和应力-应变曲线相关。请注意，拟合优度是通过有限元模拟与实验数据进行评估的，以避免DNN模型引入的任何偏差。 的值范围从0.728到0.986，而 的值范围从0.953到0.999。均方根误差（RMSE）衡量了两种测试中模型的总误差。在第一阶段结束时，RMSE的范围从0.132到0.048。另一方面，表3（B面板）显示了完成第二阶段后的最终材料参数。它还包括环状和纵向拉伸试验的R平方值。 的值范围从0.986到0.995，而 的值范围从0.981到0.999。相应的RMSE值范围从0.074到0.032。通过FEM（第二阶段）的优化过程相对较快，其中前向评估次数和BFGS迭代次数分别不超过40次和6次。表3（C面板）可视化了第一阶段和第二阶段之间参数值的变化。其中，每个参数的最大绝对差异分别为：%、%、%、%和%。图6显示了在不同曲线拟合阶段，对于代表性样本（根据表3的编号5），环状和平面单轴拉伸试验的数值曲线。本研究涉及的所有样本的信息在补充部分（图9）中提供。特别是，图6展示了使用第一阶段（FEM评估）获得的参数的力-位移和应力-应变曲线。还展示了第二阶段结束时的FEM曲线。最后，为了评估残余应力在表征过程中的重要性，第三条FEM曲线显示了使用第二阶段参数的FEM模拟的力-位移行为，但忽略了模拟中的残余应变。下载：下载高分辨率图像（323KB）下载：下载全尺寸图像图6. 样本编号5的拟合过程示意图。红色标记代表实验数据。蓝色和绿色线条分别代表使用第二阶段和第二阶段参数的FEM评估。灰色线条代表使用第二阶段参数且没有残余应力的环状模拟。3.3. 使用DNN模型的敏感性分析由于DNN模型能够高效地探索参数空间，因此可以用来确定几何和材料参数对样本力-位移行为的影响，如图7所示。下载：下载高分辨率图像（729KB）下载：下载全尺寸图像图7. 在几何（a：厚度，b：内径）和机械参数（c：，d：，e：，f：）变化下，模型的敏感性分析，以及每个变化参数的峰值力相对变化与施加的比例因子（g，右侧面板）。敏感性分析的基准参数为：kPa，kPa，，，deg，=0.16 mm，mm。特别是，图7(a)和(b)展示了在GHO模型固定参数（kPa，kPa，，，deg）下改变厚度和直径的效果。相比之下，图7(c)，–(f)展示了GHO模型中最具影响力的材料参数：，，和，考虑到环的尺寸固定（mm和mm）。每个基准参数都修改了0.9到1.1之间的范围，单位因子对应于基准值。图7(a–f)的左侧块显示了每个参数变化的完整力-位移响应，而图7(g)通过峰值力相对变化与施加的比例因子提供了紧凑的标准化视图。在这个面板中，趋势在基准值周围是单调的，允许直接排名影响程度：，，和呈现出最陡峭的斜率，而，，和在探索的区间内相对平坦。有意使用单一固定基准值，以提供针对当前应用中代表性的大鼠腹主动脉案例的局部敏感性描述。这隔离了表3中报告的样本间变异性；跨多个基准的更广泛的全局敏感性研究是一个相关的未来扩展。定量而言，对于%的参数变化，图7(g)中的峰值力相对变化分别为%，%，%，%，和%。这些百分比代表了图7中使用的基准参数集周围的局部敏感性。与相关的较大变化具有几何原因：所有模拟都被驱动到相同的最终位移，因此改变初始直径会修改有效变形路径并放大力差异。这是当前固定位移敏感性设置的一个限制。3.4. 使用DNN模型的外推分析为了量化DNN替代模型的超出范围行为，设计了一个外推测试，仅使用最相关材料参数的高侧变化（，，和），同时保持几何参数固定（mm，mm）。基准值与敏感性分析中的相同（kPa，kPa，，，deg）。对于，和，外推值定义为，其中是表1中报告的上限训练值。对于，外推限制在90度（因子1.5），使用相同的乘法形式。这导致了26个FEM案例（对于，和，以及5个水平）。为了隔离外推效应，在此分析中忽略了残余应力（恒等），并将FEM环模拟直接与DNN预测进行比较。结果总结在图8中。下载：下载高分辨率图像（455KB）下载：下载全尺寸图像图8. 外推评估：，，和的代表性标准化误差曲线（左）以及RMSE与外推因子（右）。曲线按外推因子（1.1–1.7；上限为1.5）进行颜色编码，插图突出显示了，和的最终位移区域。图8中的代表性曲线显示了整个位移范围内的标准化误差，重点关注峰值力发生的最终位移。对于，，和，平均RMSE值分别为0.066 N，0.019 N，和0.045 N，最后一个位移的峰值力误差在因子范围内分别为：从13%到18%，从大约0%到%（略微低估），以及从%到13.7%。相比之下，显示出明显的外推效应：在1.1时峰值误差从14%增加到1.2时的28%，在1.3时为60%，在1.4时为135%，在1.5时为238%，而RMSE从0.09增加到0.26，0.69，1.64，和2.97 N。因此，图8(b)中的RMSE图显示，在1.3以上，占主导地位的外推误差。这些趋势证实了当模型被迫预测超出训练范围时，尤其是对于纤维角度参数，差异最大。4. 讨论本文介绍的两阶段方法结合了DNN和FEM，实现了可行的本构参数优化。根据表3，第一阶段和第二阶段之后优化参数的主要差异与的高变化（在15%到30%之间）和（在12%到22%之间）有关（见表3（C面板））。表3和图7的结果允许一些额外的观察。在敏感性分析中，和是最具影响力的机械参数，它们的潜在变化对力-位移曲线的影响最大。因此，表3（A面板）显示了第一阶段对这些关键参数的良好初始近似，当比较两个阶段时，它们的变化最小，在任何情况下，和之间的绝对平均百分比差异都没有超过7%（见表3（C面板））。因此，似乎DNN模型能够以一定的准确性正确表示模型行为，即使这些参数在训练参数范围之外进行评估，而对于输出敏感性较低的参数，其准确性似乎较低。尽管内径在此分析中被证明是最敏感的参数，但这个值在曲线拟合过程中是恒定的，因为它是每个测试样本的几何特征。外推分析（图8）为解释这些逐阶段参数变化提供了额外的背景。特别是，是超出范围退化最严重的参数，从因子1.2开始就明显失去了准确性，而在因子1.3之后误差显著增加。对于表3中C面板中第一阶段到第二阶段修正最大的两个样本（样本2和样本3），第一阶段的值分别为75.58度和65.76度，这相当于相对于上界训练值（60度）的1.26倍和1.10倍。综合考虑（i）局部敏感性结构，（ii）外推行为，以及（iii）阶段之间的参数更新，观察到的较大变化与低/中等可识别性和与外推偏差相关的补偿修正的综合作用是一致的。这也加强了第二阶段的作用：它包括了残余应力效应（在环加载中不可忽视），并通过有限元方法（FEM）提供了最终的基于物理的最优解，减少了对替代外推的依赖。在图6中可以清楚地看到，第二阶段完成拟合过程后得到的曲线（蓝线）比第一阶段的曲线（绿线）更准确地捕捉到了实验行为。这种改进在环拉伸试验模拟的结果中尤为明显，使用第一阶段参数的FEM模拟显示出的值明显较低。相比之下，对于单轴纵向拉伸试验，第一阶段的拟合曲线略优于第二阶段，尽管两者之间的差异不那么明显。这表明第二阶段对环拉伸曲线的改进是以略微降低纵向拉伸曲线的准确性为代价的。尽管如此，在评估两条曲线的综合拟合时，第二阶段总体上提高了均方根误差（RMSE）。

另一个重要的评估来自不考虑残余应力的曲线。显然，忽略残余应力会高估力-位移曲线（见图6，灰线）。这一点在所有剩余样本中都可以观察到，如附录中的图9所示。这种行为表明，DNN模型可能会低估优化参数的刚度，因此第二阶段的作用是纠正这种不匹配。这一事实强调了考虑样本残余应力的重要性，以避免其机械特性的偏差。

尽管需要计算大量的模拟来训练DNN模型，但能够快速对许多环样本进行全局优化大大减少了最终过程所需的时间，使其成为批量表征的合适方法，其中需要在同一组研究对象中研究大量样本。在这个问题中，直接的一对一加速与纯FEM逆向策略并不唯一，因为每次FEM评估的运行时间取决于接触收敛性和特定的参数/几何组合，而纯FEM逆向分析仍然需要一个可靠的初始猜测。没有这个初始猜测，加速比较的实际意义有限。实际上，主要的操作优势在于第一阶段提供了这个初始值，而第二阶段仍然是获得最终物理一致解（包括残余应力）所必需的；因此，不使用仅基于DNN的拟合作为最终识别阶段。

据我们所知，没有其他研究解决了使用环拉伸试验准确捕捉组织机械行为的所有必要条件。在大多数研究中，使用应力-伸长近似来表征本构模型，而我们小组已经证明这种方法的性能并不准确。此外，大多数工作使用各向同性模型、不考虑残余应力积分以及简化的边界条件。然而，一个重要的限制因素是本构模型和单层方法的选择。在这个框架下，改变本构模型需要新的模拟和DNN模型的新训练过程。此外，我们的方法假设血管由单层组成。这使我们能够捕捉到平均响应，而不是特定层的机械行为。因此，在未来的研究中，组织层的几何划分可能是一个重要的因素。尽管如此，通过结合先进的组织显微镜技术，如共聚焦显微镜或二次谐波生成（SHG）显微镜，可以改进所提出的框架，为模型提供准确的层比例和样本的胶原含量。这将把组织的力学特性与宏观和微观结构数据联系起来。其他可能的本构模型，如受限混合模型，也可以使用这种方法进行评估。

5. 结论

我们设计了一种参数估计方法，用于使用环拉伸试验协议来表征小动脉中的Gasser-Ogden-Holzapfel（GOH）模型。为此，我们采用了在有限元方法（FEM）模拟数据上训练的深度神经网络（DNN）来加速优化过程。随后，该方法通过整合残余应力并执行最终的基于FEM的逆向分析来改进拟合。我们将这种方法应用于六只大鼠的腹主动脉，并发现模型与实验结果在几次基于FEM的逆向问题迭代中具有很强的一致性。此外，DNN模型对于识别实验中最显著的参数非常有价值。分析还表明，必须特别小心处理参数界限，因为超出界限的值会降低替代模型的预测能力。除了参数拟合之外，DNN还证明了其作为快速敏感性分析工具的实用性，这一功能可以进一步扩展为推导环拉伸响应的经验表达式。尽管网络设计引入了一些限制，并且需要大量的FEM模拟进行训练，但它主要适用于批量表征场景，研究人员可以高效处理大量数据集。尽管存在这些限制，所提出的框架在加速小动脉的机械表征方面显示出强大的潜力，并且可以推广到其他组织和实验协议。

**作者贡献声明**

Andrés Utrera：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，软件开发，调查，数据管理。
álvaro Navarrete：撰写——原始草稿，可视化，方法论，调查。
Alejandro Bezmalinovic：撰写——原始草稿，可视化，软件开发，形式分析。
Cristóbal Bertoglio：撰写——审阅与编辑，可视化，方法论，概念化。
Diego J. Celentano：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，软件开发，方法论，形式分析。
Claudio García-Herrera：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，监督，方法论，资金获取，概念化。

**资助**

作者承认本研究、撰写和/或发表本文得到了财政支持。作者感谢智利圣地亚哥大学和智利国家研究与发展机构（ANID）的FONDECYT 1220956项目的支持。