针对具有弯曲边界的域上奇异扰动椭圆问题的一种数值方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A numerical method for singularly perturbed elliptic problems posed on domains with a curved boundary

　　A.F. Hegarty|E. O’RiordanMACSI，爱尔兰利默里克大学数学与统计系，利默里克摘要针对在非矩形域上提出的对流-扩散型奇异扰动线性椭圆问题，本文构建了一种域分解方法。这类问题的解中可能存在规则边界层、特征边界层以及内部抛物线层。通过渐近分析为这些层确定合适的Shishkin网格：与规则边界层对应的网格会与流出边界的曲线段对齐，而微分算子的离散化则采用简单的迎风有限差分格式。通过多个测试问题验证了所提数值算法在广泛奇异扰动参数范围内的有效性。引言奇异扰动偏微分方程的特点是方程中的某些或全部最高阶导数乘以一个小参数（此处记为ε，ε∈(0,1]）。当ε→0时，解中会在域的狭窄区域（层）出现陡峭梯度。参数一致数值方法[1]能够为所有ε∈(0,1]的值生成全局点态精确的连续问题解的数值近似。在大多数关于对流-扩散型椭圆奇异扰动问题的参数一致数值方法的文献中，问题域都被限制在矩形区域内（参见[2]及其中的参考文献）。例如，对于方程?????Δu+aux=f,(x,y)∈S?(0,1)2；a(x,y)≥α>0,(x,y)∈S?，u=g,(x,y)∈?S?S??S的情况，可以通过将简单的迎风有限差分算子与两个Shishkin网格的张量积[3]（分别为规则层和特征层设计）相结合来构建参数一致数值方法。在假设f与g在角点处具有足够兼容性且数据足够光滑的前提下，[4]给出了误差界‖U??u‖≤CN?1(lnN)2，其中U?是数值解U的双线性插值，N是每个坐标方向上的网格元素数量。本文及全篇中，‖?‖表示点态最大值，C为与奇异扰动参数ε和N均无关的常数。对于常系数问题，Andreev[5]放宽了[4]中的兼容性要求，仅要求g∈C0(?S)，并保持了相同的误差界。如果进一步提高兼容性要求以及对数据的平滑性假设，那么通过在同一Shishkin网格上使用拟合有限差分算子，[6]可得误差界‖U??u‖≤CN?2(lnN)2。本文研究的是非矩形域上的椭圆问题。我们关注的不是仅节点精度，而是全局近似的点态精度。处理非矩形域上的椭圆问题时通常会采用有限元方法，但当这些问题属于对流-扩散型且存在奇异扰动时，很难保持数值近似的稳定性[7]、[8]、[9]、[10]。此外，虽然已有许多稳定化技术被研究过（参见例如[2]第二部分），但这些方法通常不具备参数一致性，仍可能产生小幅振荡。而且，有限元方法所使用的标准误差范数是基于L2范数的，但这种范数并不适合识别层结构[1]第一章，尤其是在与平行于物理壁面的层流相关的特征层情况下。本文提出了一种将经典迎风有限差分算子与合适的域分解算法相结合的数值方法，从而得到一种参数一致的稳定方法——无论奇异扰动参数取何值，该方法都不会产生非物理的虚假振荡。本文是与[11]配套的文章。在[11]中，我们提出了一种两阶段域分解算法，用于数值求解在具有曲线边界的域上提出的奇异扰动椭圆问题。对于仅有规则边界层的问题，可通过沿曲线流出边界设置的条带状区域，利用分段均匀的Shishkin网格[3]对初始近似进行修正。为建立参数一致误差界‖U??u‖≤CN?1(lnN)2，对数据施加了若干约束，这些约束阻止了解中形成特征边界层和/或内部层。此外，对数据的假设还确保了解及其简化形式具有足够的平滑性，以便进行数值分析。本文旨在研究该方法在那些不满足[11]中所做数据约束的问题上的数值性能，特别是那些解中同时存在特征边界层和内部层的问题。我们还研究了在边界的关键顶点处放宽兼容性约束所带来的影响。为应对解中可能出现的新层结构，我们对算法进行了修改，以维持全局近似的参数一致点态收敛性。本文的重点并非建立新的理论误差界，而是通过计算实验展示Shishkin网格在处理非矩形域上的奇异问题时的潜在应用范围。章节节选连续问题考虑以下奇异扰动对流-扩散椭圆问题：寻找u∈C0(Ω?)∩C2,γ(Ω)，使得?Lu≡??Δu+aux+bu=f,(x,y)∈Ω，其中?a>α>0，b≥0，?>0；Ω为二维封闭域，其边界?Ω={(?(t),ψ(t))}为光滑或分段光滑的带顶点的曲线。随着变量t的增加，边界点按逆时针方向移动，原点位于域内。我们假设a、b、f均为光滑函数。关于解的平滑性及存在性的讨论……基本数值方法如果流出边界为垂直线x=Mx，则可通过下文所述算法的第一阶段完成数值求解；若流出边界不是垂直线，则数值方法至少需要两步。第一步是用矩形Q包围域Ω?，再用由N×M个矩形元素构成的矩形网格Q?N,M对该域进行离散化。第二步则使用宽度为R=O(1)（用户可设定参数）的条带ΩR?Ω来对解进行修正……测试问题测试问题涉及微分方程???△u+ux=f(x,y),(x,y)∈Ω。我们将研究两个不同的域Ω1和Ω2（见图2、图3中的示意图），这两个域的边界分别由?Ω1=Γ1∪Γ2∪Γ3∪Γ4∪Γ5，?Ω2=Γ1∪Γ2∪Γ3∪Γ6定义，而子边界则由以下集合定义：Γ1?{(x,y)|x=?5,?1≤y≤1}；Γ2?{(x,y)|y=±1,?5≤x≤0}；Γ3?{(x,y)|y=±ψ(x)?±((x?1)3+2),0≤x≤2}；Γ4?{(x,y)|y=±3,2≤x≤5}；Γ5?{(5,y)|?3≤y≤3}；Γ6?{(x,y)|y2+(x?2)2=9,2≤x≤5}。两个域的流入边界均为Γ1∪Γ3……结论如果流出边界为直线，则对于足够光滑的数据，本文提出的数值方法是参数一致的。如果流出边界为曲线且边界条件为诺伊曼边界条件，则不会发生层混合，该数值方法同样具有参数一致性。收敛阶为1（存在对数级误差）或0.5，这取决于是否存在内部层。内部特征层之间的相互作用以及……致谢作者贡献说明A.F. Hegarty：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿。