几何代数辛奇异分解：一种面向齿轮故障诊断的新型多变量信号分解方法

《Digital Signal Processing》：Geometric Algebra Symplectic Singular Decomposition: A Novel Multivariate Signal Decomposition Method for Gear Fault Diagnosis

本文综述性地提出了一种创新的多变量信号分解方法——几何代数辛奇异分解（Geometric Algebra Symplectic Singular Decomposition, GA-SSD）。该方法巧妙地将几何代数（GA）与辛几何理论相结合，通过在几何代数框架下将多通道信号表示为多向量（multi-vectors），并利用其忠实表示，将信号分解为一系列基本模态分量，有效揭示了通道间的内在关联。它进一步基于频率相关性将这些分量转化为本征模态函数（Intrinsic Mode Functions, IMFs），在实现多变量信号分解的同时克服了模态过度分解问题。核心创新在于，GA-SSD在分解过程中运用辛几何理论，有效保留了信号的本质特征与相空间结构。实验证明，该方法能有效分离复杂多通道信号，识别难以分离的故障特征，为机械故障诊断（尤其是齿轮诊断）提供了强有力的新工具。

　　

Highlight

几何代数辛奇异分解 (Geometric Algebra Symplectic Singular Decomposition, GA-SSD)

本文提出的GA-SSD方法，其核心在于辛奇异值分解（Symplectic Singular Value Decomposition, SSVD）。然而，至关重要的是，几何代数（Geometric Algebra, GA）中的SSVD与线性代数中的版本有着根本性的不同。

在几何代数中，辛奇异向量是多向量（multivectors）而非普通向量，相应的辛奇异值也并非简单的标量。因此，经典的SSVD不能直接应用于多向量数值的数据。

为了克服这一限制，我们引入了一个

仿真实验 (Simulation Experiments)

我们设计了一个复杂的仿真实验来验证GA-SSD的基本分解性能。在本节中，设计了三通道仿真信号 {S₁, S₂, S₃}，仿真信号的表达式如下式(46)所示。

{y₁= A₁cos(20πt + B₁)

y₂= A₂(1 + cos(6πt + B₂))cos(150πt)

y₃= A₃cos(2π(20t + 30t⁴+ B₃))

S = y₁+ y₂+ y₃}

其中，A₁, A₂和 A₃是仿真信号 {S₁, S₂, S₃} 各分量的幅值参数，B₁, B₂和 B₃是相位参数。

结论 (Conclusion)

本文提出了一种新颖的多变量信号分解方法——几何代数辛奇异分解（Geometric Algebra Symplectic Singular Decomposition, GA-SSD），该方法融合了几何代数与辛几何理论。GA-SSD提出将多变量信号嵌入到几何代数框架中，并用多向量（multi-vectors）来表示它们。在此基础上，它利用几何代数的忠实表示（faithful representation）将多变量信号分解为一系列基本模态分量（fundamental modal components），充分挖掘了信号潜在的内部结构和通道间关联，为信号处理与故障诊断领域提供了一种强大的新视角。